1. 서 론
2. 연구방법론
2.1 댐운영을 위한 최적화: 추계학적 동적계획법(SDP)
2.2 로버스트 최적화(RO)
2.3 Robust-SDP
2.4 평가유입량 생성
2.5 평가지표의 선정
2.6 댐 운영규칙 평가
3. 대상유역 및 자료
4. 적용결과
4.1 최적화를 통한 운영규칙 산정
4.2 MSDS 기법을 활용한 모형의 평가
4.3 MSPCP 기법을 활용한 모형의 평가
5. 결 론
1. 서 론
수자원 분야에서는 강우의 계절성으로 인한 물 공급의 불안정성을 효과적으로 해결하기 위해 오래전부터 저수지 운영규칙 산정에 대한 연구가 진행되어왔다. 저수지 운영규칙을 결정하기 위하여 다양한 최적화 방법이 사용되었는데, 이러한 기존의 연구들은 미래의 기후가 과거와 비슷하거나 동일하게 재현된다는 전제 하에 이루어졌다. 하지만 기후변화의 비정상성이 존재하는 상황에서는 이러한 전제가 더 이상 허용되지 않으며(Kim and Chung, 2017), 최적의 해를 찾는 최적화 과정보다 광범위한 기후 조건에서도 안정적인 해를 찾는 로버스트 최적화(RO)가 합리적인 대안이 될 수 있다. RO는 기존 목적함수의 불확실성을 제어하는 로버스트 항을 목적함수에 포함시킴으로 최적해가 위험회피적(risk-aversion) 성향을 나타내도록 하는 최적화 과정이다.
수자원 분야의 RO에 대한 연구는 Watkins and McKinney (1997)에 의해 제안되었는데, 이는 로버스트 항을 ‘페널티함수(penalty function)’와 ‘고차 모멘트(high order moments)’의 합으로 표현하는 Mulvey et al. (1995)의 RO 방법론을 기반으로 한다. ‘페널티함수’는 목적함수가 원하는 범위를 벗어났을 때 이에 대한 페널티를 부과하여 목적함수가 특정 영역 안에 머무르도록 유도한다. 반면, 분산 등의 ‘고차모멘트’는 목적함수가 상황의 변화에 덜 민감하게 변하도록 제어한다. Ray et al. (2013)은 Watkins and McKinney (1997)의 연구를 확장하여 RO의 결과를 여러 평가지표를 활용하여 가중치에 따른 수행결과를 비교하고 trade-off를 평가하였으며 수정된 로버스트 항을 제안하였다. 한편, Housh et al. (2011)는 불확실변수의 분포를 가정할 수 없다는 판단 하에 분포함수를 사용하지 않고 uncertainty set을 이용하여 RO를 진행하는 Ben-tal and Nemirovski (2002)의 방법론을 수자원 분야에 적용하였으며, 불확실변수인 대수층의 recharge vector에 ellipsodial uncertainty set을 적용하여 set의 크기별로 최적화 수행결과를 비교하였다. Pan et al. (2015)은 Housh et al. (2011)의 연구와 동일한 RO 방법론을 저수지에 적용하였는데, 유입량에 대한 uncertainty set을 정의하였으며 robust linear decision rule을 iterative linear decision rule로 확장하였다. 하지만 Ben-tal and Nemirovski (2002)의 방법론을 적용하는 과정에서 불확실변수인 유입량의 불확실성 범위(uncertainty bound)를 정의하는 것은 매우 어려운 의사결정 문제를 수반한다. 유입량의 불확실성 범위를 필요 이상으로 크게 산정할 경우 최적화 과정은 지나친 보수성을 내재하게 되며, 불확실성 범위를 작게 산정할 경우에는 범위 밖의 현상이 실제로 자주 발생하게 되기 때문에 오히려 더 악화된 수행결과를 가질 수 있는데, 이는 RO의 취지에 맞지 않는다. 따라서 본 연구에서는 Mulvey et al. (1995)의 방법에 기초하여 유입량의 불확실성을 유입량에 적합된 확률분포를 사용하여 표현하였다.
본 연구에서는 RO와 추계학적 동적계획법(SDP)을 결합한 Robust-SDP 모형을 개발하였으며, 기후의 비정상성에 대비하여 최적화된 운영규칙을 평가하기 위해 과거 관측자료와 다른 통계량을 갖는 댐 유입량 시계열 자료를 생성하였다. 또한 6가지의 평가지표와 2가지 의사결정 평가이론을 도입하여 Robust-SDP로 최적화된 저수지 운영규칙의 효과를 평가하였고, 상충관계가 있는 의사결정 문제에서 최적화 모형을 선택할 수 있는 방안에 대해 논하였다.
2. 연구방법론
2.1 댐운영을 위한 최적화: 추계학적 동적계획법(SDP)
수자원 분야에서는 댐의 운영규칙을 다양한 최적화 방법들을 통하여 결정해 왔는데, 대표적인 최적화 방법으로는 선형계획법(Linear Programming, LP), 유전 알고리즘(Genetic Algorithm, GA), 동적계획법(Dynamic Programming, DP), 추계학적 동적계획법(SDP) 등이 있다. 본 연구에서는 SDP를 사용하여 저수지 운영규칙을 산정하였다. SDP는 입력변수의 불확실성을 확률로 최적화 과정에 반영한 동적계획법인데, 동적계획법은 전체의 문제를 여러 개의 작은 문제로 나누어 Eq. (1a)와 같은 순환식을 연속적으로 풀어나가며 최적해를 찾는 최적화 방법이다 (Bellman, 1956). Eqs. (1b)~(1c)는 저수지의 최적 방류량을 찾기 위해 많이 사용되는 DP 순환식이다 (Kim et al., 2007). 는 시점 t에서의 k번째 이산화된 월초저수량, 는 시점 t+1에서의 l번째 이산화된 월말저수량이며, Smin은 댐의 최소 저수량, 그리고 Smax는 댐의 최대 저수량이다. Qt와 Rt는 각각 시점 t와 t+1 사이의 이산화된 월평균 유입량과 방류량이다. 본 최적화 과정을 통해 이산화된 Qt와 의 조건에 따라 목적함수 Ot(•)를 최적화하는 방류량인 를 찾을 수 있다. 이때, 불확실한 변수인 유입량 Qt에는 확률분포 적합을 통해 산출한 이산화 유입량이 대입되고, 각 단계에서 목적함수는 확률이 곱해져서 더해지는 기댓값으로 반복 계산된다(Tejada-Guibert et al., 1995).
| $$S^{l_{t+1}}=S_t^k+Q_t-R_t,\;S_{min}\leq S_t^k\leq S_{max}$$ | (1b) |
| $$R_t=min\left[max\left(R_t,\;S_t^k+Q_t-S_{max}\right),\;S_t^k+Q_t-S_{min}\right]$$ | (1c) |
2.2 로버스트 최적화(RO)
RO는 입력변수의 범위가 현재와 달라지더라도 실패하지 않는 대안을 찾는 것이 중요하다는 개념에서 출발한다. 수자원 분야에서 RO는 Watkins and McKinney (1997)에 의해 처음으로 적용되었다. RO에서는 미래 유입량의 확률분포가 달라질 수 있으므로 목적함수에 로버스트 항을 추가하여 이를 보완하는데, 이는 시스템이 취약해지는 사건이 발생할 확률이 현재보다 커져도 시스템이 강건하게 버틸 수 있도록 한다. 로버스트 항으로는 기존 목적함수의 변동성을 제어하는 고차모멘트와 목적함수가 목표하는 영역 안에 머무르도록 하는 페널티함수가 대표적으로 사용된다. Mulvey et al. (1995)가 제안한 RO는 일반 선형최적화모형(Eqs. (2a)~(2d)) 대신 Eqs. (3a)~(3d)를 사용한다. RO의 목적함수(Eq. (3a))는 고차 모멘트(𝜎(•))와 페널티함수(𝜌(•))의 합으로 구성된다. 불확실변수에 대한 시나리오 그룹이 𝛺=[1, 2, 3, …, S] 일 때 계수 d, B, C, e는 ds, Bs, Cs, es로 정의된다. 그리고 각 시나리오의 s∈𝛺에 대해 ys는 불확실성을 갖는 결정변수이며 x는 불확실 변수에 영향을 받지 않는 결정변수이고, zs는 여유변수로서, infeasibility 영역을 나타낸다. 시나리오 s에 따른 기존 목적함수를 , 그리고 시나리오 s가 발생할 확률을 ps라고 하면 고차모멘트 𝜎(•)는 𝜉s와 ps의 함수로 구성되며 주로 혹은 Es(𝜉s)의 형태로 나타낸다. 그리고 함수 𝜌(•)는 여유변수에 대한 페널티함수이며 𝜔는 이에 대한 가중치이다.
선형최적화 모형
| $$Minimize\;c^Tx+d^Ty$$ | (2a) |
| $$subject\;to:\;A_x=b,$$ | (2b) |
| $$B_x\_C_y+z=e,$$ | (2c) |
| $$x\geq0,\;y\geq0.$$ | (2d) |
로버스트 선형최적화모형
| $$Minimize\;\sigma(x,\;y_1,\;\cdots,\;y_s)+\omega\rho(z_1,\;\cdots,\;z_s)$$ | (3a) |
| $$subject\;to:\;Ax=b$$ | (3b) |
| $$B_sx+C_sy_s+z_s=e_s,\;for\;all\;s\in\Omega,$$ | (3c) |
| $$x\geq0,\;y_s\geq0,\;for\;all\;s\in\Omega.$$ | (3d) |
2.3 Robust-SDP
본 연구에서 제안하는 Robust-SDP는 댐 운영규칙 산정을 위한 SDP모형과 로버스트 최적화의 결합으로 구성된다. Robust-SDP 모형을 구축하기에 앞서, 본 연구가 목적으로 하는 댐 운영규칙 산정을 위한 SDP 모형(Eqs. (4a)~(4d))을 작성하였는데 이는 일반적인 SDP 모형의 형태(Eqs. (1a)~(1c))와 동일하게 구성된다. 목적함수를 최소화하는 것을 목적으로 하고 유입량(Qt)과 저수량()을 각각 nq, ns개로 이산화하면 Eqs. (4a)가 제안된다. 수문상태변수로는 해당월 예측 유입량인 Qt를 사용하였고, T는 이수기 전체 개월수이며 t는 각 월을 순서대로 나타낸다. 저수지 운영의 제약조건인 저류방정식(storage equation)과 저수량(St)의 제약조건인 Eq. (4b), 방류량의 제약조건인 Eq. (4c)는 Eqs. (1b)~(1c)와 동일하다. 본 연구에서는 댐 운영규칙을 최적화하는 목적을 주어진 제약조건 안에서 수요에 충분하도록 물을 공급하고 동시에 이수기말 저수량을 목표 저수량에 맞추는 것으로 하였고, 이를 식으로 구현하면 Eq. (4d)가 된다. 목적함수(Qt)는 목적항 과 의 가중합계로 구성되었는데 각각 물 공급량인 댐 방류량(Rt)이 물 수요량(Dt)보다 부족한 비율과 이수기 말 저수량(ST)이 목표저수량(Starget)에서 벗어나는 비율을 나타낸다. 이수기 최적화 문제에서 물을 충분히 공급하는 것이 우선되는 목적이 되므로 목적항 의 가중치(𝜔1)는 목적항 의 가중치(𝜔2)보다 훨씬 큰 값으로 설정하여, 를 먼저 최적화한 이후에 를 최적화하도록 하였다. 최적화의 결과로는 이산화된 저수량과 유입량 조건에 따른 최적 방류량 값이 계산된다.
| $$S^{l_{t+1}}=S_t^k+Q_t-R_t,\;S_{min}\leq S_t^k\leq S_{max}$$ | (4b) |
| $$R_t=min\left[max\left(R_t,\;S_t^k+Q_t-S_{max}\right),\;S_t^k+Q_t-S_{min}\right]$$ | (4c) |
| $$O_t=\omega_1\xi_t^2+\omega_3\zeta_t^2,\;\xi_t=max\left(\frac{D_t-R_t}{D_t},\;0\right),\;\zeta_t=\frac{S_T-S_{target}}{S_{target}},\;\omega_1\gg\omega_3$$ | (4d) |
Robust-SDP 모형이 전통적인 SDP모형과 차이를 보이는 것은 목적함수를 RO 목적함수의 형태로 나타낸 Eq. (5)에 있다. Robust-SDP 모형은 위 SDP의 목적함수 (Eq. (4d)) 대신 로버스트 목적함수 (Eq. (5))로 대체하여 구성된다. 유입량이 감소하여 ‘물공급량이 물수요의 일정비율(𝜃)도 공급하지 못하는 사건’을 critical event로 정의하고, critical event의 발생확률을 낮추는 것을 로버스트 최적화의 목적으로 하였다. 이를 반영하는 로버스트 항 𝜋t는 𝜉t가 설정한 기준 𝜃를 벗어나는 사건인 critical event의 발생을 줄이는 것을 목적으로 하는 페널티함수이다. Robust-SDP 모형의 로버스트 항 𝜋t는 로버스트 선형최적화모형 Eq. (3a)의 항 𝜌(z1, …, zs)에 대응될 수 있고, 시점 t에서의 여유변수 zt는 𝜋t와 개념적으로 동일하다.
2.4 평가유입량 생성
본 연구는 댐 운영규칙을 기후의 비정상성 하에서 평가하기 위하여 과거와 다른 통계량을 갖는 평가유입량을 생성하였다. 이를 위해 먼저 유입량의 확률분포를 대수정규분포(lognormal distribution)로 적합하였다. 모수(parameter)는 Eqs. (6a)~(6e)와 같이 추정할 수 있는데. 과거 관측자료로부터 i월의 월평균 유입량(Qi)을 계산하고 월평균 유입량(Qi)의 모평균()과 모분산()을 Eq. (6b)와 같이 계산하여 추정할 수 있다. 로그유입량인 Yi(Eq. (6c))의 평균(), 분산()은 유입량의 평균(), 분산( )과 Eqs. (6b)~(6c)의 관계식을 통해 구할 수 있다. T는 계산되는 총 개월 수, N은 총 연도 수, 그리고 𝜖는 충분히 작은 값으로 0의 값을 갖는 을 해결하기 위해 사용되었다. 는 Y의 공분산 행렬로서 Eq. (6d)와 같이 계산되고, Y자료간의 상관관계계수인 는 Y의 자료를 직접 이용하여 구하였다(Eq. (6e)). 이는 Qi와 Yi의 비선형적인 로그변환으로 인해 를 Qi의 통계량을 이용하여 구하면 생성되는 Ytest자료에서 왜곡이 발생하기 때문이다.
| $$Y_i=\ln\left(Q_i+\epsilon\right)$$ | (6a) |
| $$\widehat{\sigma_{Y_i}^2}=\ln\left(1+\frac{b\times\widehat{\sigma_{Q_i}^2}}{\left(a\times\widehat{\mu_{Q_i}}+\varepsilon\right)^2}\right)$$ | (6b) |
| $$\widehat{\mu_{Y_i}}=\ln\left(a\times\widehat{\mu_{Q_i}}+\varepsilon\right)-\frac12\widehat{\sigma_{Y_i}^2}$$ | (6c) |
| $$\widehat{\Sigma_{Y_i,\;Y_j}}=\widehat{\rho_{Y_i,\;Y_j}}\widehat{\sigma_{Y_i}}\widehat{\sigma_{Y_j}}$$ | (6d) |
연간 로그유입량인 Y는 다변량정규분포를 따르므로(Eq. (7a)) 정규분포 난수생성 프로그램을 이용하여 Ytest를 무작위 생성할 수 있고, 이를 통해 Xtest를 생성할 수 있다(Eq. (7b)). 본 연구는 MATLAB에 내재되어있는 다변량정규분포 난수생성 프로그램인 ‘mvtnorm'함수를 이용하였다. 이를 활용하여 총 400개의 1년 단위 평가유입량을 한 case당 105개씩 생성하였다. 평가유입량의 평균의 변화비율(Average Change Ratio, 이하 AVG Change Ratio)과 분산의 변화 비율(Standard Deviation Change Ratio, 이하 STD Change Ratio)은 현재의 통계량의 0.1배까지 감소하고 2배까지 증가하는 경우를 고려하였고, 이를 반영하기 위해 관계식 Eqs. (6b)~(6c)의 a에는 0.1부터 2까지, b에는 0.1부터 2까지 0.1 간격으로 대입하였다.
| $$Y_{test}\sim N\left(\widehat{\mu_Y},\;\widehat{\Sigma_{YY}}\right),\;Y=\left(Y_1,\;Y_2,\;\cdots,\;Y_T\right)$$ | (7a) |
| $$X_{test}=exp\left(Y_{test}\right)-\epsilon$$ | (7b) |
2.5 평가지표의 선정
최적화된 댐 운영규칙을 평가하기 위해 물공급 실패의 크기(magnitude), 빈도(frequency), 및 지속기간(length)의 개념을 골고루 반영할 수 있도록 총 6가지 평가지표를 선정하였다. 댐 운영의 실패의 크기 개념을 갖는 평가지표로써 WDR (p.y.), WDR (p.o.), 그리고 WDR (max)를 선정하였고, 빈도의 개념을 갖는 평가지표로는 Risk와 Risk (30%)를 사용하였으며, 지속기간의 지표로 ReT를 사용하였다(Table 1).
Table 1. Classification of performance indices
실패의 크기는 다양한 관점에서 평가될 수 있는데, 가장 일반적으로 생각할 수 있는 관점은 1년 이수기 전체기간동안의 평균적인 물 부족량이다. 본 연구는 이를 반영하기 위해 연간 평균적인 물 부족량 비율을 나타내는 WDR (p.y.)(Water Deficit Ratio per year) 지표를 사용하였다. 하지만 의사결정과정에서는 물 부족 사건이 발생하였을 때, 얼마나 물이 부족한지도 중요하게 고려될 수 있다. 왜냐하면 이것은 물 부족 사건 발생시에 사용자가 직접적으로 체감하는 불편을 반영하기 때문이다. WDR (p.o.)(Water Deficit Ratio per occurrence) 지표는 이를 반영하며, 연간 발생 횟수당 물 부족량비율이고 전체적인 평균부족량을 나타내는 WDR (p.y.)와 달리, 한번의 실패에 얼마나 크게 실패하는지를 나타내는 평가지표이다. WDR (max)(maximum Water Deficit Ratio) 지표는 연간 최대 물 부족량이 얼마나 되는지 확인하기 위해 사용되었으며, 1년동안의 운영에서 가장 물이 부족할 때의 크기를 나타낸다.
Risk와 Risk (30%)는 수자원시스템이 얼마나 자주 실패하는지 그 빈도를 평가한다. Risk는 연간 물 부족 사건 발생 비율이고, Risk (30%)는 물 부족량 비율이 30%를 넘는 사건인 critical event의 발생 빈도를 나타낸 값이다. 본 연구에서는 로버스트 최적화가 직접적으로 critical event의 발생확률을 어떻게 감소시켰는지 확인하기 위해, Risk (30%) 지표를 Risk 지표와 함께 사용하였다. Critical event는 보령댐의 과거 물 부족 사건을 참고로 물 부족량 비율이 30%를 넘는 사건으로 정의되었고, 이와 같이 정의한 이유는 3절에서 설명하였다.
ReT (Recovery Time)는 사건이 실패에서 성공으로 회복되는 데에 걸리는 기간을 나타낸다. 즉, 회복기간(tb-ta)을 물 부족이 발생하고 이를 정상상태까지 회복하는 소요되는 기간으로 정의하면 ReT는 회복기간의 연간 최대값으로 정의된다.
본 연구에서는 6가지 지표를 수자원시스템을 평가할 수 있는 지표로 제시하였으며, 의사결정 문제에 따라 지표는 가감될 수 있다. 예를 들어, 수자원시스템의 회복기간을 3개월 이하로 하는 것이 중요한 의사결정의 기준이 된다면 회복기간이 3개월 이하가 되는 사건의 발생확률을 지표로써 추가할 수 있을 것이다.
통일성을 위해서 6가지 평가지표인 WDR (p.y.), WDR (p.o.), WDR (max), Risk와 Risk (30%), 그리고 ReT는 모두 값이 커질수록 큰 실패를 나타내도록 설정하였다.
2.6 댐 운영규칙 평가
2.6.1 Model Selection with Decision Scaling (MSDS)
본 연구에서 제안하는 Model Selection with Decision Scaling (MSDS) 기법은 로버스트 의사결정방법 이론 중 하나인 Decision Scaling (Brown et al., 2012) 방법에 근거한다. MSDS는 Decision Scaling 기법과 같이 미래 환경의 변화에 따른 평가지표의 변화를 등고선 그림인 Decision Scaling plot으로 표현하는 것에서 시작하는데, 이는 환경의 변화에 따라 시스템이 얼마나 취약한지에 대한 시각화된 정보를 제공한다. 그리고 발생가능한 미래 환경의 범위를 예측하기 위해 작성된 그래프에 미래기간동안 발생 가능한 GCM dots를 표시한다. Decision Scaling plot에 대한 예시는 Fig. 1과 같고, MSDS를 이용하여 최적화 모형을 선택하는 방법은 다음과 같다. 먼저, 의사결정자가 허용하는 지표의 최대값인 평가지표의 임계값을 정해야 한다. 그 다음에 의사결정자는 모형의 적합성을 임계값에 해당하는 등고선(contour line)을 바탕으로 판단할 수 있다. 그리고 의사결정자는 발생가능한 시나리오 영역 중에서 의사결정자가 실제로 관심을 갖는 영역인 가능위험영역(possible hazard area)을 설정할 수 있다. 예를 들어, 의사결정자가 유입량이 현재의 50%까지 감소하는 상황이 실제로 일어날 가능성이 있는 미래로 판단한다면 유입량이 현재의 100%~50%인 구간이 가능위험영역이 된다. 그리고 의사결정자는 가능위험영역에서 임계선(threshold line)을 초과하는 영역인 임계초과영역(area over threshold)을 확인할 수 있다. 최종적으로 이 영역의 넓이가 더 작은 모형이 더 바람직하다고 평가할 수 있는데, 이는 임계초과영역의 사건은 의사결정자가 바라지 않는 사건이기 때문이다. 최종적으로, 본 기법은 의사결정자가 가능한 미래 시나리오의 영역에서 원하지 않는 사건이 일어날 확률이 줄이는 최적화 모형을 선택할 수 있도록 한다.
2.6.2 Model Selection with Parallel Coordinates Plot (MSPCP)
최적화 결과는 로버스트 의사결정이론중 하나인 Many- Objective Robust Decision Making (Kasprzyk et al., 2013)에서 제안한 Parallel Coordinates Plot (PCP)으로도 평가할 수 있는데, 그 형태는 Fig. 2와 같다. PCP는 평가기준이 여러 가지일 때 이에 대한 상충관계를 한 눈에 파악할 수 있도록한다. PCP는 'The Reed Research Group'에서 제공하는 Parallel Coordinates (0.7.0) (http://syntagmatic.github.io/parallel- coordinates)를 이용하여 작성하였다. 의사결정자는 최종적으로 PCP를 이용하여 어떤 최적화 모형을 선택할 지 결정할 수 있는데, 본 연구는 이를 Model Selection with PCP (MSPCP)로 지칭하였다.
3. 대상유역 및 자료
본 연구의 대상유역은 최근 3년여간 극심한 가뭄을 겪었던 보령댐으로 선정하였다(Fig. 3). 보령댐은 충청남도 보령시에 위치하며 1998년도에 준공되었다. 댐의 용량은 106.4 MCM (Million Cubic Meters) 이고, 연간 총 수요량 100.9 MCM 정도이다. 즉, 보령댐은 댐의 규모와 연간수요가 비슷한 비교적 작은 규모의 다목적 댐이다. 구체적으로 보령댐의 용수공급계획은 연평균 3~3.6 CMS (Cubic Meters per Second) 인데, 이중에서 생공용수가 2.65 CMS, 하천유지용수가 0.36 CMS, 그리고 농업용수는 0~0.6 CMS를 차지한다. 보령댐은 강우량이 적은 해에 물을 안정적으로 공급하기 어려워지므로 더욱 강건한 운영방법이 필요하다. 본 연구에서는 로버스트 최적화방법을 활용하여 유량의 규모가 변동하는 상황에서도 보다 안정적인 운영방법을 산출할 수 있는지 확인하였다. 과거 관측자료로 국가수자원관리종합시스템(WAMIS)에서 제공하는 1998년부터 2017년까지의 유입량자료를 사용하였고, 보령댐의 저수지 특성은 Table 2와 같다.
Table 2. Features of boryeong dam
보령댐의 과거 저수량 시계열 자료를 보면(Fig. 4), 2014년도 이후 저수량이 계속 낮은 상태에 머물고 있음을 알 수 있다. 보령댐 인근지역의 심한 가뭄으로 인해 댐으로부터 용수를 공급받는 충청남도 8개 시군구에서 2015년 10월에 자율적으로 제한급수를 시행하기도 하였는데, 이때의 감량목표는 생공용수를 20% 감량하는 것이었다. 본 연구는 이러한 과거의 사례를 바탕으로 하여 하천유지용수 및 생공용수의 20% 이상을 감량하는 사건 (전체 용수의 30% 이상을 감량)을 critical event으로 정의하였고, 이를 로버스트 항으로 포함시켜 로버스트 최적화를 진행하였다.
4. 적용결과
4.1 최적화를 통한 운영규칙 산정
본 연구는 2절에서 제시한 SDP 모형과 Robust-SDP 모형을 사용하여 보령댐의 월 최적 방류량을 산정하였고, Robust- SDP 모형에서 critical event를 WDR>0.3으로 정의하였기 때문에 𝜃=0.3으로 설정하였다. St는 최저 저수량(Smin) 8.2 MCM과 최대 저수량(Smax) 106.4 MCM 사이에서 30개로 이산화하였으며, Qt는 적합된 확률분포에 따라 11개의 구간으로 이산화하였다. 최적화 과정에서 𝜔3(weight 3)은 10-6으로 하였고, 𝜔1(weight 1)과 𝜔2(weight 2)는 Table 3과 같이 정하여 가중치 변화에 따른 모형의 효과를 비교하고자 하였다.
Table 3. Optimization model with different weight values
| Model number | weight 1 (𝜔1) | weight 2 (𝜔2) | Model name |
| Model 1 | 1 | 0 | SDP model |
| Model 2 | 1 | 1 | Robust-SDP model |
| Model 3 | 0 | 1 | Robust-SDP model |
| Model 4 | 1 | 0.5 | Robust-SDP model |
4.2 MSDS 기법을 활용한 모형의 평가
댐의 운영능력이 유입량의 비정상성에 따라 얼마나 취약해지는지 확인하기 위해 대표적인 두 모형인 SDP 모형(Model 1)과 Robust-SDP 모형(Model 2) 별로 산정한 평가지표 결과를 decision scaling plot으로 나타내고 MSDS 기법으로 이를 평가하였다. 본 논문에서는 대표적인 평가지표인 WDR (p.o.), Risk, 그리고 Risk (30%)의 결과를 Figs. 5~7로 나타내었고, 종합적인 평가결과는 Table 5에 정리하였다.
Table 4. The threshold value of each indices
Table 5. The results of MSDS for six performance indices
본 연구에서 설정한 의사결정자의 모형선택 기준은 평가지표 별로 Table 4와 같다. 6가지의 평가지표별로 임계값(threshold)을 설정하였는데, 임계값의 설정은 보령댐 운영의 과거 관측자료를 바탕으로 설정하였다. WDR (p.y.)의 경우에는 하천유지용수 감량 이상으로 용수를 감량하지 않는 수준인 10%를 임계값으로 설정하였다. WDR (p.o.)의 경우 본 연구에서 설정한 critical event(하천유지용수 감량 및 비관개기의 경우 생공용수 20% 수준까지 감량)인 30%를 임계값으로 설정하였고, WDR (max)는 최악의 상황에도 절반 이상의 부족량은 넘지 않도록 임계값을 50%로 설정하였다. 빈도에 관한 지표인 Risk와 Risk (30%)의 임계값을 각각 90%와 10%로 설정하였는데 이는 2014년 이후 보령댐의 실제 운영결과 Risk는 97%, Risk (30%)는 19%였으며 이를 개선하기 위해서이다. 물 부족 기간에 관한 지표인 ReT의 경우에는 2014년 이후 보령댐의 실제 운영으로 계산된 이수기 물 부족 기간인 9개월을 개선하기 위해서 임계값을 6개월로 설정하였다.
아울러, 미래 유입량의 평균과 표준편차의 비율이 어느 정도로 변하는 것이 가능한 시나리오인지 예상하기 위해 보령댐 유역의 과거기간(1975~2005년) 대비 미래기간(2016~2045년)의 27개 GCM의 평균 및 표준편차 변동률을 Figs. 5~7에 GCM dots로 나타내었다. GCM 자료로는 Seo et al. (2018)의 GCM 선정 방법을 활용한 Seo and Kim (2018)의 대한민국 대표 GCM 선정 연구에 사용된 자료를 사용하였다. 그리고 이를 GR4J 수문모형을 이용하여 유입량 자료로 변환하였다.
이와 같이 설정한 threshold와 Decision Scaling plot을 바탕으로 하여 두 모형을 평가하였다. 이때, 2.6.1절에서 언급한 것과 같이, 임계초과영역의 넓이가 작을수록 좋은 모형이 된다. 각각의 지표에 대해 SDP 모형의 임계선은 검정색 점선으로, Robust-SDP모형의 임계선은 하얀색 점선으로 나타내었다.
지표 WDR (p.o.)에 대한 Decision Scaling Plot은 Fig. 5와 같다. Robust-SDP 모형의 임계초과영역의 넓이는 SDP 모형보다 감소하였는데, 이는 Robust-SDP에서 critical event의 발생을 제어하였기 때문에 1회당 물 부족이 30%를 넘는 WDR (p.o.) 지표의 값도 전반적으로 감소한 것이다. 특히 Robust-SDP 모형의 임계초과영역은 거의 0에 가까운데, 이는 유입량이 현재의 50%까지 감소하더라도 critical event는 거의 발생하지 않음을 의미한다.
Risk의 경우(Fig. 6)에는 임계선이 가능위험영역 밖에 위치한다. 이는 SDP 모형과 Robust-SDP모형 모두 가능위험영역 에서 임계값을 초과하는 부분은 없고, 임계값의 의미를 고려하면 Risk 지표 측면에서는 과거 보령댐의 운영을 두 모형 모두 개선함을 의미한다. Risk (30%)의 경우(Fig. 7)에는 Robust- SDP 모형이 우수한 수행능력을 보이는데, 이는 Robust-SDP 모형에서 이 지표를 직접적으로 제어하였기 때문이다.
MSDS 기법을 이용한 최적화 모형의 종합적인 평가 결과를 Table 5에 나타내었다. Robust-SDP 모형의 보령댐 운영규칙은 SDP모형의 운영규칙에 비해 3개의 지표에서 수행능력을 개선하였고, 1개의 지표에서는 악화시켰으며, 2개의 지표에는 영향을 주지 않음을 확인할 수 있었다. 이를 통해 의사결정자는 중요하다고 판단되는 지표에 따라 더 적합한 모형을 선택할 수 있다.
4.3 MSPCP 기법을 활용한 모형의 평가
본 연구에서는 각 목적항에 대한 가중치를 달리하여 모형 1~4를 구성하였는데(Table 3), 이때 MSPCP를 활용하여 모형과 그 때의 가중치를 결정할 수 있다. 모형 1~4를 평가한 PCP는 Fig. 8과 같다. Fig. 8(a)는 유입량의 전체 통계량에 대한 지표의 범위가 모두 표시되어 있고, 𝜔2의 가중치에 따라 주황색은 𝜔2=1인 모형, 노란색은 𝜔2=0.5인 모형, 그리고 하늘색은 𝜔2=0인 모형을 나타낸다. Figs. 8(b)~(c)는 유입량의 평균이 현재보다 50%까지 감소하는 상황을 확인한 결과이고, 빨간색은 𝜔2=1인 모형, 파란색은 𝜔2=0인 모형을 나타낸다. 유입량 통계량 50~100%에서 the best case를 나타낸 Fig. 8(b)에서는 모든 지표에서 SDP의 수행능력이 더 우세하다(지표의 값이 더 작다). 반면에, the worst case를 나타낸 Fig. 8(c)의 경우에는, WDR (p.o.)와 Risk (30%)에 대해 Robust-SDP가 SDP를 개선한다. 기후변화의 비정상성으로 인하여 유입량의 평균이 과거보다 감소하였을 때 Robust- SDP는 critical event가 발생할 확률(Risk (30%))을 제어하며, 이를 통해 실패 사건의 크기(WDR (p.o.))가 급격하게 증가하지 않도록 함을 알 수 있다. 즉, Robust-SDP를 통해 산출된 댐 운영규칙은 현재보다 악화된 환경에서도, 극단적으로 물이 부족할 사건이 나타날 확률을 감소시키는 강건성을 나타낸다.
5. 결 론
본 연구는 기후변화 상황에서 유입량의 통계적 특성이 현재와 달라지더라도 저수지 운영의 신뢰도가 크게 떨어지지 않게 하는 저수지 운영규칙을 산정하기 위한 'Robust-SDP' 최적화 기법을 제안하였다. 본 연구는 ‘SDP’와 ‘로버스트 최적화’를 결합한 ‘Robust-SDP’를 이용하여 보령댐의 이수기 운영규칙을 산출하였으며, 이를 6가지의 평가지표와 400가지의 유입량 조건에서 평가하였다.
평가결과, 미래의 유입량이 현재보다 부족해질 때 Robust- SDP 운영규칙은 극단적으로 물이 부족한 critical event 발생을 예방하는 본래의 목적을 적절히 수행함을 확인할 수 있었다. 미래 유입량의 평균이 현재의 50%으로 감소할 때 WDR (p.o.)와 Risk (30%)는 각각 0.12, 0.06만큼 감소하였고, Risk는 0.16만큼 증가하였다. 지표의 값이 감소함은 운영이 개선되었음을 의미하기 때문에, Robust-SDP에 critical event의 발생확률을 줄이는 강건성(Robust)의 개념이 잘 반영되었음을 확인할 수 있다. 그러나 Risk 지표의 증가를 통해, 큰 실패를 막기 위해 작은 실패의 발생 빈도를 증가시키는 상충관계가 발생하였음을 알 수 있다. 이러한 지표 값들의 변화는 MSPCP를 통해서도 확인할 수 있다. 하지만 MSDS를 통해 분석하면 Robust-SDP에서 악화된 Risk 지표 값의 분포는 실질적으로 의사결정과정에 영향을 미치는 임계초과영역에 영향을 주지 않고, 따라서 증가한 Risk 값이 의사결정과정에 영향을 주지 않게 됨을 알 수 있다. 본문에서 서술된 것과 같이(Table 5) Robust-SDP는 사전에 설정한 threshold에 대해 3가지 지표에서 수행능력을 개선하였고, 1개의 지표에 대해 악화하였으며, 2개의 지표에 대해서는 영향을 주지 않았다. 이와같이, MSPCP를 통해서 지표 값들의 상충관계를 확인할 수 있고, MSDS를 통해 각 지표가 의사결정과정에 실질적으로 주는 영향을 확인할 수 있다.
Probabilistic RO 이론을 적용한 Robust-SDP는 결국 다목적최적화의 형태가 되는데, 이때 목적항들은 서로 상충관계에 직면하게 된다. 상충관계가 있는 두 목적항은 동시에 최적화 될 수 없기 때문에, 적절한 가중치 산정을 통하여 의사결정자가 원하는 운영규칙을 결정해야 한다. 앞서 설명한 것과 같이, MSDS기법과 MSPCP기법을 활용해 의사결정자는 우선되는 가치에 따라 최적화 모형과 그 가중치를 결정할 수 있다. 의사결정자는 예측하기 힘든 미래 기후변화에 대비해야 하므로, 어떤 상황에서도 꼭 만족해야하는 물관리의 목적을 명확하게 정하는 것이 중요하다. 그리고 이런 최소한의 요구 기준을 바탕으로 본 연구에서 제시한 방법으로 대안 및 최적화모형을 선택할 수 있다. 또한, 의사결정자는 대안 선택에 따라 기준으로 정한 지표 이외의 다른 지표들이 어떤 영향을 받는지 확인하여야 예상하지 못한 문제가 발생하는 것을 사전에 방지할 수 있다.
본 연구는 기후변화 적응을 위한 의사결정이론인 로버스트 의사결정이론을 댐 운영규칙 산출에 적용하였다는 것과, 그에 따른 미래의 발생 가능한 결과들을 시각화하였다는 점에서 의의가 있다. 국내 댐 운영은 수자원의 운용에 있어서 매우 중요한 역할을 하며 그만큼 여러 이해관계가 얽혀있고, 보수적인 운영을 필요로 한다. 따라서, 본 연구의 방법론은 미래 불확실성의 상황에서 국내 댐 운영을 평가하고 개선할 수 있는 하나의 대안이 될 수 있다. 다만, 본 연구에서 제시하는 평가지표는 실제 물 문제를 해결함에 있어서 한계가 있을 수 있다. 이는 물 부족에 의한 피해의 크기는 단순히 물 부족량에 선형적관계로 대응하지 않기 때문이다. 그렇기에, 물 부족으로 인한 피해를 나타내는 경제적 지표를 도입하는 추가적인 연구가 필요할 것이다.
