Numerical simulation and Rouse number-based quantitative analysis of turbulence damping parameter for high-concentration sediment transport in pressurized pipes

Yongjun Kwon; Seung Ho Hong; Hyung-Suk Kim

doi:10.3741/JKWRA.2026.59.9.1115

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Journal of Korea Water Resources Association. 30 September 2026. 1115-1129
https://doi.org/10.3741/JKWRA.2026.59.9.1115

Numerical simulation and Rouse number-based quantitative analysis of turbulence damping parameter for high-concentration sediment transport in pressurized pipes

관수로 고농도 유사이송의 수치해석 및 난류 감쇠 매개변수의 Rouse 수 기반 정량 분석

Yongjun Kwon^a

Seung Ho Hong^b

Hyung-Suk Kim^c^*

권 용준^a

홍 승호^b

김 형석^c^*

^aPh.D Student, Department of Civil & Environment Engineering, Kunsan National University, Gunsan, Korea

^bProfessor, Department of Civil and Environmental Engineering, Hanyang University ERICA, Ansan, Korea

^cAssociate Professor, Department of Civil Engineering, Kunsan National University, Gunsan, Korea

^a국립군산대학교 토목환경공학부 박사과정

^b한양대학교 에리카 건설환경공학과 교수

^c국립군산대학교 토목공학과 부교수

^{*Corresponding Author}

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ABSTRACT

Three-dimensional numerical simulations of high-concentration fluid-sediment mixture flow in a circular pipe were conducted using the OpenFOAM-based sedInterFoam solver, with the previously reported experimental results adopted as the validation benchmark. The inverse Schmidt number (SUS) specification method and the governing factors of the turbulence damping parameter B were quantitatively investigated. A mesh convergence study was performed under a uniform SUS = 1.0 condition, and the optimal mesh of N₅ (982,800 cells) was selected based on a composite assessment of MAPE for both velocity profiles and sediment concentration distributions. A locally computed SUSlocal, derived from a previously published empirical formula, was subsequently applied. For d = 0.09 mm, SUSlocal = 1.016–1.024, deviating from SUS = 1.0 by only 1.6–2.4%, resulting in a marginal improvement in concentration profile accuracy (MAPE: 4.92% → 3.79%). For d = 0.27 mm, SUSlocal = 1.91–3.0 was obtained, and the enhanced turbulent diffusivity substantially alleviated the near-bed concentration over-accumulation, yielding a marked improvement in predictive accuracy (MAPE: 47.98% → 14.70%). The Rouse number was introduced as a sediment transport regime classifier to identify the governing factors of parameter B. In the wash-load regime (Z < 0.8), B ≤ 10^-4 was obtained for Z = 0.218–0.269, while a constant value of B ≈ 0.22 was observed for Z = 0.453–0.641. In the suspended- and bed-load dominant regime (Z ≥ 0.8), B varied from 0.07 to 0.24 over Z = 1.645–2.901, exhibiting a stepwise change in the magnitude of B with regime transition. This hierarchical governing structure of B is quantitatively established for the first time under high-concentration sediment transport conditions in a circular pipe. A predictive relationship between the dimensionless sediment concentration C^* and B, given by B=0.0162 × (C^*)^-1.066(R² = 0.975), is proposed for the Z ≥ 0.8 regime.

Keywords

SedInterFoam

Sediment transport

Schmidt number

Turbulence damping parameter

Rouse number

Mesh sensitivity analysis

OpenFOAM 기반 sedInterFoam 솔버를 활용하여 원형 단면 관수로 내 고농도 유체-유사 혼합류에 대한 3차원 수치모의를 수행하였으며, 기존 문헌의 수리실험 결과를 검증 기준으로 채택하였다. Schmidt 수의 역수(SUS) 산정 방법 및 난류 감쇠 매개변수 B의 지배 인자를 정량적으로 분석하였다. 균일 SUS = 1.0 조건에서 격자 해상도에 대한 수렴성 검토를 수행하였으며, 유속 및 유사 농도 MAPE의 종합 평가를 통해 최적 격자를 결정하였다. 기존 문헌의 경험식에 기반하여 국부적으로 산정하는 SUSlocal을 적용하였다. d = 0.09 mm 조건에서는 SUSlocal=1.016~1.024로 SUS = 1.0과의 차이가 1.6~2.4%에 불과하여 농도 분포 재현성 개선 효과가 제한적이었으며(MAPE 4.92%→3.79%), d = 0.27 mm 조건에서는 SUSlocal=1.91~3.0이 산정되어 난류 확산 증가에 따라 관 하부 집중되는 농도 분포의 완화와 함께 수리실험 재현성이 현저히 향상되었다(MAPE 47.98%→14.70%). Rouse 수(Z = w_s/κu^*)를 유사 이송 체제 분류 지표로 도입하여 매개변수 B의 지배 인자를 분석하였다. Z < 0.8의 완전부유 체제에서는 Z = 0.218~0.269 범위에서 B ≤ 10^-4, Z = 0.453~0.641 범위에서 B ≈ 0.22의 일정한 값이 각각 나타났으며, Z ≥ 0.8의 부유사–소류사 복합 체제에서는 Z = 1.645~2.901에 걸쳐 B=0.07~0.24로 체제 전환에 따라 B의 크기 수준이 단계적으로 변화하였다. 이러한 B의 단계적 지배 구조는 관수로 고농도 유사이송 조건에서 정량적으로 규명되었다. 또한 Z ≥ 0.8 조건에서 무차원 유사 농도 C^*와 B의 관계식 B = 0.0162 × (C^*)^-1.066 (R²=0.975)을 제시하였다.

키워드

sedInterFoam

관수로 유사이송

Schmidt 수

난류 감쇠 매개변수

Rouse 수

격자 민감도

MAIN

1. 서 론
2. 수치모델
2.1 지배방정식
2.2 유체 난류 폐합
2.3 입자 응력 폐합
3. 수치해석
3.1 수치모델 구성 및 모의조건
3.2 Schmidt 수 설정
3.3 격자민감도 및 SUS 선정
4. 수치해석 결과
4.1 유속 프로파일
4.2 유사 농도 분포
4.3 입경 조건에 따른 유사 이송 체제 비교 및 검토
5. 난류 감쇠 매개변수 분석
5.1 단일 변수와 B의 상관성 분석
5.2 Rouse 수 기반 유사 이송 체제와 B의 지배 인자
5.3 부유사 및 소류사 우세 체제에서의 C*-B 정량 관계
6. 토 의
7. 결 론

1. 서 론

도심지 하부에 설치되는 대심도 빗물배수터널은 집중 강우 시 대규모 유출수를 일시 저류하거나 신속히 배제함으로써 도시 침수를 예방하는 핵심 지하 인프라이며, 극한 기후의 빈도와 강도가 증가함에 따라 그 중요성이 지속적으로 확대되고 있다. 직경 10 m 내외, 연장 수 km에 달하는 이 구조물은 홍수 시 초기 개수로 흐름에서 점차 만관 흐름으로 전이되는 관수로 조건을 형성하며, 이 과정에서 자유수면 거동, 공기 혼입 및 압력 흐름이 복합적으로 발생한다. 유수와 함께 유입되는 다량의 유사는 부유와 침강이 복합적으로 작용하면서 터널 내 국부적인 퇴적 및 재부유 현상을 야기하며, 홍수 이후 퇴적 유사의 제거에는 상당한 인력과 유지관리 비용이 소요된다. 따라서 다양한 유입 유량 및 유사 조건에 따른 농도 분포와 퇴적 위치·규모를 사전에 정량적으로 예측하는 것은 효율적인 유지관리 계획 수립에 필수적이다.

유사이송 수치해석은 전통적으로 단상(single-phase) 기반 모델에 의존하여 왔다. 이 접근에서는 Navier-Stokes 방정식 또는 천수방정식으로 유동장을 계산하고, 부유사는 이류-확산 방정식으로, 소류사는 Meyer-Peter and Müller (1948) 또는 Van Rijn (1984) 등의 경험적 이송식과 Exner 방정식을 결합하여 하상 변동을 모의한다(Fang and Wang, 2000; Sabbagh-Yazdi and Jamshidi, 2013; Ota et al., 2015; Jacobsen et al., 2014; Baykal et al., 2014). 그러나 이 접근법은 복잡한 과도 흐름(transient flow), 자유수면 변동, 공기 혼입 및 고농도 유사 거동을 충분히 반영하지 못하며, 유체-입자 및 입자-입자 간 상호작용을 직접 고려하지 못한다. 특히 경험적 이송식은 복잡한 난류 구조와 비평형 유사 거동을 재현하는 데 본질적인 한계를 가진다.

이러한 한계를 극복하기 위해 유체와 유사를 각각 독립적인 상(phase)으로 취급하는 Eulerian-Eulerian 기반 다상 유동 모델이 활용되고 있다. sedFoam은 OpenFOAM의 twoPhaseEulerFoam 솔버를 기반으로 개발된 유체-유사 2상 유동 해석 도구로 3D Eulerian-Eulerian 모델이다(Chauchat et al., 2017; Cheng et al., 2017). 이 모델은 유체와 유사를 연속체로 가정하여 두 상(two-phase) 간의 복잡한 물리적 상호작용과 운동량 교환을 고려할 수 있으며, 유사농도에 따라 입자 운동론(Kinetic Theory of Granular Flow)과 유변학(Dense Granular Rheology)을 활용하여 부유사와 소류사 거동을 지배방정식 체계 내에서 해석할 수 있다. 또한, 입자의 부유 및 상호작용, 소류사의 이동, 하상 변화 등의 해석이 가능하며, 다양한 난류모델을 자유롭게 적용할 수 있다. Cheng et al. (2017)은 k-ε 난류모델을 적용하고 하상 침식 및 세굴을 경험식과 비교하여 수치모델 검증을 수행하였으며, Shields 매개변수와 Sleath 매개변수에 따른 순간적인 하상 붕괴 기준을 조사하여 기존 연구의 가설을 확인하였다. Chauchat et al. (2017)은 mixing length 난류모델을 개선하였으며, Shields 수에 따른 유사 매개변수를 분석하여 소류사 거동에 대한 재현성을 입증하였다. Cheng et al. (2018)은 LES (Large Eddy Simulation)를 활용하여 퇴적물 높이와 난류의 상관관계를 분석하였으며, 퇴적물의 이동으로 하상의 조도가 증가하는 것으로 나타났다. Mathieu et al. (2019)는 sedFoam에서 k-ε 및 k-ω 난류모델을 활용하여 하상 침식 연구를 수행하였으며, k-ε 모델은 구조물 주변 침식이 발생한 곳의 하상고를 잘 예측한 반면, k-ω 모델은 구조물 하류 vortex-shedding이 발생하는 곳의 하상고를 더 잘 재현하는 것으로 나타났다. Delisle et al. (2022)는 sedFoam을 이용한 소류사 거동 수치모의에서 난류 매개변수 B를 0.16으로 적용하였으며, 유속 및 유사 농도 분포, 퇴적 두께에 대한 실험 결과를 잘 예측하였다. sedFoam은 하상 세굴, 부유사 농도 분포, 소류사 거동 등 다양한 조건에서 검증이 이루어져 모델의 적용성이 입증되었으나, 자유수면 해석 기법을 포함하지 않아 복잡한 수표면 유동을 해석하는 데 한계가 있다.

Mathieu et al. (2025)는 Kim et al. (2018) 및 Lee et al. (2019)의 연구를 기반으로 기존 sedFoam을 확장하여, VOF (Volume of Fluid) 기반 자유수면 해석 기법을 적용한 3상(공기-물-유사) 솔버인 sedInterFoam을 개발하였으며, 이를 통해 자유수면을 동반하는 개수로 흐름뿐만 아니라 관수로 내 만관 전이 과정을 포함한 복잡한 유동 조건의 해석이 가능하다. sedInterFoam의 난류 모델은 유사의 영향이 고려된 RANS 기반 수정 k-ε 방정식을 활용할 수 있으며, 이 방정식 체계에는 유사 조건에 민감하게 반응하는 두 가지 경험적 매개변수가 포함된다. 첫 번째는 Schmidt 수(σ_c)의 역수(1/σ_c = SUS)로, 난류 운동량 확산 계수에 대한 유사의 난류 확산 계수 비를 나타내며, 유사의 수직 농도 분포를 직접 제어한다. 두 번째는 난류 감쇠 매개변수 B로, 난류운동에너지(Turbulence kinetic energy, TKE) 수송 방정식의 항력 감쇠항(α = exp(-B·St))에 포함되어 부유사 입자의 존재가 유체 난류 구조에 미치는 에너지 소산 효과의 강도를 정량화한다. SUS는 유사 농도의 공간적 분포를, B는 유사-유체 간 난류 에너지 교환을 각각 제어하며, 두 매개변수의 설정은 유속 및 유사 농도 분포의 재현 정확도에 복합적으로 영향을 미친다. sedInterFoam을 활용한 수치모의 연구는 주로 해안공학 분야에서 소류사 거동, 세굴 현상을 대상으로 검증이 이루어졌으나(Mathieu et al., 2025), 관수로 고농도 흐름에 대한 적용 사례는 상대적으로 매우 드물다.

기존 수치모의 연구에서 SUS는 대부분 SUS = 1.0의 고정값으로 적용되어 왔으며(Kaushal et al., 2013; Li et al., 2018), 이는 유사 입경, 침강 속도 및 유동 강도에 따른 난류 확산 특성의 변화를 반영하지 못하는 한계가 있다. 난류 감쇠 매개변수 B의 경우에도, 기존 sedFoam 기반 연구에서는 수리실험 데이터와의 비교를 통해 시행착오적으로 단일 고정값을 결정하여 왔으며, 실험 조건마다 상이한 B값이 적용되었음에도 불구하고 이를 결정하는 물리적 지배 인자에 대한 체계적인 분석은 수행된 바 없다(Chauchat et al., 2017; Cheng et al., 2017). 따라서 유사 입경, 농도 및 유동 조건이 복합적으로 변화하는 대심도 빗물배수터널 내 유사 거동을 신뢰성 있게 모의하기 위해서는, SUS와 B를 합리적으로 설정하기 위한 물리 기반 정량 분석이 선행되어야 한다.

본 연구에서는 sedInterFoam 솔버를 활용하여 Gillies et al. (2004)의 수리실험 조건(직경 0.103 m 원형 단면 관수로)을 대상으로 3차원 유체-유사 수치모의를 수행하고, 다음의 세 가지 목적을 달성하고자 하였다. 첫째, Van Rijn (1984) 경험식에 기반한 국부 Schmidt 수(SUSlocal)와 고정값(SUS = 1.0)이 격자 수렴 특성 및 수리실험 재현성에 미치는 영향을 정량적으로 비교하였다. 둘째, Rouse 수(Z = w_s/(κu^*))를 유사 이송 체제 분류 기준으로 도입하여 난류 감쇠 매개변수 B의 1차 지배 인자를 정량적으로 규명하였다. 셋째, 부유사 및 소류사 우세 체제(Z ≥ 0.8) 내에서 무차원 유사 농도 C^*와 B의 정량적 관계를 도출하여 B를 사전 추정하기 위한 예측식을 제안하였다(Fig. 1). 도출된 결과는 향후 대심도 빗물배수터널 내 유사 거동 수치모의 시 SUS 및 B 매개변수 설정의 물리적 근거로 활용될 수 있다.

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Fig. 1.

Research procedure of the present study.

2. 수치모델

유체-유사에 대한 3차원 해석을 수행하기 위해 OpenFOAM 기반 sedFoam과 interFoam을 결합한 sedInterFoam 솔버를 활용하였다. sedInterFoam 솔버는 기체-액체-고체 3상(three- phase) 간의 다상 상호작용을 오일러-오일러(Eulerian-Eulerian) 기반 지배방정식 체계 내에서 완전히 결합된(fully-coupled) 형태로 동시에 해석하며, 구체적인 지배방정식은 다음과 같다.

2.1 지배방정식

자유수면 해석을 포함하여 유체-유사 해석을 위해 공기, 물, 유사 3상에 대한 질량 보존 방정식은 다음의 Eqs. (1a), (1b), (1c)와 같다(Mathieu et al., 2025).

(1a)

\frac{\partial ϕ^{s}}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{i}} [ϕ^{s} u_{i}^{s}] = 0

(1b)

\frac{\partial}{\partial t} [ϕ^{f} (1 - ϕ^{s})] + \frac{\partial}{\partial x_{i}} [ϕ^{f} (1 - ϕ^{s}) u_{i}^{w}] = 0

(1c)

\frac{\partial}{\partial t} [(1 - ϕ^{f}) (1 - ϕ^{s})] + \frac{\partial}{\partial x_{i}} [(1 - ϕ^{f}) (1 - ϕ^{s}) u_{i}^{a}] = 0

여기서, $ϕ^{s}$ 는 유사 체적 농도, $u_{t}^{a}$ , $u_{i}^{w}$ , $u_{i}^{s}$ 는 공기, 물, 유사의 유속, $t$ 는 시간, $x_{i}$ ( $i$ = 1, 2, 3)는 직교 좌표 상의 세 방향을 의미한다. $ϕ^{f}$ 는 공기와 물의 체적 분율(Volume fraction)로 $ϕ^{f}$ = 1이면 물, $ϕ^{f}$ = 0이면 공기, 0< $0 < ϕ^{f}$ <1는 물과 공기 사이 경계면을 나타낸다. 각 상의 질량 보존 방정식을 해석하는 대신 $ϕ^{s}$ 와 $ϕ^{f}$ 에 대한 보존 방정식을 독립 변수로 취급한다. Eqs. (1a), (1b), (1c)을 결합한 유체의 질량 보존 방정식에 VOF 기법(Rusche, 2003; Klostermann et al., 2013)을 고려하면 유체 체적분율의 수송방정식은 다음과 같이 표현된다(Mathieu et al., 2025).

(2)

\frac{\partial ϕ^{f}}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{i}} [ϕ^{f} u_{i}^{f}] - ϕ^{f} \frac{\partial u_{i}^{f}}{\partial x_{i}} + \frac{\partial}{\partial x_{i}} [ϕ^{f} (1 - ϕ^{f}) u_{i}^{r}] = 0

여기서, $u_{i}^{f} = ϕ^{f} u_{i}^{w} + (1 - ϕ^{f}) u_{i}^{g}$ 로 유체 유속, $u_{i}^{r}$ 은 인공 압축 유속(artificial compression velocity)로 자유수면에만 영향을 준다. 유체와 유사 거동 해석을 위한 운동량 방정식은 Eqs. (3a) and (3b)와 같다(Mathieu et al., 2025).

(3a)

\frac{\partial}{\partial t} [ρ^{f} (1 - ϕ^{s}) u_{i}^{f}] + \frac{\partial}{\partial x_{j}} [ρ^{f} (1 - ϕ^{s}) u_{i}^{f} u_{j}^{f}] = - \frac{\partial p^{f}}{\partial x_{i}} δ_{i j} + \frac{\partial τ_{i j}^{f}}{\partial x_{j}} + (1 - ϕ^{s}) ρ^{f} g_{i} + (1 - ϕ^{s}) f_{i} + σ_{t} γ \frac{\partial ϕ^{f}}{\partial x_{i}} + ϕ^{s} \frac{\partial p^{f}}{\partial x_{i}} - ϕ^{s} β (u_{i}^{f} - u_{i}^{s}) + β \frac{ν_{t}^{f}}{σ_{c}} \frac{\partial ϕ^{s}}{\partial x_{i}} - L_{i} - A_{i}

(3b)

\frac{\partial}{\partial t} [ρ^{s} ϕ^{s} u_{i}^{s}] + \frac{\partial}{\partial x_{j}} [ρ^{s} ϕ^{s} u_{i}^{s} u_{j}^{s}] = - \frac{\partial p^{s}}{\partial x_{i}} δ_{i j} + \frac{\partial τ_{i j}^{s}}{\partial x_{j}} + ρ^{s} ϕ^{s} g_{i} + ϕ^{s} f_{i} - ϕ^{s} \frac{\partial p^{f}}{\partial x_{i}} + ϕ^{s} β (u_{i}^{f} - u_{i}^{s}) - β \frac{ν_{t}^{f}}{σ_{c}} \frac{\partial ϕ^{s}}{\partial x_{i}} + L_{i} + A_{i}

여기서, $ρ^{f} = ϕ^{f} ρ^{w} + (1 - ϕ^{f}) ρ^{g}$ 와 $ρ^{s}$ 는 각각 유체와 유사의 밀도이며, $ρ^{w}$ 와 $ρ^{q}$ 는 물과 공기의 밀도이다. $p^{f}$ 는 유체 압력, $δ_{i j}$ 는 크로네커 델타, $g_{i}$ 는 중력가속도. $f_{i}$ 는 외력항, $σ_{t}$ 는 자유수면에 대한 표면장력 계수, 𝛾는 두 유체 사이의 평균 곡률, $τ_{i j}^{f}$ 는 유체의 응력이다. 유사 압력 $p^{s}$ 와 유사 전단응력 $τ_{i j}^{s}$ 은 유사농도에 따라 과립 운동의 입자 충돌 이론과 지속적인 접촉에 의한 유변학으로 결정된다. Eq. (3a)의 우변 6~8번째 항 및 Eq. (3b)의 우변 5~7번째 항은 각각 부력, 항력, 밀도 기울기항이며, 유체-유사 운동량 교환과 관련된 항이다. 𝛽는 항력 매개변수로 Schiller and Naumann (1933)의 방정식을 적용하였으며, $v_{t}^{f}$ 는 와점성, $σ_{c}$ 는 Schmidt 수를 의미한다. $L_{i}$ , $A_{i}$ 는 유체-유사 운동량 교환에 대한 양력과 부가 질량 항이며, 자세한 사항은 Mathieu et al. (2025)를 참고할 수 있다.

2.2 유체 난류 폐합

유체에 대한 전단 응력 텐서 $τ_{i j}^{f}$ 는 레이놀즈 응력( $R_{i j}^{f}$ )과 점성 응력 $r_{i j}^{f}$ 으로 구성되어 있으며, 다음의 Eq. (4)와 같다.

(4)

τ_{i j}^{f} = R_{i j}^{f t} + r_{i j}^{f} = ρ^{f} ϕ^{f} [(ν^{m i x} + ν_{t}^{f}) (\frac{\partial u_{i}^{f}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}^{f}}{\partial x_{i}} - \frac{2}{3} \frac{\partial u_{k}^{f}}{\partial x_{k}} δ_{i j}) - \frac{2}{3} λ^{f} δ_{i j}]

여기서, $λ^{f}$ 는 유체의 bulk 점성, $ν^{m i x}$ 는 공기-물 2상 유체를 고려한 혼합 동점성(kinematic viscosity) $ν^{f} = ϕ^{f} ν^{w} + (1 - ϕ^{f}) ν^{g}$ 과 같으며, 유변학을 활용한다면 유사농도의 함수로 고려된다. $ν^{w}$ 와 $ν^{q}$ 는 물과 공기의 동점성이다. 유체에 대한 난류 모델에 유사가 고려된 k-ε 모델을 활용하였으며, 난류운동에너지( $k^{f}$ )의 수송 방정식은 Eq. (5)와 같다.

(5)

\frac{\partial k^{f}}{\partial t} + u_{j}^{f} \frac{\partial k^{f}}{\partial x_{j}} = \frac{R_{i j}^{f t}}{ρ^{f}} \frac{\partial u_{i}^{f}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} [(ν^{f} + \frac{ν_{t}^{f}}{σ_{k}}) \frac{\partial k^{f}}{\partial x_{j}}] - ϵ^{f} - \frac{2 β (1 - α) ϕ^{s} k^{f}}{ρ^{f} ϕ^{f}} - \frac{1}{(1 - ϕ^{s})} \frac{ν_{t}^{f}}{σ_{c}} \frac{\partial ϕ^{s}}{\partial x_{j}} (\frac{ρ^{s}}{ρ^{f}} - 1) g_{i}

여기서, 난류 계수 $σ_{k}$ = 1.0, 항력에 의한 감쇠항에서 $α = e^{- B S t}$ 이며, $B$ 는 난류 감쇠 매개변수, $S t$ 는 Stokes 수, $σ_{c}$ 는 Schmidt 수 이다. 난류 소산률( $ϵ^{f}$ )에 대한 수송 방정식은 Eq. (6)과 같다.

(6)

\frac{\partial ϵ^{f}}{\partial t} + u_{j}^{f} \frac{\partial ϵ^{f}}{\partial x_{j}} = C_{1 ϵ} \frac{ϵ^{f}}{k^{f}} \frac{R_{i j}^{f t}}{ρ^{f}} \frac{\partial u_{i}^{f}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} [(ν^{f} + \frac{ν_{t}^{f}}{σ_{ϵ}}) \frac{\partial ϵ^{f}}{\partial x_{j}}] - C_{2 ϵ} \frac{ϵ^{f}}{k^{f}} ϵ^{f} - C_{3 ϵ} \frac{ϵ^{f}}{k^{f}} \frac{2 β (1 - α) ϕ^{s} k^{f}}{ρ^{f} (1 - ϕ^{s})} - C_{4 ϵ} \frac{ϵ^{f}}{k^{f}} \frac{1}{(1 - ϕ^{s})} \frac{ν_{t}^{f}}{σ_{c}} \frac{\partial ϕ^{s}}{\partial x_{j}} (\frac{ρ^{s}}{ρ^{f}} - 1) g_{i}

여기서, 경험 상수 $C_{1 ϵ}$ = 1.44, $C_{2 ϵ}$ = 1.92, $C_{3 ϵ}$ = 1.2, $C_{4 ϵ}$ = 1.0이며, 난류 계수 $σ_{ϵ}$ = 1.3이다.

2.3 입자 응력 폐합

입자(유사)상의 압력( $p^{s}$ )과 전단 응력( $τ_{i j}^{s}$ )은 입자 간 충돌 및 지속적인 접촉/마찰에 의한 상호작용으로부터 발생한다(Hsu et al., 2004). 입자 전단 응력에 대한 응력 텐서는 다음의 Eq. (7)과 같이 표현할 수 있다.

(7)

τ_{i j}^{s} = τ_{i j}^{s c} + τ_{i j}^{s f} = ρ^{s} ϕ [(ν^{s} + ν_{t}^{s}) (\frac{\partial u_{i}^{s}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}^{s}}{\partial x_{i}} - \frac{2}{3} \frac{\partial u_{k}^{s}}{\partial x_{k}} δ_{i j}) - \frac{2}{3} λ^{s} δ_{i j}]

여기서, $τ_{i j}^{s c}$ 와 $τ_{i j}^{s f}$ 는 각각 입자 충돌 및 지속적인 접촉/마찰에 의한 응력을 나타내며, $ν^{s}$ 는 입자상의 동점성, $ν_{t}^{s}$ 는 입자상의 와점성, $λ^{s}$ 는 입자상의 bulk 점성을 의미한다. 입자상 압력 $p^{s}$ 은 Eq. (8)과 같다.

(8)

p^{s} = p^{s c} + p^{s f}

여기서, $p^{s c}$ 및 $p^{s f}$ 는 각각 입자 충돌 및 지속적인 접촉/마찰에 의한 압력을 나타낸다. 입자 충돌에 의한 압력 $p^{s c}$ 는 다음의 Eq. (9)와 같다.

(9)

p^{s c} = ρ^{s} ϕ^{s} [1 + 2 (1 + e) g_{s 0}] Θ

여기서, $e$ 는 입자 간 탄성 충돌에 대한 회복 계수(recovery coefficient)(Carnahan and Starling, 1969), $g_{s 0}$ 는 방사형 분포 함수, 𝛳는 평형 방정식으로부터 계산되는 입자 온도이다(Cheng et al., 2017; Ding and Gidaspow, 1990). 유사농도가 높아질수록 입자 간 충돌이 감소하며, 입자 압력은 주로 마찰, 접촉의 영향을 받는다. 입자간 지속적인 접촉/마찰에 의한 압력 $p^{s f}$ 는 다음의 Eq. (10)과 같다(Cheng et al., 2017; Johnson and Jackson, 1987).

(10)

p^{s f} \{\begin{array}{cl} 0, & ϕ^{s} < ϕ_{f}^{s} \\ F \frac{{(ϕ^{s} - ϕ_{f}^{s})}^{a}}{{(ϕ_{\max}^{s} - ϕ^{s})}^{b}}, & ϕ^{s} \geq ϕ_{f}^{s} \end{array}

여기서, $ϕ_{f}^{s}$ = 0.57, $ϕ_{\max}^{s}$ = 0.635이며, $F$ = 0.05, $a$ = 3, $b$ = 5로 경험적 상수이다. 각 계수들에 대한 내용 및 수치모델 구조에 대한 세부 사항은 Jacobsen et al. (2012), Klostermann et al. (2013), Chauchat et al. (2017), Cheng et al. (2017), Lee et al. (2019), Mathieu et al. (2025)를 참고할 수 있다.

3. 수치해석

3.1 수치모델 구성 및 모의조건

수치모의에 활용한 수로는 길이(L) 2 m, 직경(D) 0.103 m의 원형 단면 관수로이며, Gillies et al. (2004)의 수리실험 조건을 대상으로 하였다(Fig. 2). 해당 수리실험은 고농도의 유사 이송 조건에서 두 가지 입경(0.09 mm, 0.27 mm)과 다양한 유사 농도 조건(10-40%)을 포함하고 있으며, 유속 및 유사 농도 분포 데이터를 함께 제공하기 때문에 관수로에 대한 sedInterFoam 적용성과 매개변수 검토를 수행하기에 적합하다고 판단하였다. 유입부 및 유출부에 주기 경계 조건(cyclic)을, 벽면에 no-slip 조건을 적용하였으며, Courant 수는 0.4 이하로 유지하였다. 수치모델 도메인 내부 초기 유속 조건(U_x)과 유사농도 조건(C)을 적용하였으며, 상세한 수치모의 조건은 Table 1에 제시하였다.

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Fig. 2.

Computational domain

Table 1.

Numerical simulation conditions

Cases	U_x (m/s)	C (%)	d (mm)
Case 1	1.3	19.0	0.09
Case 2	2.0	19.0
Case 3	3.0	19.0
Case 4	3.0	24.0
Case 5	3.0	29.0
Case 6	3.0	33.0
Case 7	5.4	10.0	0.27
Case 8	5.4	20.0
Case 9	5.4	30.0
Case 10	5.4	36.0
Case 11	5.4	40.0

3.2 Schmidt 수 설정

sedInterFoam의 난류 모델에서 Schmidt 수(σ_c)의 역수(1/σ_c = SUS)는 난류 운동량 확산 계수에 대한 유사의 난류 확산 계수 비를 나타내는 무차원 매개변수로, 유사의 수직 농도 분포를 직접 제어하는 주요 변수이다. SUS = 1.0은 유사의 난류 확산 계수와 유체의 와점성 계수를 동일하게 가정하는 것으로 기존 관수로 수치모의에서 다수 적용되어 왔으나(Kaushal et al., 2013; Li et al., 2018), 이 가정은 유사 입경과 유동 조건에 따른 확산 특성의 변화를 반영하지 못하는 한계가 있다.

본 연구에서는 Van Rijn (1984)가 제안한 경험식에 기반하여 침강 속도(w_s)와 마찰 속도(u^*)의 비를 이용하여 SUS를 격자점마다 국부적으로 산정하는 방법(SUSlocal)을 적용하여 검토하였다.

(11)

SUSlocal = 1 / σ_{c} = 1 + 2 {(\frac{w_{s}}{u^{*}})}^{2}, (0 < \frac{w_{s}}{u^{*}} < 1)

w_s/u^* ≥ 1.0인 경우에는 임계값 w_s/u^* = 1.0을 대입한 상한값 SUSlocal = 3.0을 적용한다(Van Rijn, 1984). Table 2에 조건별로 벽면 마찰속도 u^*를 고려한 SUSlocal을 대푯값으로 산정하여 정리하였다. d = 0.09 mm 조건(Case 3~6)에서 w_s/u^* = 0.089~0.110으로 SUSlocal = 1.016~1.024가 산정되어 SUS = 1.0과의 차이가 1.6~2.4% 수준이다. 반면 d = 0.27 mm 조건은 Case 마다 다양하게 나타났는데, Case 7~9에서는 w_s/u^* = 0.6745~0.8957로 SUSlocal = 1.910~2.604가 산정되었으며, Case 10~11은 w_s/u^* = 1.1540~1.1894으로 SUSlocal = 3.0이 적용된다.

Table 2.

Calculated SUSlocal for each cases

Cases	d (mm)	C (%)	u^* (m/s)	w_s (m/s)	w_s/u^*	SUSlocal
Case 3	0.09	19	0.0814	7.28 × 10^-3	0.089	1.016
Case 4	0.09	24	0.0776	7.28 × 10^-3	0.094	1.018
Case 5	0.09	29	0.0721	7.28 × 10^-3	0.101	1.020
Case 6	0.09	33	0.0661	7.28 × 10^-3	0.110	1.024
Case 7	0.27	10	0.0574	3.87 × 10^-2	0.6745	1.910
Case 8	0.27	20	0.0433	3.87 × 10^-2	0.8957	2.604
Case 9	0.27	30	0.0435	3.87 × 10^-2	0.8915	2.589
Case 10	0.27	36	0.0326	3.87 × 10^-2	1.1894	3.0
Case 11	0.27	40	0.0336	3.87 × 10^-2	1.1540	3.0

3.3 격자민감도 및 SUS 선정

210,000개(N₁)에서 2,457,600개(N₇)에 이르는 7종의 격자를 구성하여 Case 3(U_x = 3.0 m/s, C = 19%, d = 0.09 mm) 조건을 기준으로 격자 민감도 분석을 수행하였다(Fig. 3). Case 3을 기준 조건으로 선정한 이유는 첫째, 유속 프로파일 비교 대상(Case 1~3)과 유사 농도 분포 비교 대상(Case 3~11) 모두에 포함되는 유일한 조건으로, 두 물리량에 대한 격자 민감도를 동시에 평가할 수 있으며 둘째, d = 0.09 mm 조건 중 유속이 가장 높아(U_x = 3.0 m/s) 유사-유체 간 운동량 교환이 가장 활발하여 격자 해상도 확보가 가장 중요한 조건인 것으로 판단되었다.

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Fig. 3.

Mesh Configuration

격자 민감도 분석의 평가 지표로 수리실험 데이터(Gillies et al., 2004)와의 비교를 통한 평균절대백분율오차(Mean absolute percentage error, MAPE)를 활용하였다. 수치모의 검증은 수리실험 재현성의 확인임을 고려할 때, 수리실험 데이터와의 직접 비교는 격자 선정의 직접적인 판단 기준이 된다. 또한 SUSlocal과 SUS = 1.0 두 조건을 동시에 분석하여 Schmidt 수 설정이 유사농도 분포에 미치는 영향을 함께 평가하였다.

Fig. 4은 SUS = 1.0로 고정하여 Case 3(U_x = 3.0 m/s, C = 19%, d = 0.09 mm)에 대해 수행한 격자 민감도 분석 결과를 나타내며, 격자수(N₁~N₇)에 따른 유속 프로파일 및 유사농도 분포를 수리실험 결과와 비교하였다. 또한 최적의 격자 개수를 선정하기 위해 유속 프로파일과 유사 농도에 대한 정량적 평가를 수행하였으며, Table 3에 격자 조건에 따른 MAPE를 나타냈다.

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Fig. 4.

Mesh sensitivity analysis

Table 3.

Errors of velocity profiles and sediment concentration distributions for different mesh configurations (SUS = 1.0)

Error	Variable	N₁	N₂	N₃	N₄	N₅	N₆	N₇
MAPE (%)	Velocity (U_x = 3 m/s)	5.41	5.98	6.97	7.40	6.98	8.16	8.76
	Concentration (C = 19%)	8.12	6.98	5.38	4.90	4.92	4.24	3.98
	Averaged value	6.77	6.48	6.18	6.15	5.95	6.20	6.37

Fig. 4(a)에서 유속 프로파일은 격자수가 N₁에서 N₇으로 증가할수록 최대 유속 발생 위치가 점차 높아지고, 값이 커지는 경향이 발생하면서, 수리실험의 유속 프로파일과의 차이가 증가하는 것으로 나타났다. 반면, Fig. 4(b)의 유사농도 분포는 격자 개수가 증가할수록 기울기가 증가하는 경향을 보였으며, 수리실험의 유사농도 분포와 점차 부합하는 경향이 나타나는 것을 확인하였다.

Table 3에서 유속 프로파일은 격자수가 N₁에서 N₄로 증가하면서 MAPE = 5.41%에서 MAPE = 7.40%로 오차가 점차 커지는 경향을 보였다. N₅에서 유속 프로파일 오차는 MAPE = 6.98%로 감소하는 경향을 보이다가 N₆~N₇에서 MAPE = 8.16%~8.76%로 다시 오차가 증가하는 것으로 나타났다. 유사농도 분포는 격자수가 N₁에서 N₇로 증가하면서 MAPE = 8.12%에서 3.98%로 점차 감소하는 경향이 발생하였다. 유속 및 유사농도는 격자 해상도 증가에 따라 상반된 오차 경향을 나타냈으며, 이는 물리량별 격자 민감도가 서로 다를 수 있음을 보여준다. 유속 프로파일의 오차는 N₁~N₇ 조건에 따라 격자가 210,000개에서 2,457,600으로 커질수록 전반적으로 증가하는 경향을 보였지만, 유사농도는 N₁~N₇ 조건에 따라 격자가 210,000개에서 2,457,600으로 커질수록 오차가 감소하는 경향이 나타났다. 본 연구에서는 특정 변수에 국한하지 않고 유속 및 유사농도 분포를 동시에 고려할 수 있도록 오차의 평균값을 산정하여 비교하였다. 유속 및 유사농도 오차의 평균 값은 5.95%~6.77%로 나타났으며, 두 매개변수의 오차를 고려하였을 때 N₅(982,800)의 오차가 5.95%로 가장 낮은 것으로 확인되었다. 이러한 결과를 바탕으로 본 연구에 982,800개의 격자를 활용하는 것이 수리실험 재현성과 계산 효율성을 동시에 고려한 합리적인 선택으로 판단하였으며, 이후 982,800개의 격자를 사용하여 수치모델을 구성하였다.

Fig. 5에 유사 입경(d = 0.09 mm 및 d = 0.27 mm) 조건별로 SUSlocal 및 SUS = 1.0에 따른 유사농도 분포를 비교하였다. Fig. 5(a)에서 d = 0.09 mm 조건의 경우 SUS = 1.0과 SUSlocal 조건에서 유사농도 분포가 전반적으로 유사한 형태를 나타내었다. 이는 d = 0.09 mm에서 SUSlocal = 1.016~1.024로 SUS = 1.0과의 차이가 1.6~2.4% 수준에 불과하기 때문이다. 다만 SUSlocal 적용 시 z/D = 0.5~0.7 구간을 중심으로 수리실험 데이터와의 편차가 소폭 감소하는 것을 확인하였다. Fig. 5(b)의 d = 0.27 mm 조건에서 SUS = 1.0을 적용한 결과 난류 확산 계수가 과소 설정되어 유사 농도가 관 하부에 과도하게 집중되었으며, 수리실험 결과와 상당한 차이를 보였다(MAPE = 47.98%). SUSlocal (= 1.91~3.0)을 적용한 경우 난류 확산이 증가하여 관 하부 집중 경향이 완화되고, 유사 농도 분포가 전 수심에 걸쳐 수리실험값과 보다 부합하는 결과를 나타내었다(MAPE = 14.70%).

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Fig. 5.

Comparison of SUS = 1.0 and SUSlocal

SUS 조건에 따른 유사 농도 재현성을 정량적으로 평가하기 위해 Table 4에 격자 N₅(982,800)를 적용한 결과를 제시하였으며, 유사 직경(d = 0.09 mm, d = 0.27 mm) 조건별 SUSlocal 및 SUS = 1.0에 대한 오차를 비교하였다. d = 0.09 mm의 경우 Case 3(U_x = 3.0 m/s, C = 19%), d = 0.27 mm의 경우 Case 7(U_x = 5.4 m/s, C = 10%)의 조건을 기준으로 수행하였다. d = 0.09 mm에서 SUS = 1.0을 사용한 경우 유사농도 분포에 대한 오차 MAPE = 4.92%로 산정되었으나, SUSlocal 적용 시 유사농도 분포의 MAPE = 3.79%로 1.13%p 오차 개선 효과를 보였다. d = 0.27 mm 조건에서는 SUS = 1.0을 활용한 결과 유사농도 분포의 MAPE = 47.98%로 상당히 크게 나타났으나, SUSlocal을 적용함에 따라 MAPE = 14.7%로 감소하여 오차가 33.28%p 감소하는 것으로 나타냈다. SUSlocal은 Van Rijn (1984)의 물리 기반 경험식에 근거하여 유사 입경과 유동 조건의 변화를 반영하는 반면, SUS = 1.0은 이를 고려하지 못하는 한계가 있다. 오차 감소 효과와 물리적 타당성을 종합하여 본 연구의 수치모의에 SUSlocal을 사용하는 것이 타당하다고 판단하였으며, 이후 모든 수치모의에 SUSlocal (Eq. (11))을 적용하였다.

Table 4.

Errors of sediment concentration distributions for different SUS and sediment diameter conditions (N₅)

Error	N₅(982,800)
	d = 0.09 mm		d = 0.27 mm
	SUS = 1.0	SUSlocal	SUS = 1.0	SUSlocal
MAPE (%)	4.92	3.79	47.98	14.70

4. 수치해석 결과

N₅(982,800개) 격자와 SUSlocal 조건을 적용한 수치모의 결과를 Gillies et al. (2004)의 수리실험 데이터와 비교하였다. Fig. 5에 유속 프로파일 및 유사 농도 분포의 비교 결과를, Table 5 및 Table 6에 정량적 오차 지표를 제시하였다. 두 입경 조건에서 나타나는 SUSlocal 적용값의 차이(d = 0.09 mm: 1.016~1.024; d = 0.27 mm: 1.91~3.0)와 유사 이송 체제를 함께 고려하여 분석하였다.

Table 5.

Error indexes of velocity profiles (N₅ = 982,800, SUSlocal, d = 0.09 mm, C = 19%)

Cases	U_x(m/s)	MPE (%)	MAPE (%)	RMSE
Case 1	1.3	12.3	12.3	0.17
Case 2	2.0	4.2	4.6	0.12
Case 3	3.0	7.2	7.2	0.23

MPE = Σ(Sim–Exp)/Exp / n × 100(%); MAPE = Σ|(Sim–Exp)/Exp| / n; RMSE = sqrt(Σ(Sim-Exp)² / n) unit m/s, Simulation data (Sim), Experiment data (Exp)

Table 6.

Error indexes of sediment concentrations

Cases	d (mm)	_Ux _(m/s)	C (%)	MPE (%)	MAPE (%)	RMSE
Case 3	0.09	3.0	19	-2.1	3.8	0.99
Case 4			24	-1.4	2.7	0.87
Case 5			29	-0.3	3.3	1.07
Case 6			33	-1.3	2.4	0.96
Case 7	0.27	5.4	10	3.3	14.7	1.12
Case 8			20	4.8	7.7	2.00
Case 9			30	3.0	4.6	3.37
Case 10			36	1.3	5.3	2.38
Case 11			40	1.3	5.0	2.53

4.1 유속 프로파일

Fig. 6(a)은 d = 0.09 mm, C = 19% 조건에서 U_x = 1.3~3.0 m/s (Case 1~3)의 유속 프로파일 비교 결과이다. 수치모의 결과는 실험값과 전반적으로 양호한 일치를 나타내었으며, 모든 조건에서 유속 최대값이 관 중심(z/D = 0.5)보다 상부(z/D = 0.7~0.8) 부근에서 나타나는 비대칭 분포가 수치모의와 수리실험 결과 모두에서 관찰되었다. 이는 Gillies et al. (2004)의 실험에서도 보고된 고농도 슬러리 관수로 유동의 특성으로, 유사 농도 구배에 의한 유체 밀도 불균형이 유속 분포를 상방으로 치우치게 만드는 효과에 기인한다.

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Fig. 6.

Comparison of velocity profiles and sediment concentrations for different sediment diameters

4.2 유사 농도 분포

Fig. 6(b)는 d = 0.09 mm, U_x = 3.0 m/s 조건에서 C = 19~33%(Case 3~6)의 유사 농도 분포 비교 결과이다. 이 조건의 Rouse 수는 Z = 0.218~0.269(Z<0.8)로 완전부유 체제에 해당하며, SUSlocal = 1.016~1.024로 SUS = 1.0과의 차이가 미미하다. 따라서 이 조건에서 유사 농도 분포는 두 SUS 조건 간 수치적 차이보다 Rouse 수 체제의 물리적 특성에 의해 지배되는 것으로 보인다. 농도 분포는 전 수심에 걸쳐 거의 균일한 형태를 나타내어 관 바닥부와 상단부 간 농도 차이가 5%p 미만으로 나타났다. MAPE는 2.4~3.8%로 매우 낮은 오차를 나타내었으며, MPE (Mean percentage error)는 -0.3~-2.1%로 수치모의가 실험값을 소폭 과소평가하는 경향을 나타냈다.

Fig. 6(c)는 d = 0.27 mm, U_x = 5.4 m/s 조건에서 C = 10~40%(Case 7~11)의 유사농도 분포 비교 결과이다. Case 7~9의 Rouse 수는 Z = 1.645~2.185(0.8≤Z<2.5)로 부유사 우세 체제에 해당하는 것으로 나타났다. 하지만 Case 10~11의 Rouse 수는 Z = 2.815~2.901(Z ≥ 2.5)로 소류사 우세 체제에 해당하며, w_s/u^* = 1.1540~1.1894로 상한값 SUSlocal = 3.0이 적용된다. C = 10%(Case 7)에서 관 바닥 부근 농도가 약 30%에 달하며 다른 조건 대비 상대적으로 완만한 수직 농도 구배가 형성된다. C = 40%(Case 11)에서는 바닥부 농도가 55% 이상으로 증가하면서 급격한 수직 농도 구배가 나타나, 유사 농도 분포가 관 하부에 집중되는 경향이 두드러진다.

C = 10%(Case 7)의 MAPE = 14.7%는 관 상부 저농도 구간(z/D > 0.7, C = 3~6%)에서 측정값이 작을수록 상대 오차가 증폭되는 MAPE의 통계적 특성에 기인한다. 반면 MPE = 3.3%, RMSE (Root mean square error) = 1.12는 다른 조건과 유사한 수준으로, 전체 농도 분포의 재현성은 양호한 것으로 판단된다. Case 9(C = 30%)에서 RMSE = 3.37로 전 조건 중 최대값을 나타낸 것은 부유사-소류사 천이 구간에서 농도 구배가 가장 급격하게 변화하여 현재 격자 해상도가 이를 충분히 반영하지 못하기 때문인 것으로 판단된다. 모든 d = 0.27 mm 조건에서 MPE는 1.3~4.8%로 나타나, 수치모의가 실험 대비 유사 농도를 관 하부에 더 집중시키는 경향이 있음을 나타낸다.

4.3 입경 조건에 따른 유사 이송 체제 비교 및 검토

d = 0.09 mm와 d = 0.27 mm 두 입경 조건에서 나타나는 유사 농도 분포의 뚜렷한 차이는 Rouse 수 체제의 차이(Table 7)와 이에 연동된 SUSlocal 적용값의 차이가 복합적으로 작용한 결과이다. 이러한 물리적 차이가 두 입경 조건 간 난류 감쇠 매개변수 B를 10³배 이상 다르게 설정해야 하는 근본적인 원인이며, Fig. 6의 결과는 5절의 Rouse 수 체제별 B 분석의 물리적 타당성을 뒷받침한다. 본 수치모델은 Case 1~11 전반에 걸쳐 유속 및 유사 농도 분포를 합리적으로 재현하여 관수로 고농도 유사이송 해석에 대한 수치모델 타당성을 확인하였다.

Table 7.

Hydraulic parameters, SUSlocal and turbulence damping parameter B

Cases	d (mm)	C (%)	u^* (m/s)	w_s(m/s)	w_s/u^*	SUSlocal	Z	C^*	Regime	B
Case 3~6	0.09	19 ~33	0.066 ~0.081	7.28 × 10^-3	0.089 ~0.110	1.016 ~1.024	0.218 ~0.269	0.407 ~0.636	Wash load	≤ 10^-4
Case 7	0.27	10	0.0574	3.87 × 10^-2	0.675	1.910	1.645	0.078	Suspended load	0.24
Case 8	0.27	20	0.0433	3.87 × 10^-2	0.896	2.604	2.185	0.135	Suspended load	0.14
Case 9	0.27	30	0.0435	3.87 × 10^-2	0.891	2.589	2.174	0.204	Suspended load	0.1
Case 10	0.27	36	0.0326	3.87 × 10^-2	1.189	3.0	2.901	0.211	Bed load	0.08
Case 11	0.27	40	0.0336	3.87 × 10^-2	1.154	3.0	2.815	0.238	Bed load	0.07
Sumer et al. (1996)	0.13	3.3 ~7.55	0.048 ~0.068	1.26 × 10^-2	0.186 ~0.263	1.069 ~1.138	0.453 ~0.641	0.041 ~0.112	Wash load	0.22
Revil-Baudard et al. (2015)	3	10.43	0.062	0.0559	0.902	2.626	2.199	0.070	Suspended load	0.25

5. 난류 감쇠 매개변수 분석

4절의 수치해석 결과를 통해 sedInterFoam이 두 입경 조건 모두에서 수리실험을 합리적으로 재현함을 확인하였다. 이 절에서는 수치모의의 정확도에 직접 영향을 미치는 TKE 수송 방정식의 항력 감쇠항에 포함된 경험적 매개변수 B(α = exp(-B·St))의 거동을 체계적으로 분석한다. B값은 SUSlocal 조건 하에서 수리실험 데이터(Gillies et al., 2004)와의 비교를 통해 조건별로 결정하였으며, d = 0.09 mm 조건에서 SUSlocal = 1.016~1.024, d = 0.27 mm 조건에서 SUSlocal = 1.91~3.0이 적용된 상태에서 산정된 값임을 명시하였다. Table 7에 입경 및 유사 농도에 따른 B값과 관련 유체역학 매개변수를 정리하였으며, Sumer et al. (1996) 및 Revil-Baudard et al. (2015)의 수리실험 조건을 포함하여 비교 분석하였다.

5.1 단일 변수와 B의 상관성 분석

B의 지배 인자를 규명하기 위해 Figs. 7(a)~7(c)에 각각 유사 농도(C), 마찰 속도(u^*), 침강 속도(w_s)에 따른 B값의 분포를 제시하였다.

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Fig. 7.

Relationships between the empirical coefficient B and hydraulic parameters

Fig. 7(a)에서 C와 B의 관계를 살펴보면, d = 0.27 mm 조건(Case 7~11)에서 C = 10%일 때 B = 0.24에서 C = 40%일 때 B = 0.07로 농도 증가에 따라 B가 감소하는 경향이 나타났다. 반면 d = 0.09 mm 조건(Case 3~6)에서는 C = 19~33%의 동일한 범위에서 B≤10^-4로 매우 작은값을 나타냈다. 즉 동일한 C 범위(19~33%)에서 두 입경 조건 간 B값의 차이가 10³배 이상으로 나타나, 유사 농도 단독으로는 B를 설명할 수 없음을 보여준다. 또한 C = 10% 수준에서 본 연구 수치모의(B = 0.24), Sumer et al. (1996)(B = 0.22), Revil-Baudard et al. (2015)(B = 0.25)의 값이 상이하게 나타나, 동일한 C 조건에서도 입경과 유동 체제에 따라 B가 달라짐을 보여준다.

Fig. 7(b)에서 u^*와 B의 관계를 검토하면, d = 0.27 mm 조건 내에서 u^* = 0.033~0.034 m/s 범위에서 B = 0.07~0.08, u^* = 0.043~0.044 m/s에서 B = 0.10~0.14, u^* = 0.057 m/s에서 B = 0.24로 d = 0.27 mm 조건 내에서 마찰 속도와 B 사이에 양의 상관관계가 관찰되었다. 그러나 d = 0.09 mm 조건에서는 u^* = 0.066~0.081 m/s로 d = 0.27 mm 조건보다 높은 마찰 속도임에도 불구하고 B≤10^-4으로 나타났다. 또한 d = 0.27 mm (u^* = 0.057 m/s, B = 0.24)와 Sumer et al. (1996)(u^* = 0.048~0.068 m/s, B = 0.22)는 마찰 속도 범위가 유사함에도 B값에 차이가 있어 마찰 속도 단독으로 B를 결정하기에는 불충분한 것으로 나타났다.

Fig. 7(c)에서 w_s와 B의 관계를 보면, w_s = 7.28 × 10^-3 m/s (d = 0.09 mm)에서 B≈0, w_s = 1.26 × 10^-2 m/s (Sumer et al., 1996)에서 B = 0.22, w_s = 3.87 × 10^-2 m/s (d = 0.27 mm)에서 B = 0.07~0.24, w_s = 5.59 × 10^-2 m/s (Revil-Baudard et al., 2015)에서 B = 0.25로 w_s 증가에 따른 전반적인 B 증가 경향이 관찰되었다. 그러나 d = 0.27 mm 조건에서 w_s = 3.87 × 10^-2 m/s로 동일함에도 C 변화에 따라 B = 0.07~0.24로 3.4배 변동하였다. 이는 w_s 단독으로는 동일 입경 내 유사 농도 변화에 따른 B 변동을 설명하기 어려움을 의미한다.

분석 결과, C, u^*, w_s의 세 단일 변수 중 어느 것도 전체 데이터를 일관되게 설명하지 못하였다. 이는 B가 유사 입경과 유동 조건의 복합적 영향에 의해 결정되는 매개변수임을 시사하며, 두 인자를 동시에 반영하는 무차원 지표의 도입이 필요함을 나타낸다.

5.2 Rouse 수 기반 유사 이송 체제와 B의 지배 인자

5.1절의 분석에서 단일 변수의 한계가 확인됨에 따라, 입경과 유동 조건을 통합하는 무차원 지표로 Rouse 수를 도입하였다. Rouse 수 Z = w_s/(κu^*)(κ = 0.41)는 입자 침강 속도와 난류 부유력의 비를 나타내는 무차원 지표로(Rouse, 1937), 유사의 수직 농도 분포 형태를 결정하는 핵심 변수이다. Van Rijn (1984)의 유사이송 분류 체계에 따르면 Z<0.8에서 완전부유(Wash load) 체제, 0.8≤Z<2.5에서 부유사(Suspended load) 우세 체제, Z ≥ 2.5에서 소류사(Bed load) 우세 체제로 구분된다.

Table 7에서 d = 0.09 mm 조건(Case 3~6)의 Rouse 수는 Z = 0.218~0.269로 완전부유 체제에 해당한다. 이 조건에서 w_s/u^* = 0.089~0.110으로 SUSlocal≈1.02이며, 난류 부유력이 침강력 보다 커 유사가 관 단면 전체에 균일하게 분산된다. 완전부유 체제에서는 유사 농도의 수직 구배가 소멸하여 유사-유체 간 운동량 교환에 의한 TKE 소산 기여가 무시 가능한 수준으로 감소한다. 이로 인해 매우 작은 B값(B≤10^-4)이 요구되는 것으로 판단된다. SUSlocal≈1.02로 SUS = 1.0과의 차이가 미미하므로 이 체제에서 B값은 SUSlocal 설정의 영향을 크게 받지 않고 Rouse 수 체제에 의해 순수하게 결정된다. Sumer et al. (1996)의 실험 조건(d = 0.13 mm, Z = 0.453~0.641)은 완전부유 체제(Z < 0.8)에 해당하며, w_s/u^* = 0.186~0.263로 SUSlocal = 1.069~1.138이 산정된다. 이 조건의 Rouse 수(Z = 0.453~0.641)는 d = 0.09 mm 조건의 Rouse 수(Z = 0.218~0.269)보다 2배 가량 큰 것으로 나타났으며, B = 0.22로 세 개의 농도 조건(C = 3.3, 4.76, 7.55%)에 걸쳐 일정하게 유지되었다. 이는 완전부유 체제에서 난류 감쇠가 수직 농도 구배 및 농도 변화에 의해 지배되지 않으며, 이에 따른 추가적인 B 변동이 나타나지 않음을 시사한다.

d = 0.27 mm 조건에서 Case 7~9는 Z = 1.65~2.19의 부유사 우세 체제에 해당하며, w_s/u^* = 0.68~0.90로 SUSlocal = 1.91~2.60이 산정된다. 반면, Case 10~11은 Z = 2.82~2.90의 소류사 우세 체제에 해당하며, w_s/u^* = 1.15~1.19로 SUSlocal = 3.0이 적용된다. 부유사 우세 체제에서는 난류에 의한 부유력이 유사의 침강 효과를 상당 부분 상쇄하여 유사가 수심에 걸쳐 분포하므로 비교적 완만한 수직 농도 구배가 나타났으며, 소류사 우세 체제에서는 침강력이 난류 부유력을 상회하여 관 하부에 강한 수직 농도 구배가 형성된다. 두 체제 모두에서 유사 입자와 유체 간의 속도 차이에 의한 상호작용이 유체 난류 구조를 변화시켜 TKE 소산을 증가시키며, 이러한 난류 감쇠 효과의 강도가 매개변수 B = 0.07~0.24로 정량화된다. Revil-Baudard et al. (2015)의 조건(d = 3.0 mm, Z = 2.20)은 부유사 우세 체제로 w_s/u^* = 0.902에서 SUSlocal = 2.63으로 산정되며, B = 0.25로 부유사 및 소류사 우세 체제(Z ≥ 0.8)에서의 경향과 부합함을 확인하였다.

Figs. 7~8 및 Table 7을 종합하면, B의 거동은 Rouse 수 체제에 따라 뚜렷하게 구분된다. Z<0.8 완전부유 체제에서 d = 0.09 mm (Z = 0.218~0.269)에서 B≤10^-4, d = 0.13 mm (Z = 0.453~0.641)에서 B≈0.22(일정)로 체제 내에서도 Z의 크기에 따라 B가 상이하게 나타났으며, 0.8 ≤ Z < 2.5 및 Z ≥ 2.5의 부유사 우세 체제와 소류사 우세 체제에서 B = 0.07~0.25로 체제 전환에 따라 B의 크기 수준이 단계적으로 변화한다. 한편 완전부유 체제 내에서 나타나는 두 가지 B값의 차이는 Z의 크기 차이(Z≈0.24 vs Z≈0.55)와 유동 조건(관수로 정상 흐름 vs 개수로 진동 흐름)의 근본적 차이에 기인할 수 있으나, 현재 데이터만으로는 그 원인을 명확히 규명하기 어려우며 추가 연구가 필요하다. Fig. 8에서 부유사 및 소류사 우세 체제(d = 0.27 mm) 내에서는 C 증가에 따라 B가 감소하는 경향이 나타나 동일 체제 내에서 C가 B를 결정하는 2차 지배 인자로 작용함을 확인할 수 있다. 이는 Figs. 7(a)~7(c)의 단일 변수 분석에서 설명되지 않았던 두 입경 조건 간 B값의 10³배 이상 차이가 Rouse 수에 의한 유사 이송 체제의 근본적 차이에서 비롯됨을 명확히 보여준다. 따라서 Rouse 수로 결정되는 유사 이송 체제가 B의 1차 지배 인자로 작용함을 확인하였다.

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Fig. 8.

Relationships between the empirical coefficient B and Rouse number Z

5.3 부유사 및 소류사 우세 체제에서의 C*-B 정량 관계

5.2절에서 Rouse 수 체제가 B의 1차 지배 인자임을 확인하였다. 그러나 부유사 및 소류사 우세 체제(Z ≥ 0.8) 내에서도 B값이 C = 10%에서 0.24, C = 40%에서 0.07로 3.4배의 상당한 변동을 나타내므로, 동일 체제 내에서 B를 결정하는 2차 지배 인자를 규명할 필요가 있다. 유사 농도(C)와 마찰 속도(u^*)는 이미 단독으로 B를 설명하지 못함이 확인되었으므로, 이들을 포함하는 복합 무차원 변수로서 무차원 유사 농도 C^*를 도입하고자 한다.

(12)

C^{*} = \frac{C / 100}{\sqrt{Z}}

여기서, C^*는 유사 체적농도 C와 Rouse 수 Z = w_s/(κu^*)(κ = 0.41)를 조합하여 정의한 무차원 변수이며, Z는 w_s/u^*의 함수로 구성되어 있으므로 C^*는 유사 이송 체제를 고려한 무차원 유사 농도를 나타낸다. Z의 제곱근은 모델 매개변수 B와 유사 체적농도 C 및 입경 d 간의 복합적인 관계를 가장 반영하고 높은 회귀 적합도를 나타내어 적용하였다.

Fig. 9에 Rouse 수 체제별로 구분하여 C^*에 대한 B의 분포를 x축에 대하여 log 스케일로 나타냈다. 여기서 주목할 점은 Sumer et al. (1996)(완전부유 체제, Z = 0.453~0.641)의 C^*= 0.041~0.112 범위가 d = 0.27 mm (부유사 및 소류사 우세 체제, Z = 1.65~2.90)의 C^* = 0.078~0.238과 부분적으로 중첩됨에도 불구하고, B값은 Sumer et al. (1996)에서 B = 0.22로 일정한 반면 d = 0.27 mm에서 B = 0.07~0.24로 상이하게 나타난다는 것이다. 이는 C^* 만으로는 서로 다른 Rouse 수 체제 간의 B 거동 차이를 설명할 수 없음을 보여주며, Rouse 수의 1차 지배 인자 역할을 재확인한다.

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Fig. 9.

Relationships between B and C^*

부유사 및 소류사 우세 체제(Z ≥ 0.8) 내에서는 C^* 증가에 따라 B가 뚜렷한 감소 경향을 나타내었다. d = 0.27 mm 조건 및 d = 3.0 mm (N = 6)에서 C^* = 0.078(C = 10%)일 때 B = 0.24, C^* = 0.135(C = 20%)일 때 B = 0.14, C^* = 0.204(C = 30%)일 때 B = 0.10, C^* = 0.211(C = 36%)일 때 B = 0.08, C^* = 0.238(C = 40%)일 때 B = 0.07로 감소하였다. Revil-Baudard et al. (2015)의 조건(C^* = 0.070, B = 0.25)은 회귀식의 적용 범위(C^* = 0.078~0.238)와 근소한 차이를 보이며, 95% 신뢰 구간에 포함되면서 경향성이 잘 일치하는 것으로 나타났다. 이를 통해 C^*가 B의 2차 지배 인자로 작용함을 확인하였다. 부유사 및 소류사 우세 체제(Z ≥ 0.8, SUSlocal = 1.91~3.0)의 데이터(d = 0.27 mm 및 d = 3.0 mm)에 대한 log-log 선형 회귀를 수행한 결과, C^*와 B의 관계는 다음의 멱함수식으로 표현된다.

(13)

B = α \times C^{*^{β}} = 0.0162 \times (C^{*})^{- 1.066} (R^{2} = 0.975)

여기서 α는 계수, β는 지수이다.

결정계수 R² = 0.975로 C^*가 부유사 및 소류사 우세 체제 내 B를 매우 높은 정확도로 설명함이 확인되었다. 지수 β의 95% 신뢰구간(-1.376~-0.755)이 소류사 및 부유사 우세 체제에서 B 와 C^*가 반비례 관계에 있음을 나타낸다. 즉 유사 농도(C^*)가 증가하여도 난류 감쇠 강도(B)가 그에 반비례하여 감소하므로, 전체 난류 감쇠 효과는 농도에 관계없이 일정 수준을 유지하는 경향이 있다. 이는 고농도 조건에서 입자 간 차폐 효과(shielding effect)에 의해 개별 입자의 난류 감쇠 기여도가 농도 증가와 함께 감소하기 때문으로 판단되며, 이는 고농도 유사이송 조건에서의 난류 감쇠 특성과 정성적으로 부합한다.

이상의 분석을 종합하면, B의 거동은 단계적 지배 구조로 설명된다. 1차적으로 Rouse 수 Z에 의해 유사 이송 체제가 결정되며, 체제에 따라 B의 경향성이 결정된다(Z < 0.8: B≤10^-4 및 B≈0.22(일정); Z ≥ 0.8: B = 0.07~0.25). 2차적으로 부유사 및 소류사 우세 체제(Z ≥ 0.8) 내에서 C^*에 의해 B의 정량적 값이 결정된다. Eq. (13)은 부유사 및 소류사 우세 체제 내 d = 0.27 mm 및 d = 3.0 mm 조건(SUSlocal = 1.91~3.00, C^* = 0.070~0.238) 범위에서 B를 사전 추정하기 위한 정량적 예측식으로 활용될 수 있다. 다만 회귀식이 N = 6의 제한적 데이터에 기반하므로 적용 범위 외 조건(C^*<0.070 또는 C^*>0.238)에서 외삽 적용 시에는 추가 검증이 요구된다.

6. 토 의

기존 sedFoam/sedInterFoam 기반 수치모의 연구에서 B는 대부분 단일 고정값으로 적용되어 왔으며, 물리적 지배 인자에 대한 체계적 분석은 수행된 바 없다(Cheng et al., 2017; Mathieu et al., 2019; Xie et al., 2025). 본 연구는 Rouse 수 체제에 기반한 B의 단계적 지배 구조를 정량적으로 제시하였다는 점에서 기존 연구와 차별성을 갖는다.

SUSlocal의 기여는 두 가지로 구분된다. 첫째, d = 0.09 mm 조건(SUSlocal≈1.02)에서는 SUS 값 자체가 SUSlocal≈1.02로 SUS = 1.0과의 차이가 미미하므로 농도 분포에 대한 영향은 제한적이나, 소폭의 재현성 개선(MAPE 4.92%→3.79%)이 확인되었다. 둘째, d = 0.27 mm 조건(SUSlocal = 1.91~3.00)에서는 SUS = 1.0 대비 2~3배 높은 값이 적용되어 부유사 및 소류사 우세 체제에서의 농도 분포 재현에 기여한다. 이 두 가지 역할이 복합적으로 작용하여 최적 격자(N₅, 982,800개)에서 농도 MAPE 3.79% 및 14.7%로 SUS = 1.0 (4.92% 및 47.98%) 대비 우수한 수리실험 재현성이 확인되었다.

Z<0.8 완전부유 체제(SUSlocal≈1.02)에서 B≤10^-4가 나타나는 결과는 Rouse (1937)의 wash-load 개념과 부합한다. 이 조건에서 SUSlocal은 SUS = 1.0과 거의 동일하므로 B값은 SUSlocal 설정의 영향을 거의 받지 않고 Rouse 수 체제에 의해 순수하게 결정된다. 다만 동일한 완전부유 체제(Z < 0.8) 내에서도 d = 0.09 mm (B ≤ 10^-4)와 Sumer et al. (1996)(B = 0.22)의 B값에 현저한 차이가 나타났다. 이는 두 조건의 Z 크기 차이(Z≈0.24 vs Z≈0.55)와 흐름 특성 등의 차이에 기인할 수 있지만, 현재 데이터만으로는 원인을 명확히 규명하기 어렵다.

Z ≥ 0.8 부유사 및 소류사 우세 체제(SUSlocal = 1.91~3.00)에서 B가 C^*에 강하게 의존(R² = 0.975)하는 결과는 이 체제에서 유사-유체 간 운동량 교환이 B를 결정하는 데 유의미하게 기여함을 시사하며, Hsu et al. (2004)이 sheet-flow 조건에서 입자-유체 간 항력 상호작용이 난류 에너지 수지에 직접 영향을 미침을 보고한 것과 부합한다.

본 연구의 주요 한계점은 다음과 같다. 첫째, 검토된 유사 입경이 d = 0.09 mm와 d = 0.27 mm의 두 가지에 한정되어 Rouse 수 체제 경계(Z = 0.8, Z = 2.5) 근방에서의 B 거동 및 체제 전환의 점진성을 검증하지 못하였다. Z<0.8 범위의 중간 입경 조건에 대한 추가 수치모의가 필요하다. 둘째, Eq. (13)의 회귀식은 N = 6의 제한적 데이터에 기반하여 예측 불확실도가 크므로 다양한 직경·농도 조건으로 확장이 필요하다. 셋째, SUSlocal의 Van Rijn (1984) 경험식은 w_s/u^*<1.0 범위에서 검증된 식으로, w_s/u^*≥ 1.0 조건에서 적용되는 상한값 SUSlocal = 3.0은 경험식의 적용 범위를 벗어나므로 추가 물리적 검증이 필요하다. 넷째, d = 0.27 mm 조건의 B값(0.07~0.24)은 SUSlocal = 1.91~3.0 범위에서 결정된 것으로, SUS 설정이 달라질 경우 B값도 변화할 수 있으며 두 매개변수의 상호 의존성에 대한 정량적 분석은 향후 연구 과제이다. 다섯째, Z<0.8 완전부유 체제에서 B값 차이는 흐름 특성의 근본적 차이 및 Z 크기의 차이에 기인할 수 있으나 현재 데이터로는 원인 규명이 어려우므로, 동일 유동 조건에서 Z<0.8 범위의 추가 데이터 확보가 필요하다.

7. 결 론

본 연구에서는 sedInterFoam 솔버를 활용하여 원형 단면 관수로 내 고농도 유체-유사 3차원 수치모의를 수행하고, Schmidt 수(SUS) 설정 방법과 난류 감쇠 매개변수 B의 지배 인자를 정량적으로 분석하였다. 주요 결론은 다음과 같다.

(1)SUS = 1.0을 기준으로 격자 민감도에 대한 유속 및 유사 농도의 MAPE를 종합적으로 평가하여 N₅(982,800개)를 최적 격자로 결정하였다. Van Rijn (1984) 경험식 기반 SUSlocal은 d = 0.09 mm 조건(SUSlocal≈1.02)에서 SUS = 1.0과의 차이가 미미하여 농도 분포 재현성 개선 효과가 제한적으로 나타난 반면(MAPE 4.92%→3.79%, 1.13%p 개선), d = 0.27 mm 조건(SUSlocal = 1.91~3.00)에서는 난류 확산 증가를 통해 관 하부 집중 농도 분포가 완화되어 수리실험 재현성이 현저히 향상되었다. 이를 통해 유사 입경과 유동 조건에 따라 SUS를 물리 기반으로 설정하는 SUSlocal의 유효성을 확인하였다.

(2)난류 감쇠 매개변수 B의 1차 지배 인자는 Rouse 수(Z)로 결정되는 유사 이송 체제임을 관수로 고농도 유사이송 조건에서 정량적으로 규명하였다. Z<0.8 완전부유 체제에서 d = 0.09 mm (Z = 0.218~0.269) 및 d = 0.13 mm (Z = 0.453~0.641) 조건에 따라 B≤10^-4 및 B≈0.22(일정), Z ≥ 0.8 부유사 및 소류사 우세 체제에서 B = 0.07~0.24로 체제 전환에 따라 B의 크기 수준이 단계적으로 변화함을 확인하였다. 단, Z<0.8 체제 내에서 나타나는 두 가지 B값의 차이는 Z의 크기 및 흐름 조건 등의 차이에 기인할 수 있을 것으로 판단되며, 추가 검토가 필요하다.

(3)Z ≥ 0.8 부유사 및 소류사 우세 체제(SUSlocal = 1.91~3.00)에서 무차원 유사 농도 C^*가 B의 2차 지배 인자로 작용하며, B = 0.0162 × (C^*)^-1.066 (R² = 0.975)의 정량적 관계식을 도출하였다. 해당 체제에서 유사 농도 증가에 따라 단위 농도당 난류 감쇠 강도가 감소하는 경향이 나타났으며, 이는 고농도 조건에서 입자 간 차폐 효과에 의해 개별 입자의 난류 감쇠 기여도가 감소하는 특성과 부합한다.

본 연구의 결과는 대심도 빗물배수터널 내 유사 거동 수치모의를 위한 SUS 및 B 매개변수 설정의 정량적 근거를 제시하며, sedInterFoam의 고농도 유사이송 해석 적용 신뢰도 향상에 기여할 수 있다. 다만, 본 연구는 실험실 규모의 관수로를 대상으로 수행되었기 때문에 실제 대심도 빗물배수터널과는 관경, 유입 조건, 공기 혼입, 개수로-관수로 흐름전이 및 압력손실 등의 측면에서는 차이가 존재할 수 있다. 따라서 연구 결과를 실제 대심도 빗물배수터널에 직접 적용하는 데 한계가 있을 것으로 예상된다. 그럼에도 본 연구는 sedInterFoam의 매개변수 설정 방법과 해석 절차를 체계적으로 제시하여 대심도 빗물배수터널 해석을 위한 기초자료를 제공한다는 의의가 있다. 향후, 실제 현장의 입도분포와 비정상 유입 조건을 반영한 실규모 검증을 통해 대심도 빗물배수터널에 대한 적용성을 추가적으로 검토할 필요가 있다.

Acknowledgements

본 연구는 2024년도 기후에너지환경부의 재원으로 한국환경산업기술원의 기후변화 적응 수재해 관리 기술개발 사업(R&D)의 지원을 받아 연구되었습니다(RS-2024-00335526). 이에 감사드립니다.

Conflicts of Interest

The authors declare no conflict of interest.

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Journal of Korea Water Resources Association ISSN:2799-8746(Print) 2799-8754(Online) 한국수자원학회 논문집

Preview

Numerical simulation and Rouse number-based quantitative analysis of turbulence damping parameter for high-concentration sediment transport in pressurized pipes

ABSTRACT

MAIN

Fig. 1.

Research procedure of the present study.

(1a)

(1b)

(1c)

(2)

(3a)

(3b)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Fig. 2.

Computational domain

Table 1.

Numerical simulation conditions

(11)

Table 2.

Calculated SUSlocal for each cases

Fig. 3.

Mesh Configuration

Fig. 4.

Mesh sensitivity analysis

Table 3.

Errors of velocity profiles and sediment concentration distributions for different mesh configurations (SUS = 1.0)

Fig. 5.

Comparison of SUS = 1.0 and SUSlocal

Table 4.

Errors of sediment concentration distributions for different SUS and sediment diameter conditions (N5)

Table 5.

Error indexes of velocity profiles (N5 = 982,800, SUSlocal, d = 0.09 mm, C = 19%)

Table 6.

Error indexes of sediment concentrations

Fig. 6.

Comparison of velocity profiles and sediment concentrations for different sediment diameters

Table 7.

Hydraulic parameters, SUSlocal and turbulence damping parameter B

Fig. 7.

Relationships between the empirical coefficient B and hydraulic parameters

Fig. 8.

Relationships between the empirical coefficient B and Rouse number Z

(12)

Fig. 9.

Relationships between B and C*

(13)

Acknowledgements

Conflicts of Interest

References

Errors of sediment concentration distributions for different SUS and sediment diameter conditions (N₅)

Error indexes of velocity profiles (N₅ = 982,800, SUSlocal, d = 0.09 mm, C = 19%)

Relationships between B and C^*