Characteristics of coastal monopolar vortex

Seongeun Choi; Sunmin Yoon; Yeulwoo Kim

doi:10.3741/JKWRA.2024.57.12.1015

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Research Article

Journal of Korea Water Resources Association. 31 December 2024. 1015-1025
https://doi.org/10.3741/JKWRA.2024.57.12.1015

Characteristics of coastal monopolar vortex

해안 단극성 와류의 거동 특성

Seongeun Choi^a

Sunmin Yoon^b

Yeulwoo Kim^c^*

최 성은^a

윤 선민^b

김 열우^c^*

^aPostdoctoral Researcher, Civil Engineerring Major, Department of Sustainable Engineering, Pukyong National University, Busan, Korea

^bMaster Student, Civil Engineerring Major, Department of Sustainable Engineering, Pukyong National University, Busan, Korea

^cAssistant Professor, Civil Engineerring Major, Department of Sustainable Engineering, Pukyong National University, Busan, Korea

^a국립부경대학교 지속가능공학부 토목공학전공 박사후연구원

^b국립부경대학교 지속가능공학부 토목공학전공 석사과정

^c국립부경대학교 지속가능공학부 토목공학전공 조교수

^{*Corresponding Author}

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ABSTRACT

This study utilizes a large eddy simulation technique to analyze the three-dimensional flow structures and turbulence characteristics of monopolar vortex generated by a long wave. Numerical simulations are validated with laboratory experiments conducted in a large scale three-dimensional wave tank at Oregon State University, comparing the trajectory of the vortex center and velocity fields. By incorporating an additional surface tension coefficient, a trend of increasing convergence in ensemble-azimuthal-averaged velocity components on the free surface is identified. The increased realization using an additional surface tension coefficient results in a reduced error for ensemble-azimuthal-averaged velocity and vorticity between the numerical simulations and the experimental data. The kinematic energy of vertical velocity component is found to be relatively lower than that in other directions, thus the monopolar vortex is considered to exhibit quasi-two-dimensional flow characteristics. Likewise, velocity spectra in the azimuthal direction shows isotropic eddies, while those in the vertical direction show a rapid dissipation slope, supporting the evidence of quasi-two-dimensional flow. The vertical distribution of turbulent kinetic energy shows a uniform profile, although that of turbulence production is non-uniform due to local shear and recirculation. The turbulence dissipation also shows a non-uniform vertical distribution influenced by bed shear stress.

Keywords

Monopolar vortex

Long wave

Large eddy simulation

Turbulence

OpenFOAM

본 연구에서는 장파에 의해 발생하는 단극성 와류의 삼차원 유동 구조와 난류 특성을 분석하기 위해 large eddy simulation 기법을 활용하였다. 오리건 주립 대학교의 삼차원 조파 수조에서 수행된 수리모형실험을 기반으로, 수치모형실험 결과를 와류 중심부의 이동 경로와 속도장과 비교하여 검증하였다. 표면장력 계수를 추가적으로 고려하면서 앙상블-방위각 평균된 자유수면 유속 성분의 수렴성이 시간이 지남에 따라 증가하는 경향을 보였다. 또한, 표면장력 계수의 증가로 앙상블-방위각 평균 유속이 수리모형실험과의 오차가 감소하면서, 추가적인 수치모형실험의 타당성이 입증되었다. 각 방향에 따른 운동 에너지를 비교한 결과, 수심 방향 에너지가 다른 방향 에너지에 비해 상대적으로 작아, 단극성 와류 흐름이 준 이차원 흐름임을 나타낸다. 이와 같은 맥락에서, 방위각 속도 스펙트럼은 등방성을 유지하였으나 수심 방향 속도 스펙트럼은 더 높은 소산율 기울기를 나타내어 준 이차원 흐름 특징을 재확인하였다. 단극성 와류의 난류 에너지는 수심 방향으로 비교적 균일하나 국부 전단력과 재순환에 의해 난류 생성율의 수직 분포는 비균일하였으며, 난류 소산율 또한 수직 분포에서 국부 전단력의 영향으로 비균일성을 보였다.

키워드

단극성 와류

장파

큰에디모사

난류

OpenFOAM

MAIN

1. 서 론
2. 수리모형실험
3. 수치모형실험
4. 결 과
5. 결 론

1. 서 론

항만은 지역사회에 경제적, 환경적 혜택을 제공하지만, 항만 내 설치되는 방파제 및 부두 등 다양한 구조물은 극한파랑(예: 쓰나미)에 취약하다. 극한파랑이 발생하면 항만구조물 주변에서 수평 소용돌이가 관찰되며(Choi et al., 2008; Wilson et al., 2012; Admire et al., 2014), 이 소용돌이는 강한 유속을 야기하여 항만구조물에 상당한 손상을 입힌다. 예를 들어, 2004년 인도양 쓰나미가 발생하였을 때, 수평 소용돌이로 인해 오만 살랄라 항구에 정박 중이던 한 선박이 상당한 거리를 회전하며 표류하는 피해가 발생하였다(Okal et al., 2006). 이 사례는 장파로 인해 유발된 소용돌이가 항만구조물이나 선박에 상당한 피해를 초래할 수 있음을 보여주며, 따라서 장파에 의해 유발된 와류의 거동을 이해하는 것은 항만 구조물의 안정성과 관련하여 중요한 요소이다.

최근 방파제와 같은 항만구조물의 가장자리에서 장파에 의해 유발된 단극성 와류의 역학적 특징을 조사하기 위해 대규모 수리모형실험을 진행하였다(Kalligeris et al., 2021). 장파가 좁은 항구 입구를 통과하며 수평 전단과 수직 와도가 발생함에 따라 이차원 난류 구조체(Turbuelnt Coherent Structures)가 형성됨을 확인하였다. 수리모형실험을 통해 수집된 자료를 기반으로 난류 에너지의 소멸 및 장파로 인해 유발되는 난류 구조체의 확장 과정이 Seol and Jirka (2010)가 제안한 1차원 와류 모델을 따른다는 것을 확인하였다.

난류 구조체는 특정시간에 공간적으로 일정한 고유값을 가지는 삼차원 구조의 난류성 소용돌이 구조를 의미한다(Hussain, 1983). 삼차원 난류 구조체는 에너지 진화 과정을 통해 더 작은 규모의 소용돌이로 붕괴한다. 그러나 연직 방향 성분이 상대적으로 무시할 수 있을 만큼 작을 때 난류는 수직 길이가 제한되어 이차원 구조로 생성된다(Jirka, 2001; Kim et al., 2021). 이차원 난류 구조체의 운동 에너지는 Kolmogorov 가설(Pope, 2001)을 기반으로 한 삼차원 등방성 난류 구조체의 운동 에너지보다 빠르게 소산된다고 알려져 있다(Lindborg and Alvelius, 2000; Uijttewaal and Jirka, 2003).

Son et al. (2011)은 비선형 Boussinesq 모델을 천수 방정식과 결합하여 이차원 난류 구조체를 구현하였으며 이를 활용하여 2004년에 발생한 인도양 쓰나미를 재현하였다. 이후 Williams and Fuhrman (2016)은 𝑘-𝜔 난류 모델 기반 Reynolds- Averaged Navier-Stokes (RANS) 방정식을 활용하여 연직 흐름 구조를 고려한 난류 구조를 해석하였다. 그러나 RANS 모델은 시간 평균된 흐름을 모의하기 때문에 난류 구조체의 동적 변화를 정확하게 포착하기 어렵다는 한계점을 지닌다. 이러한 한계점을 극복하기 위해 본 연구에서는 큰 소용돌이를 직접 모의하고 작은 소용돌이는 모델링하는 Large Eddy Simulation (LES) 모델을 활용하였으며, 이는 큰 비정상류를 직접적으로 모의하므로 난류 구조체의 공간적, 시간적 진화과정을 정확히 모의하는데 더욱 적합하다. LES 모델의 적용을 통해 난류 구조의 미세한 변동성을 정밀히 분석할 수 있었으며, 특히 단극성 와류의 형성과정에서 중요한 물리적 계수로 표면장력을 사용하여 난류 특성의 비선형적 변화를 조정하였다. 표면장력 계수는 와류 중심의 궤적과 같은 주요 흐름 패턴에 영향을 주어 수치모형실험의 수렴성을 높이는 데 기여하며, 다양한 표면장력 조건에서 앙상블 평균화를 적용하여 난류 현상의 변동성을 모의하였다.

선행 연구에서는 LES 기법을 활용하여 장파에 의해 발생하는 난류 구조체의 진화과정 및 표면장력 계수의 변화가 단극성 와류의 중심 궤적과 이차 난류 구조의 형성 및 에너지 소멸에 미치는 영향을 살펴보았다(Kim et al., 2021). 이후 진행한 연구에서는 단극성 와류의 수렴성을 높이기 위해 표면장력 계수를 추가하여 수치모형실험을 수행하였으며, 이를 수리모형실험과 비교하여 수치모형실험의 예측 정확도를 검증하고 향상시켰다(Kim, 2023). 본 연구에서는 이전 연구(Kim et al., 2021)에서 다룬 단극성 와류의 삼차원 유동구조 및 난류 특성의 수렴 문제를 해결하기 위해, 추가적인 데이터를 통해 난류 구조의 진화를 수리모형실험과 함께 재검토하였다. 특히, 추가적인 표면장력 계수를 적용하여 준 이차원 흐름 특성과 난류 에너지의 생성 및 소산에 어떤 변화가 나타나는지를 확인해 보고자 한다.

2. 수리모형실험

수리모형실험은 오리건 주립 대학교의 O.H. Hinsdale Wave Research Laboratory에 설치된 삼차원 조파 수조에서 수행되었다(Kalligeris et al., 2021). 조파 수조의 길이와 폭은 각각 44 m, 26.5 m 이며, 벽면에 방파제가 27도로 설치되어 있다. 설치된 방파제의 끝점은 조파 수조 상단 측벽으로부터 3.1 m 거리에 위치한다. 수리모형실험은 1:27 배율로 축소되어 시행되었으며 수리모형실험에서의 정수심은 0.55 m이다. 조파는 피스톤 방식을 활용하여 진행되었으며, N 타입의(Tadepalli and Synolakis, 1994) 단독파랑이 생성되었다. 생성된 파랑의 높이(𝐻𝑤)는 4.6 cm, 주기(𝑇𝑤)는 42 s, 파장(𝐿𝑤)은 97.6 m이다.

실험은 총 27회 반복되었으며, Kim (2023)의 Fig. 1과 같이 조파 수조 전 구역의 432개 위치에서 자유수면 높이를 측정하였다. 중간 수심에는 Acoustic Doppler Velocimeters (ADVs) 센서를 3곳에 설치하여 조파기, 항내, 항만 출입구 근처의 유속 시계열 자료를 확보하였다. 표면 유속은 이차원 Particle Tracking Velocimetry (PTV)를 활용하여 측정하였다. 본 연구에서는 중간 수심에서 측정된 유속 데이터를 LES 모형 검증에 사용하였으며, 이전 연구(Kim et al., 2021; Kim, 2023)에서도 중간 수심의 유속과 시간에 따른 수위 변동을 이미 검증하여 수치 모형의 신뢰성을 확보하였다.

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Fig. 1.

Ensemble-azimuthal-averaged results combining Runs 1-4 on the free surface as a function of the number of data points. The dashed lines represent the results shown in Kim et al. (2021)

3. 수치모형실험

본 연구에서는 수리모형실험(Kalligeris et al., 2021)을 수치모형실험으로 재현하기 위해 삼차원 LES 모델을 활용하였다. LES 모델은 큰 에디의 흐름 정보를 직접 취득하고 폐쇄 모델을 사용하여 작은 에디를 매개 변수화해 흐름 정보를 취득한다. 큰 에디와 작은 에디는 공간필터를 기준으로 크고 작은 에디로 구분하며, 본 연구에서 사용한 공간필터는 다음과 같다.

(1)

∆ = (∆ x ∆ y ∆ z)^{1 / 3}

여기서 $∆ x$ , $∆ y$ , $∆ z$ 는 각각 $x$ , $y$ , $z$ 방향 격자 크기를 나타낸다. 큰 에디의 흐름 정보는 공간필터를 사용한 Navier Stokes 방정식으로 표현할 수 있다.

(2)

\frac{\partial ρ u_{i}}{\partial t} + \frac{\partial ρ u_{i} u_{j}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} [μ (\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}})] - \frac{\partial ρ τ_{i j}^{s g s}}{\partial x_{j}} + ρ g δ_{i 3} + σ γ \frac{\partial ϕ^{w}}{\partial x_{i}}

아래첨자 $i$ , $j$ , $k$ 는 삼차원 흐름을 나타내기 위해 1, 2, 3 값을 가지며, 𝜌, $u_{i}$ , $p$ , 𝜇, $g$ , $δ_{i 3}$ , 𝜎, 𝛾, 𝜙는 각각 유체 밀도, 유속, 압력, 점성 계수, 중력 가속도, 크로네커 델타, 표면장력 계수, 수면의 곡률, 물의 농도를 나타낸다. 작은 에디의 난류응력( $τ_{i j}^{s g s}$ )은 standard Smagorinsky 모델을 통해 산정되며 다음과 같이 표현할 수 있다.

(3)

τ_{i j}^{s g s} - \frac{1}{3} δ_{i j} τ_{k k}^{s g s} = - 2 (C_{s} ∆)^{2} S S_{i j}

Smagorinsky 계수( $C_{s}$ )는 유체 혼합층 및 경계층에 적용되는 0.167로 설정되었다(Patel et al., 2019; Wang et al., 2019; Zahiri and Roohi, 2019). $S_{i j} = \frac{1}{2} (\partial u_{i} / \partial x_{j} + \partial u_{j} / \partial x_{i})$ 는 변형률, $S = (2 S_{i j} S_{i j})^{1 / 2}$ 는 변형강도를 나타낸다.

본 연구에서는 두 유체(물, 공기)가 사용되며 Volume of Fluid (VOF) 방법을 통해 혼합상을 구현하였다. 물과 공기는 서로 섞이지 않으며, 각각 $w$ 와 $a$ 로 표기하여 혼합 밀도를 표현할 수 있다(Hirt and Nichols, 1981).

(4)

ρ = ρ^{w} ϕ^{w} + ρ^{a} (1 - ϕ^{a})

물과 공기의 밀도는 각각 1,000 kg/m³과 1 kg/m³로 설정되었으며, 질량보존 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

(5)

\frac{\partial ϕ^{w}}{\partial t} + \frac{\partial ϕ^{w} u_{i}}{\partial x_{i}} + \frac{\partial ϕ^{w} (1 - ϕ^{w}) u_{i}^{r}}{\partial x_{i}} = 0

여기서, $u^{r}$ 은 두 유체의 상대속도를 나타내며 물의 속도에서 공기의 속도를 차감하여 산정한다.

두 상을 표현하고 동적 격자를 사용하기 위해 오픈소스 프로그램인 OpenFOAM 내 interDyMFoam을 수치해석 프로그램으로 활용하였다. 조파기는 동적 격자를 이용해 42 s 동안 피스톤 운동을 수행하여 단일 비대칭 파동을 생성하였으며, 이는 이전 연구와 같은 조건으로 생성되었다(Kim et al., 2021; Kim, 2023). 수직 방향( $z$ )과 두 수평 방향( $x$ , $y$ )의 격자 크기는 각각 2.75 cm, 8.23 cm이며, 조파기를 기준으로 $x$ 와 $y$ 방향은 각각 수직 및 수평 방향이다. 방파제 근처의 구조 격자는 snappyHexMesh에 의해 방파제 경계에 맞춘 삼각 격자로 변형되었다(Jackson, 2012). 총 480만 개의 격자점이 시뮬레이션에 사용되었으며, 100개의 병렬 프로세서(2.8 GHz Ivy Bridge- EP E5-2680 Xeon)를 사용하여 수치 결과 500 s를 취득하기 위해 약 300시간이 소요되었다.

경계조건으로는 벽에 수직 및 평행인 유속 성분은 0으로 적용되었다. 다양한 수치모형실험 조건에서 난류의 생성과 소멸을 취득하여 앙상블 평균을 수행하기 위해 네가지 𝜎를 사용하여 수치모형실험이 수행되었다. 구체적으로, 𝜎는 물의 온도를 20도에서 35도로 가정하여 0.070 kg/s², 0.071 kg/s², 0.072 kg/s², 0.073 kg/s²을 사용하였으며 각각 Runs 1, 2, 3, 4로 표현하였다. 선택된 𝜎에 대한 Weber 수( $= ρ w U^{2} D / σ$ )와 Bound 수( $= ρ w g D^{2} / σ$ )는 특성길이( $D$ )를 수평 격자 크기, $U$ 를 0.2 m/s로 가정하였을 때 각각 10²과 10³의 차수에 해당한다. 관성과 중력이 표면장력보다 우세한 상황에서, 표면장력은 Navier-Stokes 방정식의 비선형 반응을 유발하는 섭동 요소로 활용하였다.

4. 결 과

수치모형실험 결과와 Kalligeris et al. (2021)의 수리모형실험 결과의 자유수면에서의 수평 속도장과 와류 중심의 이동 경로를 비교 검토하여 수치모델의 타당성을 이전 연구에서 검증하였다(Kim et al., 2021; Kim, 2023). 본 연구에서는 수치모형실험의 자유수면에서의 유속 성분을 수리모형실험과 비교분석하여 수치모형실험의 타당성을 더욱 입증하고 수렴성이 증가한 결과로 난류의 특성을 해석하고자 한다. 이전 연구에서 시간에 따른 와류의 진화과정을 내항와류생성기, 외해와류생성기, 단극성외해와류기로 구분하였다(Kim et al., 2021; Kim, 2023). 이 중 단극성외해와류기는 중심( $x^{c}$ , $y^{c}$ )에서 방위각(𝜃) 방향으로 통계적 균질성을 가진다고 가정되며, 이러한 특성으로 인해 수평 속도장( $u$ , $v$ )을 데카르트 좌표계에서 원통 좌표계로 변환할 수 있다.

(6)

u_{θ} = - u \sin θ + v \cos θ

(7)

u_{r} = u \cos θ + v \sin θ

여기서 $u_{θ}$ , $u_{r}$ 은 방위각, 반경 속도 성분이며, 𝜃는 arctan $[(y - y^{c}) / (x - x^{c})]$ 으로 산정된다. 와류 중심 속도( $u^{c f}, v^{c f}$ )는 $O$ (10^-1) 차수를 가지며, 원통 좌표계로 변환할 때 정지 상태에서의 속도 성분을 구하기 위해 다음 식으로 방위각과 반경( $r$ ) 속도 성분을 취득하였다.

(8)

u_{θ}^{c} (r, θ, z, t) = - [u (r, θ, z, t) - u^{c f} (t)] \sin θ + [v (r, θ, z, t) - v^{c f} (t)] \cos θ

(9)

u_{r}^{c} (r, θ, z, t) = [u (r, θ, z, t) - u^{c f} (t)] \cos θ + [v (r, θ, z, t) - v^{c f} (t)] \sin θ

원통 좌표계 속도 성분으로 변환한 후 난류 구조체의 동역학적 특성을 비교하기 위해 방위각 평균을 진행하였다.

(10)

<{\bar{u}}_{i}^{c}> = \frac{1}{N} \sum_{j = 1}^{N} u_{i j}^{c} (r - d r < r < r + d r, θ, z, t)

여기서 ‾과 < >는 각각 앙상블 평균과 방위각 평균을 나타내며, $i = r, θ, z, N$ 은 데이터의 개수를 나타낸다. 본 연구에서 $d r$ 은 0.25 m으로 설정하여 Runs 1-4 결과를 평균하였으며, 자유수면에서의 방위각 및 반경 평균 유속이 수렴하는지 확인하여 단극성 와류로 진화하기까지 충분한 시간이 확보되었는지 확인하였다(Fig. 1). 또한, 이전 연구(Kim, 2023)와 비교하기 위해 Run 4를 제외한 결과도 점선으로 표기하여 평균값의 변화를 시각적으로 제시하였다. 방위각 및 반경 속도 성분은 Runs 1-3을 평균시킨 이전 결과(Kim et al., 2021)와 동일하게 데이터 개수가 증가함에 따라 수렴하지 않고 계속 감속하거나 증가하는 경향으로 보여, $t$ =100 s에서 변동성이 크다는 것을 확인할 수 있다. 이는 여전히 난류 구조체가 단극성 와류 형태로 진화하지 않았기 때문으로 판단된다(Figs. 1(a) and 1(d)). 반면에 $t$ =300 s와 $t$ =500 s에서는 Run 4를 추가하면서 이전 결과와 비교해 보았을 때 데이터 개수가 증가여 이전 결과에 비해 수렴성이 증가한 것을 확인할 수 있다(Kim et al., 2021). 이를 통해 난류 구조체의 동역학적 특성을 조사할 때 충분한 자료를 토대로 방위각 평균을 사용하는 것이 적절함을 나타낸다.

수치모형실험 결과는 수리모형실험 결과와의 일치도를 정량화하기 위해 정규화된 평균 제곱 오차(Normalized Root Mean Square Error, NRMSE)와 일치 지수(Index of Agreement, IA)를 사용하였다.

(11)

N R M S E = \frac{\sqrt{\frac{1}{m} \sum_{n = 1}^{m} (E_{n} - M_{n})^{2}}}{E_{\max} - E_{\min}}

(12)

I A = 1 - \frac{\sum_{n = 1}^{m} (M_{n} - E_{n})^{2}}{\sum_{n = 1}^{m} {(|M_{n} - \bar{E}| + |E_{n} - \bar{E}|)}^{2}}

여기서, 첨자 $n$ 은 시간 또는 공간을 나타내며, $M$ , $E$ , $\bar{E}$ 는 각각 수치모형실험 결과, 수리모형실험 결과 그리고 수리모형실험 결과의 산술평균을 나타낸다. NRMSE는 0과 가까울수록 일치도가 높다고 판단하며, IA는 1에 가까울수록 좋은 일치도를, 0에 가까울수록 불일치에 가깝다고 판단한다(Willmott and Wicks, 1980). 외해 와류의 난류 구조체에서 측정된 앙상블-방위각 평균 유동장( $< {\bar{u}}_{θ}^{c} > (r, η, t)$ )을 수면 $z = η$ 에서 $t$ =100 s부터 500 s까지 50 s 간격으로 Fig. 2에 도식화 하였다. 전반적으로 IA의 범위는 0.824(Fig. 2(a))에서 0.957(Fig. 2(b))로 산정되었으며 NRMSE는 5.5%(Fig. 2(b))에서 12.3%(Fig. 2(i)) 범위에 존재하는데, 이는 이전 연구(Kim et al., 2021)에 비해 불일치성이 소폭 감소한 것으로 보인다. $< {\bar{u}}_{θ}^{c} >$ 의 최댓값은 약 $r = R_{\max} ~$ 0.97 m에서 발생하며, 수치모형실험 결과가 수리모형실험 결과보다 기존 연구와 같이 약 20% 과대 예측되었다. 이는 벽면 경계조건에 의해 수치모형실험의 고주파수 파동 에너지가 수리모형실험에 비해 다소 크게 발생하기 때문에 발생하는 것으로 판단된다. 이러한 결과로 인해, 수치모형실험은 외해와류 운동 에너지의 감소를 과소평가하게 된다.

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Fig. 2.

Profiles of $< \bar{u_{θ}^{c}} >$ on the free surface: measured data (gray symbols) with ±1 standard deviation (gray error bars) and modeled results combining Run 1-4 (black curves)

앙상블-방위각 평균 와류의 수직 성분( $ω_{z} = \partial v / \partial x - \partial u / \partial y$ )은 수리모형실험과 수치모형실험 모두에서, 와류의 중심( $r$ =0)에서 멀어질수록 지수적으로 감소하는 경향을 보였다(Fig. 3). 그러나, 와류의 중심( $r$ =0)에서의 $< \bar{ω_{z}} >$ 최댓값은 과소 예측되었으며, $t$ =100 s일 때 NRMSE와 IA가 각각 26.9%와 0.753으로 도출되었다. 두 값 모두 기존연구(Kim et al., 2021)에 비해 감소하였고 Fig. 3의 대다수 시간에서 일치성이 기존 연구에 비해 높아졌음을 알 수 있다. 특히 $t$ 가 500 s에 가까워짐에 따라 와류의 중심에서 수리모형실험 결과와 수치모형실험 결과의 차이가 감소하는 경향을 보이는데, 이는 와류의 운동 에너지가 시간이 지남에 따라 소산되어 발생하는 현상으로 보인다. 이처럼 수리모형실험과의 비교를 통해 수치모형실험 결과가 대규모 유동 구조를 잘 재현하는 것을 확인하였다. 이후 본 연구에서는 장파에 의해 유도된 난류 구조체의 삼차원 결과를 활용하여, 단극성 와류 주변 유동장에서 이차 유동(secondary flow)과 주 유동(primary flow) 성분의 운동 에너지 비율을 통해 난류 구조체의 이차원성을 정량화하려 한다.

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Fig. 3.

Ensemble-azimuthal-averaged free surface profiles of $\bar{ω_{z}}$ : measured data (gray symbols) and modeled results combining Run 1-4 (black curves)

Satijn et al. (2001)는 $E_{k, r} / E_{r, θ}$ 와 $E_{k, z} / E_{k, θ}$ 가 대략 $O$ (10^-2)이하인 경우, 난류 구조체가 준 이차원 조건에 있다고 제안하였다. 이에 따라, 단극성 와류의 각 속도 성분에 대한 운동 에너지는 다음과 같이 정의된다.

(13)

E_{k, i} (t) = 2 π \int_{0}^{h} \int_{0}^{R} {\frac{1}{2} ρ < {\bar{u}}_{i}^{c} >}^{2} r d r d z

여기서 $i = r, θ, z$ 이며, $r$ 축에 대한 적분을 수행할 때, 와류가 영향을 미치는 수평 영역을 일정하게 설정하여 경계의 영향을 배제하였다. 이 수평 영역은 $R_{v \max}$ 의 4배로 고정하였고, 는 500 s 동안 거의 변하지 않았다(Kalligeris et al., 2021). Runs 1-4에 대한 앙상블-방위각 평균 속도 프로파일을 사용한 수치모형실험 결과 앙상블-방위각 평균 속도 프로파일을 사용한 수치모형실험 결과에서는 $E_{k, r} / E_{k, θ}$ 는 대략 $O$ (10^-1)로 측정되었으며, $r$ 축의 운동 에너지가 해당 𝜃 축의 운동 에너지보다 약 한 차원 정도 작다는 것을 확인할 수 있다(Fig. 4(a)). 반면에, $E_{k, z} / E_{k, θ}$ 는 $O$ (10^-2)이하로 산정됐으며, 이는 $z$ 방향의 운동이 제한되어 준 이차원 흐름 조건이 나타남을 알 수 있다(Fig. 4(b)). 수리모형실험에서는 수평 속도장만이 자유 표면에서 측정되었고, 수심 방향의 속도장은 측정되지 않았기 때문에 수심 적분 결과를 얻을 수 없었다. 그러나 수심 적분 결과를 제외하더라도, 측정된 $E_{k, r} / E_{k, θ}$ 는 모든 시점에서 대략 $O$ (10^-2) 이하였으며, 이는 수치모형실험 결과보다 한 차원 정도 작다. 이러한 불일치는 수리모형실험에서 원심력과 중력 가속도 간의 힘 균형으로 인해, 자유 표면에서 내부로 향하는 흐름이 반대 방향으로 향하는 흐름에 의해 상쇄된 결과로 해석될 수 있다. 본 연구에서는 이전 연구보다 넓은 범위의 표면장력 계수를 고려하였음에도 불구하고, 결과는 이전 연구(Kim et al., 2021)와 유사한 경향을 보였다.

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Fig. 4.

Time series of modeled results combining Runs 1-4

난류 구조체의 이차원적인 특성은 속도 스펙트럼을 활용하여 더욱 명확하게 설명할 수 있다. 1차원 속도 스펙트럼 $E_{u_{i}^{c} u_{i}^{c}}$ 는 필터링된 속도 자기 상관( $R_{u_{i}^{c} u_{i}^{c}}$ )의 푸리에 변환을 사용하여 정의된다(Pope, 2001).

(14)

E_{u_{i}^{c} u_{i}^{c}} (κ_{r}) = \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} R_{u_{i}^{c} u_{i}^{c}} (ξ) \exp (- i κ_{r} ξ) d ξ

여기서 $i = r, θ, z$ , $κ_{r} = 2 π / r$ , $R_{u_{i}^{c} u_{i}^{c}} (ξ) = < u_{i}^{c'} (r) u_{i}^{c'} (r + ξ) >$ 이며, $u_{i}^{c'} = u_{i}^{c} - < u_{i}^{c} >$ 이다. 또한 역함수는 다음과 같이 정의된다.

(15)

R_{u_{i}^{c} u_{i}^{c}} (ξ) = \frac{1}{2} \int_{- \infty}^{\infty} E_{u_{i}^{c} u_{i}^{c}} (κ_{r}) \exp (i κ_{r} ξ) d κ_{r}

스펙트럼을 산정하기 위해, 속도장은 중심 와류를 관통하는 $r$ 방향을 따라 5도 간격으로 보간되었다. $E_{u_{i}^{c} u_{i}^{c}}$ 는 네 가지 표면장력 계수에 대한 수치모형실험 결과를 평균하였다.

(16)

< {\bar{E}}_{u_{i}^{c} u_{i}^{c}} > (κ_{r}) = \frac{1}{N} \sum_{j = 1}^{N} (\frac{E_{u_{i}^{c} u_{i}^{c}}^{R u n 1} (κ_{r}, j ∙ θ) + E_{u_{i}^{c} u_{i}^{c}}^{R u n 2} (κ_{r}, j ∙ θ)}{4} + \frac{E_{u_{i}^{c} u_{i}^{c}}^{R u n 3} (κ_{r}, j ∙ θ) + E_{u_{i}^{c} u_{i}^{c}}^{R u n 4} (κ_{r}, j ∙ θ)}{4})

여기서 $d θ$ =5°, $N$ =36 이다. 중간 깊이( $z / h$ =0.53)에서 $t$ = 100, 300, 400, 500 s일 때 1차원 속도 스펙트럼을 도출하였다(Fig. 5). $r$ 축에서 $R_{u_{i}^{c} u_{i}^{c}}$ 의 첫 번째 영교차 지점을 산정하여 에디의 characteristic length ( $l_{0}$ )를 구하였다. 이번 연구에서의 평균 $l_{0}$ 는 0.6 m로 산정되었으며, 이는 이전 연구(Kim et al., 2021)에서 도출 된 0.63 m보다 다소 작게 산출되었다. 수치모형실험에서 사용된 격자 크기는 $l_{0}$ 보다 약 한 차원 정도 작은 값으로 설정 되었다. 횡방향 스펙트럼 $< {\bar{E}}_{w w} >$ 에서는 300 s 이후일 때 큰 파수( $κ_{r} > 2 π / l_{0}$ )에서 -3의 기울기를 보였으며, 이는 $z$ 방향으로 난류 운동이 제한되어 나타난 결과로 보여진다(Uijttewaal and Booij, 2000; Uijttewaal and Jirka, 2003; Sou et al., 2010; Kim et al., 2021). 반면, 방위각 속도 스펙트럼 $< {\bar{E}}_{u_{θ}^{c} u_{θ}^{c}} >$ 은 등방성을 유지하며 -5/3 기울기를 따른다. 시간이 지남에 따라 큰 에디로부터 얻은 속도장은 준 이차원 난류 특성을 더욱 분명하게 나타낸다. 사용된 해상도는 작은 규모(small-scale)의 난류 운동 에너지 소산과 대규모 흐름을 포착하는데 충분하며, $O$ (10^-4~10^-3) 차원의 파수 영역 내에서 주요 난류 운동 에너지 스펙트럼 특성을 확인할 수 있었다. 그러나 현재 수치모형실험에서 사용된 제한된 수평 격자 크기 때문에, 에너지 소산과정에서 상대적으로 일정한 기울기의 범위는 두 차원 미만으로 줄어들었다.

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Fig. 5.

One dimensional velocity spectra: blue solid curves for $< {\bar{E}}_{u_{θ}^{c} u_{θ}^{c}} >$ and red dashed curves for $< {\bar{E}}_{w w} >$ combining Run 1-4; Black solid lines, -5/3 slope; Black dashed lines, -3 slope; Black dotted lines, $κ_{r} = 2 π / l_{0}$

다음은 난류 특성을 확인하기 위해 난류운동 에너지( $K$ ), 난류 생성율( $P$ ), 난류 소산율(𝜖)을 다음과 같이 정의하였다.

(17)

K (r, z, t) = \frac{1}{2} < u_{i}' u_{i}' >

(18)

P (r, z, t) = P_{r e s} (r, z, t) + P_{t s} (r, z, t) = - < u_{i}' u_{j}' > < S_{i j} > - < 2 ν^{s g s} S_{i j}' > < S_{i j} >

(19)

ϵ (r, z, t) = ϵ_{r e s} (r, z, t) + ϵ_{t s} (r, z, t) = 2 ν < S_{i j}' S_{i j}' > + 2 < ν^{s g s} S_{i j}' S_{i j}' >

여기서 $u_{i}' = u_{i} - < u_{i}' >$ 로 정의되며, 𝜈, $ν^{s g s}$ , $S_{i j}'$ , $P_{r e s}$ , $P_{t s}$ , $ϵ_{r e s}$ , $ϵ_{t s}$ 는 각각 동점성계수, 아격자(Subgrid-scale, SGS) 규모 동점성계수, 변동 변형률, resolved 난류 생성율, SGS 난류 생성율, resolved 난류 소산율, SGS 난류 소산율을 나타낸다. Run 4의 $r - z$ 평면에서의 $K, P, ϵ$ 는 Fig. 6에 도식화되어 있으며, 자유수면의 변동성을 나타내기 위해 방위각 평균 수심( $< h >$ )의 최대( $h_{\max}$ ) 및 최소( $h_{\min}$ ) 값을 함께 점선으로 표시하였다. $h_{\max}$ 와 $h_{\min}$ 에서 관찰된 $P$ 와 𝜖 값은 방위각 방향에서 변동하는 자유수면을 고려하기 때문에 실제보다 높게 나타나는 경향이 있다. $K$ 의 수직 분포는 $P$ 와 𝜖에 비해 상대적으로 균일하다. $t$ =100 s에서의 $K$ 는 $r$ 축으로 이동할수록 값이 감소하나 $t$ =300 s에서 $t$ =500 s로 갈수록 $K$ 가 균일해지는 경향을 보인다. 반면, 국부 전단력과 재순환 때문에 $P$ 는 난류 구조체의 움직임에 의해 공간적으로 불균일한 양상을 보였다. 또한, 𝜖도 불균일한 양상을 보였는데 주로 바닥근처에서 높은 값이 산정되었고, 이는 난류가 바닥 마찰력에 의해 소산되기 때문이라 볼 수 있다. 이러한 결과는 Run 2를 통해 $K$ , $P$ , 𝜖를 확인한 이전 연구(Kim et al., 2021)에서도 확인할 수 있으나, 표면장력 계수가 변화하였기 때문에 약간의 차이가 발생하였다. 특히 𝜖이 수심( $z$ )에 따라 값이 달라지는 양상은 준 2차 난류 흐름에서도 난류 값의 수직 변동성이 존재하며 삼차원 데이터를 취득하는 것이 필요하다는 것을 나타낸다.

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Fig. 6.

The $r - z$ plane snapshots of $K$ [m²/s²], $P$ [m²/s³], and 𝜖[m²/s³] for Run 4 including white dashed curves for $< h >$ and white dotted curves for maximum and minimum h in azimuthal direction

Fig. 6에서 확인된 $z$ 방향에 따른 𝑃와 𝜀의 변화를 자세히 분석하기 위해, $r$ 방향으로 평균화된 난류 생성율( $P_{r} (z, t) = \frac{1}{R} \int_{0}^{R} P (r, z, t) d r$ )과 난류 소산율( $ϵ_{r} (z, t) = \frac{1}{R} \int_{0}^{R} ϵ (r, z, t) d r$ )을 Fig. 7에 분석하였다. 이전연구(Kim et al., 2021)에서 Runs 1-3의 $P_{r}$ 과 $ϵ_{r}$ 를 확인한 것과 유사하게 𝑅은 4 m로 고정되었으며, 본 연구에서는 Run 4의 결과를 도식화하였다. $P_{r}$ 은 $t$ =100 s (Fig. 7(a))일 때 $z$ 방향으로 균일하며 크기는 $O$ (10^-3) m²/s³였으나, $t$ =500 s (Fig. 7(d))에서는 크기가 $O$ (10^-4) m²/s³까지 감소하였다. 반면, $ϵ_{r}$ 는 모든 시간대에서 바닥에 가까울수록 크게 산정되었으며, 바닥에서 멀어질수록 1~이차원까지 감소하였다. 이는 바닥 마찰에 의해 난류 운동 에너지가 소산됨을 알 수 있다. 따라서, 바닥에 가까울수록 $P_{r}$ 과 $ϵ_{r}$ 의 차이가 줄어들기 때문에 충분한 경계층 해석이 이루어질 경우 두 값이 균형을 이룰 가능성이 높아진다. 그러나 재순환 현상으로 인해 $P_{r}$ 이 $ϵ_{r}$ 보다 더 높은 값을 유지하면서, 난류 생성 매커니즘이 500 s까지 발생하는 것을 확인할 수 있었다. 이는 천해에서 발생한 단극 와류를 연구하려면 시간 및 공간적으로 $P$ 와 𝜖 값이 상이할 수 있어 이를 고려해야 할 수 있음을 뜻한다. $ϵ_{r}$ 의 값은 $O$ (10^-6) m²/s³에서 $O$ (10^-4) m²/s³ 사이에 있으며 Run 4의 결과로 에디 관성길이(Eddy Inertia Length, $l_{E I}$ )와 에디 소산 길이(Eddy Dissipation Length, $l_{D I}$ )를 확인해 본 결과 $l_{E I}$ 는 100 mm에서 600 mm 사이에 있으며 $l_{D I}$ 는 이전 연구(Kim et al., 2021)과 비슷한 19 mm에서 60 mm 사이의 값을 가졌다.

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Fig. 7.

The vertical profile of $P_{r}$ (solid curves) and $ϵ_{r}$ (dashed curves) for Run 4

5. 결 론

본 연구에서는 LES 기법을 활용하여 장파에 의해 발생하는 단극성 와류의 삼차원 유동 구조와 난류 특성을 분석하였다. 표면장력 계수를 다양한 조건으로 설정하여 난류 평균 흐름 특성에 미치는 영향을 분석한 결과, 자유수면에서의 방위각 및 반경 평균 유속의 수렴성이 이전 연구 결과에 비해 증가한 것을 확인하였다. 난류 구조체에서 측정된 앙상블-방위각 평균 유동장의 경우, IA는 0.824로, 최소 NRMSE는 12.3%로 나타나, 이전 연구에 비해 일치성이 증가한 것을 관찰할 수 있었다. 특히 벽면에서의 수치모형실험 결과가 수리모형실험 결과에 비해 크게 발생하였는데, 이는 벽면 경계조건의 영향으로 해석된다. 앙상블-방위각 평균 와류의 수직 성분은 수리모형실험과 수치모형실험 모두에서 시간이 지남에 따라 와류의 스케일은 일정하게 유지되었고, 와류 중심에서 멀어질수록 지수적으로 감소하는 경향을 보였다. 또한 방위각 방향 에너지가 수심 방향 에너지와 비교하여 한 차원 이상 차이를 보이므로, 단극성 와류를 준 이차원적 흐름으로 볼 수 있다. 속도 스펙트럼 분석을 통해 에디의 characteristic length가 이전 연구에 비해 다소 작게 산정되었음을 확인하였으며, 방위각 속도 스펙트럼에서는 난류 에너지가 시간에 따라 더욱 분명한 준 이차원 흐름 특성을 나타냈다. 난류 특성을 평가하기 위해 난류운동 에너지, 난류 생성율, 난류 소산율을 정의하고 분석한 결과, 수심에 따라 난류 소산율의 변동성이 존재하며, 단극성 와류의 난류 특성을 확인하기 위해서는 삼차원 데이터의 필요성이 입증되었다. 또한, 방위각에 따른 난류 생성율과 난류 소산율이 공간적으로 불균형하게 발생하는 것을 확인하였다. 이처럼 단극성 와류 흐름은 준 이차원 흐름이지만 삼차원 유동구조 및 난류 특성을 확인하는 연구가 필요함을 도출할 수 있었다.

Acknowledgements

이 논문은 국립부경대학교 자율창의학술연구비(2023년)에 의하여 연구되었음.

Conflicts of Interest

The authors declare no conflict of interest.

References

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Journal of Korea Water Resources Association ISSN:2799-8746(Print) 2799-8754(Online) 한국수자원학회 논문집

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Characteristics of coastal monopolar vortex

ABSTRACT

MAIN

Fig. 1.

Ensemble-azimuthal-averaged results combining Runs 1-4 on the free surface as a function of the number of data points. The dashed lines represent the results shown in Kim et al. (2021)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

Fig. 2.

Profiles of <uθc¯> on the free surface: measured data (gray symbols) with ±1 standard deviation (gray error bars) and modeled results combining Run 1-4 (black curves)

Fig. 3.

Ensemble-azimuthal-averaged free surface profiles of ωz¯: measured data (gray symbols) and modeled results combining Run 1-4 (black curves)

(13)

Fig. 4.

Time series of modeled results combining Runs 1-4

(14)

(15)

(16)

Fig. 5.

One dimensional velocity spectra: blue solid curves for <E¯uθcuθc> and red dashed curves for <E¯ww> combining Run 1-4; Black solid lines, -5/3 slope; Black dashed lines, -3 slope; Black dotted lines, κr=2π/l0

(17)

(18)

(19)

Fig. 6.

The r-z plane snapshots of K[m2/s2], P[m2/s3], and 𝜖[m2/s3] for Run 4 including white dashed curves for <h> and white dotted curves for maximum and minimum h in azimuthal direction

Fig. 7.

The vertical profile of Pr (solid curves) and ϵr (dashed curves) for Run 4

Acknowledgements

Conflicts of Interest

References

Profiles of $< \bar{u_{θ}^{c}} >$ on the free surface: measured data (gray symbols) with ±1 standard deviation (gray error bars) and modeled results combining Run 1-4 (black curves)

Ensemble-azimuthal-averaged free surface profiles of $\bar{ω_{z}}$ : measured data (gray symbols) and modeled results combining Run 1-4 (black curves)

One dimensional velocity spectra: blue solid curves for $< {\bar{E}}_{u_{θ}^{c} u_{θ}^{c}} >$ and red dashed curves for $< {\bar{E}}_{w w} >$ combining Run 1-4; Black solid lines, -5/3 slope; Black dashed lines, -3 slope; Black dotted lines, $κ_{r} = 2 π / l_{0}$

The $r - z$ plane snapshots of $K$ [m²/s²], $P$ [m²/s³], and 𝜖[m²/s³] for Run 4 including white dashed curves for $< h >$ and white dotted curves for maximum and minimum h in azimuthal direction

The vertical profile of $P_{r}$ (solid curves) and $ϵ_{r}$ (dashed curves) for Run 4