1. 서 론

도시 재해를 방지하기 위해서 우수를 신속하게 배출하는 것은 하수도의 중요한 목적중 하나이다. 최근 들어 기후변화 등의 이유로 국지성 호우의 횟수가 늘어나고 있는 추세이며, 이에 따라 기존 매설되어 있던 우수관은 그 역할을 못하고 있어 보다 안전한 설계방법이 필요한 실정이다. 공학전반에 걸친 다양한 설계과정에서 신뢰성해석이 많이 활용되고 있다. 근래에는 수공학 전반에 걸쳐 널리 사용되고 있으며 수공구조물의 안전성 평가에서 주요변수들을 결정하는 과정에도 적용되고 있다. 이러한 수공구조물의 설계에 쓰이는 변수들은 많은 불확실성을 포함하고 있다. 따라서 이를 해석하기 위해서 많은 해법들이 제안되고 있으며, 수공구조물 가운데 하나인 우수관의 설계에는 하수관의 용량(Capacity) 결정방법에 주로 Manning의 공식을 사용하고 있으며, 합리식(Rational equation)은 하중(Load)을 선정하는 공식으로 사용되고 있다. 이처럼 하중(Load)과 용량(Capacity)을 결정하는 식에는 다양한 변수들이 사용되고 있으며 이 변수들은 불확실성을 포함하고 있기 때문에 확률변수로 설정하고 신뢰성 해석을 수행해야 한다.

Kim et al. (1993)은 AFOSM (Advanced First Order Second Moment)방법을 하수도관의 신뢰성 분석을 위해서 이용하였다. 용량을 결정을 위해서 Manning과 Darcy-Weisbach공식을 이용하였으며, 하중을 결정하는 방법으로는 합리식(rational equation)을 사용하여 위험도를 해석하였다. 또한, Kim et al. (1995)은 서울특별시의 특정 배수구역을 선정하여 안전률와 위험도에 관한 곡선을 결정하였다. 또한 안전률-위험도-재현기간의 3가지 변수들에 대하여 상관도와 상관관계식을 각각의 구역별로 제안하였다. 확률변수에 포함되는 강우강도는 대수정규분포를 따른다고 가정하였다. Lee et al. (2005)은 우수도 관망의 강우확률을 5년, 10년, 15년, 30년과 같이 년도의 변화를 주어 우수관망 건설비용을 산정하였다. 또한 다양한 확률 년 수에 기초한 설계우량과 건설비용의 변화율 함수를 회귀분석을 통하여 결정하였다. Kwon and Lee (2010a)는 AFDA (Approximate Full Distribution Approach)를 이용하여 하수도 관망의 불능확률을 정량적으로 결정할 수 있는 신뢰성 모형을 개발했다. 다양한 도시지역의 연 최대강우강도(Annual Maximum Rainfall Intensity)를 활용하여 확률분포함수를 해석하였으며 우수관(Storm sewer)의 불능확률 결정을 위한 신뢰성모형에 이를 적용했다.

최근 급격한 기후변화로 인해 발생하는 국지성 호우는 실제 도시지역에 매설된 우수관의 배수능력을 초과하여 지대가 낮은 도로와 거주지역에 많은 피해를 유발하고 있는 실정이다. 그러므로 기존에 매설된 우수관뿐만 아니라 새로 설계되어 매설하는 우수관의 설계에 집중호우 등과 같은 강우현상의 불확실성에 대한 영향이 반영되어야 한다. 본 연구에서는 우수관에 대한 신뢰성해석 모형을 개발하고 이미 건설되어 있는 실제도시의 우수관이 성능한계상태에 도달할 확률을 정량적으로 산정하였다. 또한 산정된 공사비에 대한 안전도를 비교하여 최적의 우수관 신뢰성 설계기법을 제안한다.

2. 우수관의 신뢰성해석 기법

우수관의 설계 시 관의 용량을 결정하기 위해서는 Manning의 공식이나 Chezy의 공식을 주로 사용하고 있고 하중을 결정하기 위해서는 합리식(Rational Equation)이 주로 사용되고 있다. 이러한 하중과 용량을 결정하기 위한 식에는 다양한 변수들이 존재하며 그 변수들은 일정한 크기의 불확실성을 포함하고 있다. 기존에 사용되던 결정론적 설계기법에서는 각각의 변수들이 상수로 취급되는 문제가 있기 때문에 불확실성을 고려하여 해석할 수 없다. 따라서 신뢰성 해석을 통해 각 변수들을 확률변수로 가정하여 해석이 진행되어야 한다. 우수관의 용량결정에 가장 중요한 변수인 지역별 강우강도를 확률변수로 규정하고 강우강도의 발생확률 분포함수를 정확히 결정하여 우수관의 용량초과 확률산정에 적용한다. 신뢰함수의 확률변수인 관의 직경, 관의 경사, 관의 조도계수, 그리고 유역면적 등에 대한 분포함수를 규명하고 FORM (First-Order Reliability Method) 신뢰성 모형을 개발하였다.

먼저 신뢰함수를 결정하기 위해서 시스템에 작용하는 하중과 저항(용량)을 결정하여야 한다. 하수관의 경우 용량초과상태(state of over capacity)란 강우량 Q_L이 하수관의 용량 Q_C를 초과한 경우로 정의한다. 따라서 신뢰함수는 아래 Eq. (1)과 같이 규정할 수 있다.

$Z=Q_C-Q_L$  (1)

여기서, 하중을 산정하기 위하여 합리식(2)이 사용되었고 용량을 산정하기 위해서 Manning의 Eq. (3)이 사용되었다.

$Q_L=0.2778CiA$  (2)

여기서, C는 유출계수, i는 강우강도(mm/hr)이고, A는 유역면적(km²)이다.

$Q_C=\left(\frac{4}{n}\right){\mathrm{𝜋R}}^{8/3}{\mathrm{S}}^{0.5}$  (3)

여기서, n은 Manning의 조도계수, R은 경심(hydraulic radius), S는 우수관의 경사(slope)이다. 신뢰함수에서 Z<0은 용량초과상태, Z>0는 안전상태, 그리고 Z=0는 한계상태를 의미한다. 따라서 신뢰함수는 Eq. (4)를 사용하여 Z≤0에 해당하는 용량초과확률을 정량적으로 산정할 수 있다.

$Pf=P\left(Z\le 0\right)$  (4)

본 연구에서는 실제 도시의 우수관망 정보를 이용하여 우수관의 경사, 직경, Manning의 조도계수, 유출계수, 유역면적을 결정하였다. 강우강도에 대한 확률분포함수는 Gumbel분포를 사용하였고 다른 변수들에 대해서는 정규분포를 따른다고 가정하였다. 모든 확률변수는 통계학적으로 각각 독립적이라고 간주하고 각각의 우수관의 유입량이 관의 용량 이상일 경우 용량초과상황으로 가정하였다. Fig. 1에서 신뢰지수(reliability index) 𝛽는 원점에서 파괴면의 설계지점(design point)에 이르는 최단거리이며 반복적인 계산에 따라서 구해진다. 𝛽를 산정할 경우에는 신뢰지수의 값이 불변성을 요구하기 때문에 정규화과정(normalization process)이 필수적이다. 우선 방향여현(directional cosine)은 Eq. (5)와 같이 구하고 Eq. (6)의 새로운 설계점(Ang and Tang, 1984; Frankel, 1988; Modarres, 1999)을 결정하기 위하여 사용된다. 첫 번째 반복계산을 통해 확률변수의 평균값이 설계점(design point)으로 사용된다(Kwon and Lee, 2010b; Kwon and Lee, 2017).

${\alpha }_{x_i}^{*}=\frac{{\left({\displaystyle \frac{𝜕Z}{𝜕x_i^{\text{'}}}}\right)}_{*}}{\sqrt{{\displaystyle \underset{i}{𝝨}}{\left({\displaystyle \frac{𝜕Z}{𝜕x_i^{\text{'}}}}\right)}_{*}^2}}$  (5)

Fig. 1.

Design point on failure surface

여기서, $x_i^{\text{'}}=\left(x_i-{𝜇}_{x_i}\right)/{\sigma }_{x_i},x_i$는 각 확률변수 그리고 ${𝜇}_{x_i}$와${\sigma }_{x_i}$는 각 확률변수들의 평균과 표준편차이다. 따라서 설계점은 다음 Eq. (6)과 같이 구할 수 있다.

$n^{*}={𝜇}_n-{\alpha }_n^{*}\beta {\sigma }_n$  (6a)

$i^{*}={𝜇}_i^N-{\alpha }_i^{*}\beta {\sigma }_i^N$  (6b)

$C^{*}={𝜇}_C-{\alpha }_C^{*}\beta {\sigma }_C$  (6c)

여기서, ${𝜇}_i^N$ 과 ${\sigma }_i^N$는 지역별 연 최대강우강도의 등가정규분포(equivalent normal distribution)의 표준편차와 평균이며 Eq. (7)과 같고 Rosenblatt 변환으로 산정이 가능하다.

${𝜇}_i^N=i^{*}-{\sigma }_i^N{\phi }^{-1}\left[F_i\left(x^{*}\right)\right]$  (7a)

${\sigma }_i^N=\frac{\phi \left\{{\phi }^{-1}\left[F_i\left(x^{*}\right)\right]\right\}}{f_i\left(x^{*}\right)}$  (7b)

F_i(x)와 f_i(x)는 Eq. (8)과 같이 최대강우강도의 Gumbel 분포함수를 의미한다.

$F_i\left(x\right)=exp\left[-e^{-\kappa \left(x-\lambda \right)}\right]$  (8a)

$f_i\left(x\right)=\kappa exp\left[-\kappa \left(x-\lambda \right)-e^{-\kappa \left(x-\lambda \right)}\right]$  (8b)

여기서, $\kappa =𝜋/\left(\sqrt{6}\sigma \right),\lambda =𝜇-\left(0.577/\kappa \right)$이다. 새로운 설계지점은 𝛽를 Eq. (6)에 삽입함으로써 산정할 수 있으며, 𝛽가 적정한 값에 수렴할 때까지 계산이 반복적으로 수행되어야 한다. 신뢰함수를 이루는 다른 확률변수들은 정규분포를 따른다고 가정하였으나 지역별 연 최대강우강도는 불확실성이 상당히 많이 내포되어 있으며 그 분포함수를 찾아내고 통계학적 특성을 분석할 필요가 있다(Kwon et al., 2010c).

3. 지역적 강우특성

본 연구에서 용량초과확률을 산정하기 위해 대상지역의 강우강도의 확률밀도함수와 재현 기간별 연 최대 강우강도의 특성을 분석하였다. 분석에 사용된 대상 지역은 제천시, 충주시, 괴산군, 진천군의 덕산면과 이월면이다.

3.1 제천시

본 연구에 적용한 제천시 계획평면도는 다음 Fig. 2와 같다. 총 연장은 1,500 m이고 유역면적은 6,400 m²이다. Fig. 3은 제천시 강우강도의 확률밀도함수를 나타내고 있다.

Fig. 2.

Plan view of storm sewer

Fig. 3.

Probability density function in Jecheon of rainfall intensity in Jecheon

제천시 연 최대 강우강도 확률밀도함수의 통계적 특성을 분석한 결과 강우강도의 평균은 42.195 mm/hr, 변동계수(COV) 값은 0.348로 나타났으며 축척계수(𝜅)는 0.087, 형상계수(𝜆)는 35.588로 나타났다.

3.2 충주시

본 연구에 적용한 충주시 계획평면도는 다음 Fig. 4와 같다. 총 연장은 585 m이고 유역면적은 266,200 m²이다. Fig. 5는 충주시의 강우강도 확률밀도함수를 나타내고 있다. 충주시 연 최대 강우강도 확률밀도함수의 통계적 특성을 분석한 결과 강우강도의 평균은 40.712 mm/hr, 변동계수(COV)값은 0.327로 나타났으며 축척계수(𝜅)는 0.096, 형상계수(𝜆)는 34.722로 나타났다.

Fig. 4.

Plan view of storm sewer

Fig. 5.

Probability density function in Chungju of rainfall intensity in Chungju

3.3 괴산군과 진천군

본 연구에서 적용한 괴산군의 강우강도 확률밀도함수는 Fig. 6과 같다. 대상 우수관의 총 연장은 845 m이고 유역면적은 85,400 m²이다. 괴산군의 연 최대 강우강도 확률밀도함수의 통계적 특성을 분석한 결과 강우강도의 평균은 43.076 mm /hr, 변동계수(COV)값은 0.287로 나타났으며 축척계수(𝜅)는 0.104, 형상계수(𝜆)는 37.505로 나타났다. 본 연구에서 적용한 진천군의 강우강도 확률밀도함수는 Fig. 7과 같다. 덕산면과 이월면의 대상우수관의 총연장은 각각 1,009 m, 958 m이고 유역면적은 297,000 m², 359,000 m²이다. 진천군 연 최대 강우강도 확률밀도함수의 통계적 특성을 분석한 결과 강우강도의 평균은 43.107 mm/hr, 변동계수(COV)값은 0.269로 나타났으며 축척계수(𝜅)는 0.111, 형상계수(𝜆)는 37.887로 나타났다.

Fig. 6.

Probability density function

Fig. 7.

Probability density function of rainfall intensity in Goesan of rainfall intensity in Jincheon

4. 우수관의 용량초과확률(Probability of failure)

본 연구에서 제천시 대상지역의 용량초과확률을 산정하였으며, 분석에 사용된 총 연장(L)은 1,500 m이며, 유출계수(C)는 0.78, 우수관의 경사(S)는 0.001 유역면적(A)는 6,400 m², Manning의 조도계수(n)는 0.015 이다. Table 1은 용량초과확률 산정 시 사용된 다섯 개 지역의 우수관망 설계변수이다.

Table 1. Design criteria for the probability of exceeding capacity (probability of failure) of storm sewer in 5 areas

각 지역의 용량초과확률을 분석한 결과 다음 Fig. 8과 같이 나타났다. 현재 관경보다 큰 관경의 경우에 대한 초과확률을 산정하여 비교하였고 모든 관경에서 강우강도가 증가할수록 용량초과확률이 증가하는 형태가 나왔다.

Fig. 8.

Probability of exceeding capacity (probability of failure) of storm sewer

5. 공사비 산정

본 연구에서는 앞서 산정한 제천시, 충주시, 괴산군, 진천군 덕산면, 진천군 이월면의 관경별 용량초과확률과 관경별 공사비용을 비교하여 우수관의 안정성을 높이고 비용을 최소화할 수 있을 것으로 판단된다. 강우강도는 현 설계기준인 10년 빈도 강우강도를 사용하였다. 다음 Fig. 9는 각 지역에서 우수관의 관경별 공사비용이다.

Fig. 9.

Construction costs of storm sewer according to increasing diameter

제천시의 경우 실제 적용된 관경인 450 mm에서 600 mm, 700 mm, 800 mm로 증가함에 따라서 비용은 각각 52%, 100%, 158% 증가하였으며 이에 따라서 용량초과확률은 51.72%에서 0.76%, 0.00%, 0.00%까지 감소하는 것을 확인할 수 있었다. 충주시의 경우 실제 적용된 관경인 1,200 mm에서 1,3500 mm, 1,500 mm로 증가함에 따라서 비용은 각각 17%, 44% 증가하였으며 이에 따라서 용량초과확률은 58.24%에서 26.47%, 6.20%까지 감소하는 것을 확인할 수 있었다. 괴산군의 경우 실제 적용된 관경인 600 mm에서 700 mm, 800 mm로 증가함에 따라서 비용은 각각 32%, 69% 증가하였으며 이에 따라서 용량초과확률은 68.90%에서 29.43% 4.47%까지 감소하는 것을 확인할 수 있었다. 진천군 덕산면의 경우 실제 적용된 관경인 800 mm에서 1,000 mm, 1,200 mm로 증가함에 따라서 비용은 각각 19%, 41% 증가하였으며 이에 따라서 용량초과확률은 85.82%에서 42.55% 4.36%까지 감소하는 것을 확인할 수 있었다. 진천군 이월면의 경우 실제 적용된 관경인 800 mm에서 1,000 mm, 1,200 mm로 증가함에 따라서 비용은 각각 54%, 121% 증가하였으며 이에 따라서 용량초과확률은 90.91%에서 59.99%, 13.44% 까지 감소하는 것을 확인할 수 있었다.

6. 결 론

본 연구에서는 신뢰성 해석기법을 제천시, 충주시, 괴산군, 진천군의 실제 도시 우수관을 대상으로 적용하였다. 우수관으로 유입되는 유량이 관의 허용 가능한 배출량 이상이 되어 성능한계상태에 도달할 상황을 용량초과상태라고 정의하였으며 용량초과확률을 정량적으로 산정하였다. 이때 우수관의 유출량은 Manning의 공식을 사용하였고, 유입량은 합리식을 사용하였다. 신뢰성해석을 위해 각 도시의 강우강도의 확률밀도 함수를 분석하였으며, 재현기간별 연 최대 강우강도를 산정하였다. 신뢰성해석은 FORM (Frist-Order Reliability Method)모형을 사용하였고 각 관경별 용량초과확률을 산정하였으며, 이에 따른 공사비용을 비교하였다.

용량초과 확률을 산정한 결과 모든 지역에서 강우강도가 증가할수록 용량초과확률도 증가하는 형태가 나타났다. 또한 모든 지역에서 관경이 증가할수록 용량초과확률은 감소하는 결과가 나타났다. 각 지역의 우수관망에서 관경별 비용을 산정하였으며, 관경별 용량초과확률과 비교하였다. 강우강도는 실제 사용중인 설계기준을 반영하여 10년 빈도로 결정하였다. 제천시의 경우 관경이 450 mm에서 600 mm로 증가시켰을 경우 용량초과확률이 약 50% 감소한다는 결과가 나왔으며, 충주시, 괴산군, 진천군 덕산면, 진천군 이월면 또한 각각 관경을 200 mm, 100 mm, 200 mm, 200 mm 증가시킬 경우 용량초과확률이 29.23%, 21.98%, 11.61%, 7.17% 감소하는 것을 확인할 수 있었다. 제천시의 경우 적은 비용투자로 안전율을 극대화시킬 수 있는 방법이 제시될 수 있었다. 하지만 진천의 경우 안전율을 높이기 위해서는 기존의 관경보다 상당히 크게 높여야 하는 문제를 안고 있었다. 기존의 설계가 안전율에 대한 여유가 작은 것으로 판단된다.

본 연구에 적용한 제천시, 충주시, 괴산군, 진천군 덕산면, 진천군 이월면의 실제 도시 우수관망을 대상으로 신뢰성 해석을 수행하였다. 강우강도의 확률분포를 분석하였으며 용량초과확률을 산정하였다. 이를 통하여 관경 증가에 따른 비용상승과 용량초과확률의 감소를 확인할 수 있었다. 이러한 실제 도시 우수관망에서의 신뢰성해석을 통한 결과는 향후 우수관망의 설계 시 도시 재해방지에 도움이 될 것이며 더 나아가 유지관리에도 활용이 가능할 것이다.