1. 서 론

홍수 배제를 목적으로 하는 배수관로는 강우 시에 불안정한 유수가 다량으로 유입되며 이때 흐름 상태는 부정류로 고려할 수 있다. 배수관로의 흐름 상태는 설계유량과 주변 여건을 고려하여 중력 흐름 또는 압력 흐름으로 설계하지만, 흐름의 부정류 특성으로 인해 혼합 흐름(mixed flow)가 발생하기도 한다. 여기서 혼합 흐름이란 관로 내에서 중력 흐름(또는 개수로 흐름)과 압력 흐름(또는 관수로 흐름)이 동시에 발생하거나 시간에 따라 전환되는 부정류 흐름 상태를 말한다. 중력 흐름으로 설계된 배수관로에서 혼합 흐름이 발생하면 유량과 압력의 불안정이 발생하여 전체 배수 시스템에 부담을 주게 된다. 도시의 우수관로에서 중력 흐름으로 설계된 배수관로에서 일시적으로 압력 흐름이 발생하면 하류 유량 증가, 상류 흐름 정체, 공기 분출 등의 발생이 예상된다. 특히 대심도 빗물 터널과 같은 대규모 지하 방수로에서 예기치 못한 일시적인 중력 흐름과 압력 흐름의 혼합 흐름이 발생하면 유량과 압력의 변동으로 안정적인 배수 체계 작동에 지장을 초래할 수 있다. 그러나 배수관로의 혼합 흐름 특성은 설계 또는 해석 과정에서 현실적으로 고려하기 어렵다. 국내에서 주로 적용되는 도시침수 해석 모형인 SWMM의 경우 관망을 1차원으로 해석하므로 흐름 상태를 중력 흐름 또는 압력 흐름으로 판별하여 계산을 수행한다. 대심도 빗물 터널과 같은 대규모 시설의 설계에서는 일부 3차원 흐름 해석을 수행하나 관로 자체는 매우 성긴 격자로 구성하여 혼합 흐름을 모의하기에는 한계가 있다. 실제로 배수관로의 혼합 흐름을 해석하기 위해서는 공기 층의 흐름과 수면의 처오름(run-up)을 재현할 수 있을 정도의 조밀한 격자가 필요하다. 일반적인 실무 3차원 관로 해석의 격자 크기는 수십 cm이나 정밀한 혼합 흐름 해석을 위해서는 mm 단위의 격자 크기가 필요하므로 최소 1/10배 이하의 격자 크기를 설정하여야 한다. 즉, 실무 해석 대비 1,000 배 이상의 격자수와 1/10 이하의 계산 시간 간격 설정이 요구된다.

중력 흐름과 압력 흐름이 혼재하는 경우에는 만관 상태에서도 에어 포켓을 형성하여 배수 유량을 불안정하게 하게 하는 요소이나 이에 대해 수리 분야에서 관련 연구는 거의 없는 실정이다. 기름과 가스 등의 에너지 수송 분야에서는 액체와 기체의 이상류(two phase flow)에 의해 관로에서 기체의 거동으로 발생하는 슬러그 흐름(slug flow)과 플러그 흐름(plug flow)에 대해 다양한 실험 및 수치 연구를 수행하여 왔다.

슬러그 흐름은 이상류에서 액체 흐름 내에 큰 규모의 기포(gas bubble)가 형성되는 흐름 상태를 의미하며 기체의 유입 속도가 상대적으로 느려 기포 크기가 작게 형성되는 경우 플러그 흐름으로 구분한다(Fabre and Liné, 2010). 슬러그 흐름에서 형성된 액체 또는 기체 덩어리를 슬러그로 부르는데 본 연구에서는 액체(또는 물) 덩어리를 슬러그로 나타내고자 한다. 슬러그와 플러그 흐름이 형성된 경우에는 기포와 액체 상태가 반복적으로 나타나므로 유속, 압력, 유량 등의 변동성이 크게 발생한다. 에너지 수송관은 액체와 기체가 고압 상태에서 동일한 방향으로 강제적으로 고속으로 이동하는 특성을 보이며, 관경이 배수관로에 비해서 작다. 이와 같은 관로의 이상류 흐름 상태는 일반적으로 Fig. 1과 같이 구분한다.

Fig. 1.

Flow patterns in two phase pipe flow (Webner, 2021)

슬러그 흐름 특성을 규명하기 위해 다양한 실험 연구가 수행되어 왔다. Baker (1954)는 여러 종류의 유체를 사용하여 작은 직경의 관에서 실험을 수행하여 흐름 상태 지도(flow regime map)를 제시하였다. 이 지도에서는 유체 밀도, 표면 장력, 질량 유량 등을 축(axis)으로 하여 흐름 상태가 발생하는 구간을 구분하였다. Wallis and Dobson (1973)은 2.54 cm 및 30.5 cm 직경을 가진 관에서 공기와 물 유동을 실험하여 흐름 상태 지도를 개발하였다. Mandhane et al. (1974)는 작은 직경의 관에서의 실험을 통해 질량 유량 대신 겉보기(superficial) 액체 및 기체 속도를 기반으로 한 흐름 상태 지도를 제시하였으며 이러한 유형의 지도는 현재까지 가장 널리 사용되고 있다. 여기서 겉보기 속도는 관 전체를 해당 상(phase)만이 흐른다고 가정했을 때의 평균 유속이다. Simpson et al. (1981)은 12.7 cm 및 21.6 cm 직경의 관에서 실험을 수행하였으며, Wallis and Dobson (1973)의 연구와 유사한 경향을 보여주는 흐름 상태 지도를 제시하였다. 흐름 상태 지도로 일반적으로 사용하는 Mandhane et al. (1974)의 지도에 의하면 기체의 유속이 높은 경우에는 경계면에서 파형 흐름(wavy flow)이 형성되고 액체와 기체 모두 유속이 높은 경우에는 슬러그 흐름이 발생한다.

Jepson and Taylor (1993)는 30 cm 직경 관에 대한 실험을 수행하고 이전 실험 연구와 비교하여 관 직경은 흐름에 큰 영향을 미친다는 것을 제시하였다. 관 직경이 증가하면 슬러그 흐름에 도달하기 위해 필요한 겉보기 액체 유속과 슬러그 길이가 증가하며, 이러한 경우 슬러그 발생 빈도는 감소함을 제시하였다. 또한 슬러그 흐름을 유발하는 액체의 상승류(holdup)는 액체 속도가 증가하면 낮은 기체 속도에서도 상승류가 증가하는 양상이 발생된다는 결과를 제시하였다.

일반적인 개수로 흐름 해석에서는 기체 흐름이 액체 흐름에 미치는 영향을 거의 무시하나 수송관 분야에서 슬러그 흐름에 대한 연구는 기체 흐름이 슬러그 흐름 형성에 중요한 역할을 한다. Kordyban and Ranov (1970)는 높은 기체 유속에서 슬러그 흐름이 시작되는 과정을 제시하였다. 액체 표면에서 파형 흐름이 형성되면, 기체 상에는 낮은 압력이 나타나고, 액체 상에서는 파의 마루에서는 높은 압력이, 파의 골에서는 낮은 압력이 형성된다. 파고가 높아지면 파 마루가 받는 중력도 증가하나, 관로에서는 기체 단면적의 감소로 기체 유속이 증가하여 압력이 낮아진다. 기체 상의 압력 감소가 파 마루의 중력 효과보다 커지면 파가 관로 상단까지 가로질러 슬러그 흐름을 형성한다. 이 과정을 켈빈-헬름홀츠 불안정(Kelvin- Helmholtz instability)으로 설명하기도 한다.

기체 유속이 낮을 때의 또 다른 기작은 Lin and Hanratty (1987)가 제시하였다. 파형 흐름은 높이에 따라 서로 다른 속도로 이동한다. 그 결과 더 빠른 파가 하류에 있는 더 느린 파를 추격하며, 두 파가 합쳐져 더 큰 파가 형성되기도 한다. 일부 큰 파는 다시 분해되기도 하고, 다른 큰 파도와 합쳐져서 관로를 가로지르며 슬러그 흐름을 형성한다.

슬러그 흐름이 생성된 후 발달 과정에 대해서는 Dukler and Hubbard (1975)가 제시하였다. 슬러그가 생성되면 슬러그는 공기 흐름을 차단한다. 그 결과 기체 상은 압력이 증가하고 슬러그를 밀어내어 슬러그 몸체가 가속된다. 슬러그 몸체 내의 액체는 슬러그 꼬리 부분의 액체보다 더 빠르게 이동한다. 따라서 슬러그 몸체를 통해 기체의 체적 유량이 형성된다. 빠르게 이동하는 슬러그 몸체는 슬러그 앞부분에서 액체를 취하며, 동시에 슬러그 뒤쪽으로 액체를 방출한다. 만약 슬러그 몸체가 앞에서 더 많은 액체를 취하고 뒤쪽에서 방출하는 액체보다 많다면, 슬러그 몸체는 성장하나 그렇지 않으면 슬러그는 분해된다. 완전히 발달된 흐름 상태에서는 슬러그가 안정적이며 더 이상 분해되지 않는다. 또한 더 이상 길이가 늘어나지 않으며, 하류로 이동하면서 일정한 슬러그 길이를 유지한다.

관로 내의 이상유체에 의한 슬러그 흐름에 대한 다양한 수치해석 연구도 수행되었다. Lun et al. (1996)은 상용 모형인 FIDAP을 이용하여 이상유체 경계면의 불안정성을 연직 2차원 해석으로 모의하였다. Frank (2005)는 상용 모형인 CFX를 이용하여 수평 관로 내 슬러그 흐름의 수치모의 결과가 실험과 유사함을 제시하였다. De Schepper et al. (2008)는 PLIC (piecewise linear interface calculation) 기법으로 이상유체 경계면을 모의하여 그 결과가 Baker 흐름 상태 지도를 잘 재현함을 제시하였다. Lakehal et al. (2012)는 LES (Large eddy simulation)를 이용하여 2차원과 3차원 흐름 상태를 정밀하게 재현하였다. Deendarlianto et al. (2016)은 상용 모형인 FLUENT를 이용하여 이상유체를 모의하여 에어 포켓의 길이와 액체 상승류의 시간 변화 등이 실험 자료와 정량적으로 잘 일치함을 제시하였다. Akhlaghi et al. (2019)는 OpenFoam의 Eulerian 이상유체 모형을 이용하여 슬러그 흐름과 플러그 흐름을 정밀하게 모의하여 유체 경계면의 형상과 시간적 진행을 정밀하게 재현함을 제시하였다. 다만, Eulerian 이상유체 모형은 일반적인 VOF (Volume of fluid) 기법에 비해 계산시간이 과도한 단점이 있다. 이상과 같이 관로 내 에어 포켓 형성에 대한 다양한 수치모의 연구가 수행되었으나 슬러그 또는 플러그 흐름을 모의하는 것은 여전히 쉽지 않다. 슬러그 흐름은 이상유체 경계면의 미세한 불안정성에 의해 발생하므로 이를 수치적으로 모의하기 위해서는 매우 미세한 격자간격, 매우 짧은 시간 간격, 충분한 관로 길이 등이 필요하여 결과적으로 매우 과도한 계산량을 요구한다(Schmelter et al., 2021).

위에서 살펴본 것과 같이 배수관로의 혼합 흐름과 유사한 현상인 관로의 슬러그 흐름과 플러그 흐름에 대해서 많은 실험 연구와 수치 연구가 수행되어 그 특성이 어느 정도 알려져 있다. 그러나 배수관로의 조건은 에너지 수송관과는 다르므로 혼합 흐름의 발생 조건, 발달 양상, 그리고 이로 인한 영향 등이 아직 명확하게 제시되지 않았다. 본 연구에서는 일반적인 설계 및 해석 과정에서 고려하기 어려운 배수관로의 혼합 흐름 특성을 수치모의로 재현하고 배수 시스템에 미치는 영향을 유량 변동성 측면에서 분석하고자 한다. 수치모의 기법의 한계로 실제 현상과는 차이가 있으나, 가정된 범위 내에서 배수관로의 혼합 흐름 특성을 분석하여 배수관로에서 고려해야할 불확실성을 제시하고자 한다.

2. 수치모형

본 연구에서는 다양한 분야에 적용되어 신뢰성이 확보된 OpenFOAM 코드의 최신 버전(ver. 2312)을 이용하여 이상유체 흐름 해석을 수행하였다. 혼합 흐름 모의에서는 기체와 액체 상의 경계면을 정확하게 모의하는 것이 중요하므로 PLIC와 유사한 정밀도를 갖는 isoAdvector 기법이 적용된 interIsoFoam 솔버를 적용하였다. 난류모형은 다양한 유체 조건과 흐름 조건에서 비교적 재현성이 우수한 k-ω SST 모형(Menter, 1994)을 적용하였다.

interIsoFoam은 이상유체에 대한 비압축성 RANS 방정식이 지배방정식이다. Navier-Stokes 방정식에 레이놀즈 평균화(Reynolds averaging)와 Boussinesq 가정을 적용하면 난류 와점성 모형(turbulent eddy viscosity model)의 적용이 가능한 RANS 방정식으로 표현된다. 여기에 생성항으로 중력가속도와 표면장력을 고려하면 다음과 같이 이상유체에 대한 비압축성 RANS 방정식으로 표현된다.

여기서 t는 시간, ui¯는 레이놀즈 평균 유속, 𝜌는 유체 밀도, 𝜇는 점성계수, μt는 난류와점성계수, p¯는 레이놀즈 평균 압력, k는 난류 운동 에너지 등을 나타내며, gi는 중력가속도 성분, 𝜎는 표면장력 계수, 𝜅는 유체간 경계면의 평균 곡률, 𝛼는 유체 체적분율(volume fraction) 등을 나타낸다.

interISOFoam는 이상유체(two phase fluid) 솔버로 VOF (volume of fluid) 기법을 기반으로 한다. VOF 기법은 실무 CFD에서 널리 적용되고 있는 경계면 추적 기법으로 Hirt and Nichols (1981)가 처음 제안한 이후 다양한 연구자들에 의해 개선이 이루어져 왔다. VOF 기법은 유속장에서 유체의 상태를 나타내는 체적분율 이송방정식을 해석한다.

체적분율(𝛼)은 셀에서 유체의 부피 비율을 나타내며, 0에서 1까지의 값을 가지는 스칼라 변수로 일반적으로 1은 셀이 완전히 물로 채워진 상태이며, 0은 공기로 완전히 채워진 상태를 나타낸다. 𝛼가 0과 1 사이의 값을 가지면 유체의 경계면이 존재함을 나타낸다. VOF 기법은 각 셀에서 𝛼만 제시하므로 셀 내의 유체 경계면의 명시적인 위치가 필요한 경우에는 인근 셀의 𝛼의 분포를 이용하여 유체 경계면을 재구성하는 별도의 알고리즘이 필요하다. 또한, VOF 기법에서 체적분율장(volume fraction field)은 스칼라 이송 방정식에 따라 전파된다. 체적분율 이송 방정식은 이산화 기법에 따라 경계면의 확산(diffusion), 진동(wrinking), 흐림(smearing) 등의 비물리적인 현상을 유발할 수 있으므로 고정확도의 이산화 기법을 적용하는 것이 중요하다(Weller, 2008).

interFoam 솔버는 경계면에 가상 압축항을 도입하여 다음과 같이 유체의 예리한 경계면을 모의한다(Weller, 2008; Deshpande et al., 2012).

여기서 마지막 항은 가상 압축항을 나타내며 uc,i=minui,maxui이다.

interFoam은 Marschall et al. (2012), Raeini et al. (2012), Hoang et al. (2013) 등이 다양한 문제에 적용을 통해 검증을 수행하였으나, 경우에 따라 예리한 경계면을 유지하는데 아직까지는 어려움이 있다는 것을 제시하였다. 또한 가상 압축항 자체의 내재된 특성으로 경계면의 부정확한 이동과 비물리적인 경계면 섭동 등이 발생하기도 한다(Roenby et al., 2016; 2017).

이를 해결하기 위하여 Roenby et al. (2016)은 isoAdvector라는 기하학적 VOF 기법을 제안하였다. isoAdvector 기법은 경계면 재구성 단계와 경계면 이동 단계에서 새로운 기법을 도입한다. 경계면 재구성 단계에서는 셀 내의 유체 분포를 계산하기 위해 isosurface 계산을 수행하며, 경계면 이동 계산에서는 물리적 계산 시간 간격을 소간격으로 분할하고 소간격 사이에는 경계면이 점진적으로 이동한다는 가정 하에 체적비 플럭스를 해석적으로 계산한다. 이 기법은 interFoam 솔버처럼 가상 압축항을 도입하지 않고 셀 형상에 대한 가정이 없어 정확도와 적용성 측면에서 우수한 것으로 알려져 있다(Roenby et al., 2017). OpenFoam의 interIsoFoam 솔버는 isoAdvector 기법을 적용하여 유체 간 경계면을 계산하며 본 연구에 적용하였다.

3. 수치모형 적용 및 결과 분석

3.1 수치모형 검증

OpenFoam를 이용한 혼합 흐름 모의 적합성을 검증하기 Vallée et al. (2008)의 슬러그 흐름 실험에 적용하였다. Vallée et al. (2008)은 높이(H) 100 mm, 폭(W) 30 mm, 길이(L) 8 m의 사각형 관수로에 물과 공기를 펌프로 일정하게 주입하여 슬러그 흐름 형성을 실험하였다. 겉보기 물 유속(Uwater) 1.0 m/s, 겉보기 공기 유속(Uair) 5.0 m/s에서 0.05 s 시간간격으로 제시된 수면 형상의 실험 결과는 Fig. 2와 같다.

Fig. 2.

Flow regime from Vallée et al. (2008)'s experiment (Uwater = 1.0 m/s, Uair = 5.0 m/s, Δt = 0.05 s)

수치모형은 OpenFoam의 interIsoFoam 솔버를 적용하였고 난류모형은 k-ω SST (shear stress transport) 모형을 적용하였으며 연직 2차원 모의를 수행하였다. 계산 영역은 실험과 동일하며 계산 격자는 길이 방향 셀 900개, 높이 방향 셀 40개로 총 36,000개를 구성하였다. 계산 시간은 10초이며 경계조건은 Table 1과 같다. 초기조건은 전체 계산 영역의 하부 0.5H는 유속 1.0 m/s 물로, 상부 0.5H는 유속 5.0 m/s의 공기로 가정하였다.

물과 공기가 등류 상태에서 슬러그 흐름으로 발달하기 위해서는 경계면에서 파형 흐름이 형성되어야 하는데 와점성 난류 모형에서 이를 재현하기는 쉽지 않다. Frank (2005)는 슬러그 형성을 촉진하기 위해 유입 경계에서 액체 수위를 사인파의 부정류로 모의하였으며, Ban et al. (2018)도 부정류 유입 경계를 통해 슬러그 흐름을 모의하였다. Schmelter et al. (2021)은 유입 경계의 연직방향 유속 성분에 무작위 섭동 성분을 설정하여 슬러그 흐름을 모의하였다. 본 연구에서는 유입 경계의 주방향 유속의 교란을 최소화하기 위해 Schmelter et al. (2021)의 방법으로 슬러그 흐름을 촉발하였다. 구체적으로 주방향 유속 성분의 20% 내에서 임의적인 교란을 주는 연직방향 유속 성분을 설정하여 유입 경계에서 미소한 파가 형성되도록 하였다.

계산 초기에는 초기 조건에 의한 유속 불균형에 의해 슬러그 흐름 형성이 영향을 받으므로 첫 번째 슬러그가 형성되어 유출 경계를 지나간 이후 두 번째 슬러그가 형성되는 시점부터 수치모의 결과를 실험과 동일한 시간간격으로 제시하면 Fig. 3와 같다. Fig. 3에서 보는 것과 같이 유입 경계에서의 미소한 수면파가 빠른 공기 유속과의 상호 작용으로 수로 중앙에서 수면 처오름(run-up)이 발생하며 처오름 수위가 관로 상부에 맞닿아 슬러그 흐름을 형성한다. 형성된 슬러그 흐름은 유입되는 시간당 유입되는 공기의 부피(즉, 공기 유량) 정도로 이동하며 그 크기는 순차적으로 증가한다. 슬러그 직상류는 강제 유입되는 공기의 효과로 수면이 매우 낮게 형성되는 양상을 나타낸다. 이상의 과정이 Fig. 2의 실험 결과와 매우 유사하게 나타나는데, 슬러그 형성 지점과 0.05 s 시간간격의 슬러그 이동 속도가 비교적 잘 일치하는 것으로 나타났으며, 또한 슬러그 직상류의 낮게 형성되는 수면의 형상도 잘 재현하는 것으로 나타났다.

Fig. 3.

Flow regime simulated by OpenFoam (Uwater = 1.0 m/s, Uair = 5.0 m/s, Δt = 0.05 s)

이상의 모의를 통해 본 수치모의가 슬러그 흐름의 형성과 발달 과정을 비교적 잘 모의함을 확인할 수 있었고, 유사한 기작으로 발생하여 발달하는 배수관로의 혼합 흐름의 발생 양상과 발달 과정도 모의할 수 있을 것으로 판단된다.

3.2 혼합 흐름 형성을 위한 연직 2차원 수치모의 조건

배수관로 혼합 흐름의 형성 조건에 대한 실험 사례가 거의 없으므로 본 연구에서는 연직 2차원 관로에 대해 몇 가지 가정을 도입하여 수치모의 조건을 구성하였다. 만관 대비 80% 수위 조건에서 유입 경계에서 규칙적인 부정류 수위 조건으로 인해 관로 내에서 혼합 흐름이 형성되는 것으로 가정하였다. 이때 유입 경계에서 공기의 속도는 실제로는 관로 내에 형성되는 흐름 상황에 따라 변할 것으로 예상되나 본 연구에서는 관련 자료의 부족과 모의 조건 구성의 어려움으로 일정하다고 가정하였다. 수치모의는 OpenFoam의 InterIsoFoam 솔버를 적용하여 연직 2차원으로 해석하였다.

유입 경계의 부정류 특성은 주 흐름 방향에 대한 연직 유속 성분(Uy)이 시간에 따라 사인함수 형태로 변하는 것으로 구현하였으며 수심(h)은 초기 조건과 유입 경계에서 관로 높이(H)에 대해 0.8H로 설정하였다(Fig. 4).

Fig. 4.

Schematic diagram for 2D numerical simulation

유입 경계의 연직 유속 성분(Uy)은 Eq.4와 같다. 여기서 A는 진폭, f는 진동수, B는 기준 유속이다. 본 연구에서는 수면의 적절한 주기적 변동성을 재현하기 위해 진폭 0.5 m/s, 진동수 1 Hz, 기준 유속 0 m/s으로 설정하였다. 연직 유속 성분 설정에 의해 유입 경계 수위는 사인함수로 형태로 변화하나, 유입 유량 변동은 발생하지 않았다.

사전 모의를 통해 흐름 상태에 영향을 미치는 주요 요소는 물의 유입 수평 방향 유속(Uwater), 공기의 유입 수평 방향 유속(Uair), 물의 연직방향 유입 유속(Uy)의 변동성 등으로 나타났다.

3.3 중력 흐름 상태에서 유입 경계조건의 영향

혼합 흐름 상태의 해석에 앞서 먼저 중력 흐름 조건에서 부정류 경계조건에 의한 유량 변동성을 검토하였다. 즉 연직방향 유속의 진폭과 진동수가 유출 유량에 미치는 영향을 분석하였다. 이를 위해 압력 흐름이 형성되지 않도록 설정된 경계조건과 모의 결과에 의한 유량 변동성(Qmax/Q0)은 Table 2와 같다. 여기서 유입 유량(Q0)은 유입 경계에서 설정된 일정한 유량이며 유출 최대 유량(Qmax)은 유출 경계의 변동 유량 중 최대값을 나타낸다.

계산 시간은 총 40 s이며 모의 결과 중 IVV01, IVV02, IVV03의 수면형과 유속은 거의 동일하므로 IVV01과 IVV04의 수면형과 유속을 나타내면 Fig. 5와 같다. IVV01 모의 결과에 의하면 유입 경계 부근에서만 수위 변동이 최대 0.008 m 정도 나타나며 흐름 방향으로 거리 0.6 m 이상에서는 수위 변동이 거의 나타나지 않는다. 각 케이스별 유출 경계에서 유량 변동은 Fig. 6와 같은데 계산 시간 20 s까지는 초기 조건의 영향으로 변동성이 크게 나타나나 그 이후에는 유입 경계의 수위 변동에 의한 유량 변동만 나타난다. IVV01의 경우 유입 유량(Q0)에 대한 유출 최대 유량(Qmax)는 101.9 %이며 변동 주기는 1 s이다. 여기서 유량의 변동 주기는 Fig. 6에서 20 s 이후의 유량의 국부적인 최대값이 발생하는 시간 간격으로 계산하였다. 동일 조건에서 진동수 f가 2 Hz인 IVV02에서는 유출 유량의 변동량은 101.7%로 유사하나 변동 주기가 0.5 s로 나타나 유입 경계조건의 변동 주기가 유출 유량 변동 주기에 그대로 반영되는 것을 확인할 수 있다. 연직 방향 유입 유속의 진폭을 0.2 m/s로 설정한 IVV03은 유입 경계 부근에서 최대 0.014 m의 수위 상승이 나타나며 유출 최대 유량은 최대 103.8%이다. 물과 공기의 유속이 1.0 m/s로 증가된 IVV04에서도 유출 유량 변동은 최대 103.8%이다.

Fig. 5.

Simulation results of inlet velocity variation (t = 40 s)

Fig. 6.

Outlet flow rate by sinuzoidal inlet velocity

이상에서 살펴본 것과 같이 유입 경계의 수위 섭동에 의한 영향은 수위 측면에서는 상류 구간에서는 뚜렷이 나타나나 중하류 지점에서는 거의 감쇄되는 경향을 보인다. 유량 측면에서는 하류 경계에서도 그 영향이 나타나는데 변동 주기는 수위의 요동 주기와 동일하게 나타나며 유량 변동성은 본 연구 조건에서는 최대 103.8%로 크지 않다고 판단된다.

3.4 혼합 흐름 2차원 모의 결과

연직방향 유입 유속(Uy)의 진폭과 진동수는 각각 0.2 m/s와 1/s로 고정시키고 물 유속(Uwater)와 공기 유속(Uair)를 변화시키며 혼합 흐름을 모의하였다. 초기 수위와 격자 구성은 검증 모의와 같은 조건이다. 총 9개 케이스를 구성하였으며 모의조건과 모의 결과에 따른 슬러그 형성 형태 및 유량 변동성은 Table 3와 같다.

혼합 흐름의 형성 여부는 중력 흐름 상태에서 수면이 관로 상층부에 완전히 접촉하여 이동하는 슬러그의 형성 여부로 판단할 수 있다. 형성된 슬러그는 길이와 높이가 변화하면서 하류로 이동하는데 유입 경계 유속에 따라 상이한 거동을 보인다.

물 유속이 1.0 m/s인 APF01, APF02, APF03의 모의 결과를 유입 경계 부근에서 도시하면 Fig. 7과 같다. APF01의 경우, 슬러그가 상부 벽면에 밀착된 상태로 이동하는데 하류로 갈수록 공기층이 감소하면서 거의 만관 상태를 유지한다. 이때 하류경계의 유량 변동은 102.6%로 작은 편이다. APF02는 공기층의 높이가 다소 높게 형성되어 이동하는 특성을 보이며 유출 유량의 최대 변동은 약 100.8%로 매우 작게 나타난다. APF03은 유입 경계 부근에서만 슬러그가 형성되며 나머지 구간에서는 만관에 가까운 중력 흐름을 유지하는데, 하류경계의 유량 변동은 105.3%로 상대적으로 크게 나타난다. APF01, APF02, APF03 등 3개 케이스의 유출 경계에서의 시간에 따른 유량 변화를 유량이 안정된 이후의 시간에 대해 도시하면 Fig. 8과 같다. 3개 케이스 모두 약 1 s의 주기로 유량 변동이 나타나고 있는데 세부적인 양상은 차이가 보인다. APF01은 최소 유량 상태에서 첨두유량이 급작스럽게 발생하여 서서히 감소하는 경향을 보이고, APF02는 대부분의 시간에서 약간의 유량 요동만 보이고 약 1 s의 간격으로 약간의 유량 감소와 증가를 나타낸다. APF03은 APF01과 같이 최소 유량 상태에서 급작스럽게 최대 유량이 형성되며 첨두 유량 이후 다소의 유량 요동을 나타낸다.

Fig. 7.

Simulation results near inlet for air-pocket formation cases (Uwater = 1.0 m/s)

Fig. 8.

Outlet flow rate of simulaton cases (Uwater = 1.0 m/s)

물 유속이 2.0 m/s인 APF04, APF05, APF06의 모의 결과를 전체 계산 영역에 대해 도시하면 Fig. 9과 같다. APF04의 경우 전체적으로 압력 흐름이 지배적이며 대략 5 개소의 공기층 영역이 옅게 형성되고 나머지 영역에서는 슬러그 흐름을 나타낸다. 이때 하류 경계의 최대 유량 변동은 104.6%이다. 공기 유속이 다소 높아진 APF05는 상류 약 2.5 m 구간에서 슬러그가 형성되어 압력 흐름이 나타지만, 공기층의 높이가 다소 높게 형성된다. 이 때 최대 유량 변동은 101.3%로 매우 작은 편이다. 공기 유속이 보다 빠른 APF06의 경우에는 상류 약 1.8 m까지 슬러그가 형성되며 나머지 영역에서는 중력 흐름을 나타낸다. 이때 최대 유량 변동은 103.9%로 나타난다. APF04, APF05, APF06 등 3개 케이스의 유출 경계에서의 시간에 따른 유량 변화를 도시하면 Fig. 10과 같다. 3개 케이스 모두 약 1 s의 주기로 유량 변동이 나타나고 있는데 세부적인 양상은 차이가 보인다. APF04는 최소 유량 상태에서 유량이 증가한 후 비교적 일정한 값을 유지하다가 큰 요동과 함께 첨두유량이 나타나고 바로 최소 유량이 나타나는 양상을 보인다. APF05는 유량 변동 자체는 매우 작으나 변동 양상은 매우 불규칙한 형태를 보인다. APF06은 최소 유량에서 약간의 요동과 함께 유량이 증가하며 이후 유량이 다시 급감하는 형태를 나타낸다.

Fig. 9.

Simulation results for air-pocket formation cases (Uwater = 2.0 m/s)

Fig. 10.

Outlet flow rate of simulaton cases (Uwater = 2.0 m/s)

물 유속이 3.0 m/s인 APF07, APF08, APF09의 모의 결과를 전체 계산 영역에 대해 도시하면 Fig. 11과 같다. APF07의 경우 전체적으로 압력 흐름이며 옅은 공기층이 일부 형성된다. 이때 하류 경계의 최대 유량 변동은 101.3%로 매우 작다. 공기 유속이 보다 빠른 APF08의 경우에는 계산 영역 전체에서 크게 2개의 슬러그가 나타나는데 상류에서 형성된 슬러그가 하류로 이동하면서 발달하는 양상을 뚜렷이 보인다. 이때 하류경계의 최대 유량 변동은 108.3%로 상대적으로 크게 나타난다. APF09도 APF08과 유사하게 상류에서 형성된 슬러그가 하류로 이동하면서 발달하는 경향을 뚜렷이 보여주는데 다만, 슬러그의 크기는 APF08에 비해 다소 작게 나타난다. 이때 하류 경계의 최대 유량 변동은 112.5%로 매우 크게 나타난다. APF07, APF08, APF09 등 3개 케이스의 유출 경계에서의 시간에 따른 유량 변화를 도시하면 Fig. 12와 같다. 3개 케이스 모두 대략 1 s의 주기로 유량 변동이 나타나고 있는데 그 양상은 앞서와 다르게 나타난다. APF07은 하류 경계에서 압력 흐름의 지속시간이 대부분을 차지하여 압력 흐름이 지나는 시간에서 최대 유량이 유지되며 그 사이에 중력 흐름이 지나는 시간에서 최소 유량을 보인다. APF08도 압력 흐름이 지나는 시점에서 최대 유량이 유지되며 그 사이에 최소 유량이 지나는 경향을 보이는데 최대 유량이 유지되는 시간은 상대적으로 짧게 나타난다. APF09도 APF08과 비슷하게 압력 흐름이 지나는 시간에서 최대 유량을 보이나 그 시간이 매우 짧으며 최대 유량에서 다소의 요동을 나타낸다. 또한 최소 유량이 발생하는 지점에서 큰 요동이 나타난다.

Fig. 11.

Simulation results for air-pocket formation cases (Uwater = 3.0 m/s)

Fig. 12.

Outlet flow rate of simulaton cases (Uwater = 3.0 m/s)

모의 케이스별 슬러그 발달 양상을 정량적으로 비교하기 위하여 흐름 방향에 따른 슬러그 길이 변화를 도시하면 Fig. 13과 같다. 여기서 슬러그 길이는 한 개의 슬러그가 상부 벽과 접촉하는 영역의 길이를 산정한 것으로 모의 시간 약 29 s에 유입 경계 부근에서 형성된 슬러그를 0.1 s 단위로 추적하여 산정하였다. 거리는 유입 경계로부터 슬러그 중심점까지의 거리이다.

Fig. 13에 의하면 APF01에서는 거리 0.39 m까지 슬러그 길이가 최대 0.42 m까지 증가하여 슬러그가 발달하고 그 이후에는 점차 감소하여 거리 2.6 m에서 소멸한다. APF02에서는 거리 0.22 m에서 최대 슬러그 길이 0.18 m를 나타내고 거리 0.46 m에서 소멸한다. APF03에서는 거리 0.22 m에서 최대 슬러그 길이 0.10 m를 나타내고 거리 0.36 m에서 소멸한다. 즉, 물 유속이 1.0 m/s인 경우에는 슬러그가 충분히 발달하지 못하고, 공기 유속이 증가하면 유입 경계 부근에서만 슬러그가 형성되어 바로 소멸되는 양상을 보인다.

Fig. 13.

Variration of slug length along the flow direction for 2D simulaton cases

APF04에서는 거리 0.98 m에서 슬러그 길이 0.91 m까지 발달하고 하류를 따라 슬러그 길이가 다소 감소하면서 하류 경계까지 유지되는데, 이때 슬러그 길이는 0.83 m를 나타낸다. APF05에서는 거리 0.91 m에서 최대 슬러그 길이 0.45 m가 나타나고 그 이후 슬러그 길이가 감소하여 거리 2.5 m에서 소멸한다. APF06에서는 거리 1.09 m에서 최대 슬러그 길이 0.27 m가 나타나고 거리 1.8 m에서 소멸한다. 즉, 물 유속 2.0 m/s인 경우에는 물 유속 1.0 m/s에 비해 전체적으로 슬러그의 크기와 지속 시간이 증가하는 양상을 보이나, 공기 유속이 증가하면 슬러그의 길이가 감소하고 지속 시간이 감소하는 동일한 양상도 보인다.

APF07에서는 거리 1.09 m에서 슬러그 길이 1.22 m까지 발달하고 하류를 따라 슬러그 길이가 다소 감소하면서 하류 경계까지 유지되는데, 이때 슬러그 길이는 1.08 m를 나타낸다. APF08에서는 거리 2.08 m에서 최대 슬러그 길이 0.65 m가 나타나고 하류 경계까지 다소 감소하면 유지되는데, 이때 슬러그 길이는 0.56 m를 나타낸다. APF09에서는 거리 2.12 m에서 최대 슬러그 길이 0.31 m가 나타나고 하류 경계까지 감소하면서 유지되는데, 이때 슬러그 길이는 0.11 m이다. 즉, 물 유속 3.0 m/s인 경우에는 슬러그 크기와 지속 시간이 보다 증가하여 세 케이스 모두 슬러그가 하류 경계까지 유지되나, 공기 유속이 증가하면 슬러그 길이가 감소하는 양상을 동일하게 나타난다.

이상의 9개 모의 결과를 종합적으로 살펴보면 배수관로에서 혼합 흐름의 특성은 물 유속과 공기 유속의 절대적 크기와 상대적 크기가 모두 영향을 미치는 것으로 보인다. 물 유속 1.0 m/s에서는 공기 유속이 0.3 m/s 이상이면 압력 흐름이 유입부에서만 나타나고 하류는 중력 흐름 상태를 유지하고, 물 유속 2.0 m/s에서는 공기 유속이 0.5 m/s 이상이면 동일한 현상이 나타났다. 그러나 물 유속 3.0 m/s에서는 공기 유속 1.5 m/s에서도 압력 흐름이 하류까지 전파되는 것을 확인할 수 있다. 본 연구에서 설정한 유입 경계에서의 수위 요동의 영향은 기본적으로 하류 방향으로 그 영향이 감쇄된다. 유입 경계의 수위 요동이 슬러그를 형성하고 하류까지 이동하기 위해서는 물과 공기의 상호 작용을 통해 슬러그를 유지하여야 하는데 이는 물 유속과 공기 유속의 절대적 크기와 상대적 크기 모두 영향을 미치는 것으로 판단된다. 모의 케이스 중 APF08과 APF09와 같이 물 유속과 공기 유속이 큰 경우에는 상류에서 형성된 슬러그가 하류로 이동하면서 발달하는 양상을 잘 보이고 있으며 이에 따라 중력 흐름과 압력 흐름이 교차하는 혼합 흐름의 특성을 잘 나타낸다. 이 경우 하류 경계에서의 최대 유량 변동도 크게 나타나고 있다. 나머지 케이스에서는 유입 경계 부근에서만 압력 흐름이 형성되기도 하며, 압력 흐름이 상당 구간 형성되더라도 하류 경계에서는 중력 흐름이 형성되는 양상을 보인다. 이에 따라 APF08과 APF09를 제외한 경우의 유출 경계에서의 최대 유량 변동도 경계조건의 요동으로 인해 발생하는 변동 수준으로 작게 나타난다.

3.5 원형관로 3차원 모의 결과

배수관로는 대부분 원형 단면이므로 실제 혼합 흐름을 재현하기 위해서는기 위해서는 3차원 모의가 필요하다. 그러나 혼합 흐름의 3차원 모의를 위해서는 조밀한 격자와 짧은 계산 시간 간격이 필요하여 총 계산 시간이 많이 소요되므로 다양한 케이스에 적용하기에는 한계가 있다. 본 연구에서는 2차원 모의 결과에서 유출 경계의 유량 변동이 최대인 케이스에 대해서만 3차원 모의를 수행하여 실제 배수관로의 혼합 흐름 양상을 제시하고자 한다.

원형관로의 격자는 모의 정확도를 위해 Fig. 14와 같이 O형(O-grid) 격자로 구성하였으며 경계조건과 초기조건은 2차원 모의와 동일하게 적용하였다. 원형관로의 직경은 0.1 m이며, 경계조건의 평균 수심은 2차원 모의와 동일하게 0.8H로 설정하였다. 이로 인해 2차원 모의 조건보다는 만관 대비 흐름 단면적이 증가하여 흐름 면적으로는 보다 만관에 가까운 조건이다. 유입 경계의 수심 설정은 OpenFoam의 codeStream을 이용하여 사용자 정의 함수로 설정하였으며 진폭은 0.2 m/s, 주기는 1 s로 설정하였다. 원형관로 단면의 격자는 900개이며 관로 길이 4 m에 0.01 m 단위로 400개의 격자를 구성하여 총 격자수는 360,000개로 구성하였다. 유입 경계의 유속 조건은 2차원 모의의 APF09와 같이 Uwater와 Uair를 각각 3.0 m/s와 1.5 m/s으로 설정하였으며, 총 계산시간은 40 s이다.

Fig. 14.

O-grid of 3D pipe

이상의 조건에 따른 모의 결과는 Fig. 15와 같으며, 유출부의 유량 변동은 Fig. 16과 같다. Fig. 15에 의하면 유입 경계의 수위 요동에 의해 상류에서 슬러그가 형성되어 하류로 이동하면서 슬러그의 길이가 증가하는 형태의 혼합 흐름을 나타낸다. 여기서 형성된 슬러그는 2차원 모의와는 다르게 관로 상층부에 작은 규모의 기포들이 함께 형성되어 이동한다. 슬러그 사이에 형성된 공기층은 하류로 이동하면서 길이가 감소한다. Fig. 15(d)에서 보는 것과 같이 만관부 직상류에서는 중규모의 공기층이 형성되는데 이 공기층은 잠시 후 Fig. 15(e)에서와 같이 슬러그에 흡수되어 같이 이동한다.

Fig. 15.

3D pipe simulation results for air-pocket formation cases (Uwater = 3.0 m/s)

유출부 유량 변동은 Fig. 16과 같이 약 1 s의 주기로 변동하는데 만관 흐름이 지배적이며 공기층이 주기적으로 지나가는 양상을 보인다. 유출 경계에서 최대 유량의 변동성은 약 108.1 %로 2차원 모의에 비해서 변동성은 낮게 나타났다. 3차원 원형관로 모의 결과는 2차원 모의와 동일 수심으로 가정하여 물의 흐름 단면적 비율이 상대적으로 높고 원형 단면의 특성으로 작은 수위 변동에도 압력 흐름이 쉽게 형성된다. 따라서 최대 유량의 지속시간이 증가하여 결과적으로 유출 경계 최대 유량의 변동성 감소로 나타난다.

Fig. 16.

Outlet flow rate of 3D pipe (Uwater = 3.0 m/s)

이상과 같이 3차원 모의 결과와 2차원 모의 결과를 비교하면 원형 단면으로 인해 발생하는 혼합흐름의 특징을 알 수 있다. 슬러그 상단에서 형성되는 작은 규모의 공기층과 슬러그 하류에서 형성되는 중규모 공기층은 2차원 모의에서는 나타나지 않으므로 원형 단면의 영향으로 볼 수 있다. 또한 유사한 유입 경계조건에서 3차원 모의에서는 압력흐름이 지배적인 양상을 나타내는 것도 원형 단면의 영향으로 판단된다.

4. 요약 및 결론

본 연구는 부정류 유입 흐름으로 배수관로에서 발생하는 혼합 흐름 특성을 수치모형을 이용하여 분석하였다. 수리 분야에서는 중력 흐름과 압력 흐름이 혼재하는 혼합 흐름에 대한 연구 사례가 거의 없어 기계유체 분야의 슬러그 흐름 연구 사례를 참고하여 수치모의를 수행하였다. 수치모형은 OpenFoam의 interIsoFoam 솔버를 이용하여 공기와 물의 경계면을 보다 정확하게 모의하고자 하였다.

모형 검증을 위해 Vallée et al. (2008)의 슬러그 흐름 실험에 적용하였으며, 수면 처오름에 의한 슬러그 형성과 슬러그의 이동 및 발달 과정을 잘 재현하는 것으로 판단하였다. 이 과정에서 공기와 물 경계면의 불안정성을 모의하기 위하여 유입 경계 유속에 대해 임의적 섭동 성분을 도입하여 모의를 수행하였다. 다양한 공기와 물의 유입 조건에 따라 관로 내의 혼합 흐름 특성을 연직 2차원으로 모의하였다. 유입 경계에서 수면의 부정류 특성을 재현하기 위하여 사인함수 형태의 연직 유속 경계를 설정하였으며 혼합 흐름에 의한 유량 변동성을 해석하기 위하여 유입 유량에 대한 최대 유출 유량을 계산하여 비교하였다. 우선 부정류 경계조건의 영향을 알아보기 위해 중력 흐름 상태를 모의하였으며, 그 결과 유출 경계에서 유량 변동 주기는 유입 경계의 수위 변동 주기와 일치하며 중력 흐름 상태에서 최대 유량 변동은 103.8%로 나타났다. 9개 조건의 혼합 흐름 모의를 수행하였으며 모의 결과에 의하면 물 유속과 공기 유속의 조건에 따라 슬러그가 형성되어 발달하게 되며 유량 변동성은 최대 112.5%로 나타났다. 실제 배수관로와 유사한 상황을 모의하기 위하여 원형 관로에 대한 3차원 모의도 수행하였다. 이 결과에 의하면 2차원과 유사한 조건에서 3차원 흐름에서 압력 흐름이 보다 지배적이며 공기층의 형성과 발달이 상이함을 확인하였다. 이 조건에서 유량 변동성은 108.1%로 나타났다.

수치모의라는 한계와 함께 실제 배수 관로의 유입 경계 특성을 고려하기 어려운 한계가 있으나 본 연구를 통해 다음과 같은 결론을 도출할 수 있다.

(1) 수위 요동에 의한 혼합 흐름 형성, 즉, 슬러그 형성은 물과 공기의 유속 차이가 큰 조건에서 나타난다.

(2) 완전히 발달된 슬러그는 물의 유속이 높고 공기의 유속이 낮은 조건에서 더 오래 유지된다.

(3) 슬러그가 지속되는 조건에서의 유량 변동성은 공기 유속이 높을수록 크게 나타난다.

혼합 흐름을 형성하는 슬러그는 최대 길이로 발달한 이후에는 흐름 방향을 따라 길이가 감소한다. 슬러그 길이의 감소는 슬러그 전면의 이동 속도보다 슬러그 후면 공기의 이동 속도가 높음을 의미하며, 이는 곧 유입 경계의 공기 유속이 높음을 의미한다. 이로 인해 공기 유속이 낮은 조건에서 슬러그는 더 오랫동안 유지된다. 그러나 하류 경계에서 슬러그 유지되는 것은 곧 만관상태가 유지되는 것으로, 이 상태에서 유량은 거의 일정하게 유지되므로 결과적으로 슬러그의 지속시간이 길어지면 유량의 변동성이 낮아지게 된다. 즉, 슬러그가 하류까지 유지되는 조건에서는 공기 유속이 높으면 슬러그 길이는 감소하나 유량 변동성은 증가한다.

본 연구에서 모의된 혼합 흐름에 의한 최대 유량 변동은 112.5%로 나타났다. 유량의 변동성은 결국 유입되는 공기 유속에 큰 영향을 받는 것으로 나타났는데 실제 배수관로에서는 공기의 유입 조건은 배수관로의 주변 환경과 물의 유동에 크게 영향을 받아 매우 유동적일 것으로 예상되므로 향후 이에 대한 연구가 필요할 것으로 판단된다.