Assessment of bedload empirical equation applicability based on recent bedload meta-analysis data

Hyoseob Noh; Il Won Seo; Yong Sung Park

doi:10.3741/JKWRA.2025.58.4.329

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Research Article

Journal of Korea Water Resources Association. 30 April 2025. 329-343
https://doi.org/10.3741/JKWRA.2025.58.4.329

Assessment of bedload empirical equation applicability based on recent bedload meta-analysis data

최신 소류사 메타분석 자료 기반 소류사량 경험식 적용성 분석

Hyoseob Noh^a

Il Won Seo^b^c

Yong Sung Park^d^*

노 효섭^a

서 일원^b^c

박 용성^d^*

^aResearch Assistant Professor, Institute of Construction and Environmental Engineering, Seoul National University, Seoul, Korea

^bProfessor Emeritus, Department of Civil and Environmental Engineering, Seoul National University, Seoul, Korea

^cPrincipal Researcher, Institute of Construction and Environmental Engineering, Seoul National University, Seoul, Korea

^dAssociate Professor, Department of Civil and Environmental Engineering, Seoul National University, Seoul, Korea

^a서울대학교 건설환경종합연구소 연구조교수

^b서울대학교 건설환경공학부 명예교수

^c서울대학교 건설환경종합연구소 책임연구원

^d서울대학교 건설환경공학부 부교수

^{*Corresponding Author}

License (open-access, https://creativecommons.org/licenses/by/4.0):

©It is identical to the Creative Commons Attribution Non-commercial License (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0)

ABSTRACT

Accurate estimation of sediment transport is crucial for river management. However, currently, there are no sediment transport equations widely applicable under diverse conditions. This study evaluates the applicability of existing sediment transport equations using the latest sediment transport metadata and analyzes factors influencing their applicability. For laboratory flume data, existing equations demonstrated meaningful explanatory power with the index of agreement (IoA) exceeding 0.65. In contrast, for natural river data, IoA values were mostly below 0.51, indicating limited applicability. This discrepancy is likely due to the greater complexity of hydraulic characteristics in natural rivers and the higher uncertainty in estimating shear stress compared to laboratory conditions. To improve the accuracy of the empirical equation, this study proposes several alternatives; introducing additional explanatory variables, utilizing alternative sediment transport parameters to replace shear stress, and developing equations that account for regime shifts. These approaches are expected to improve the accuracy of sediment transport estimation across various conditions.

Keywords

Sediment transport

Empirical formula

Metadata analysis

Experimental flume

Natural river

Shear stress

하천 관리에서 중요한 인자인 유사량의 산정은 매우 중요하나 다양한 조건에서 적용할 수 있는 신뢰성 높은 소류사량 산정식은 거의 없는 것으로 알려져 있다. 이에 본 연구에서는 최신 소류사량 메타데이터를 활용하여 기존 경험식들의 적용 가능성을 평가하고, 적용성에 영향을 미치는 요인을 분석하였다. 분석 결과, 실험 수로에서 수집한 자료에 대해 기존 경험식들이 일치도 지수 0.65 이상의 유의미한 설명력을 보였으나, 자연 하천 자료에 대해서는 대부분 0.51 이하로 나타났다. 이는 자연 하천의 수리 특성이 실험 수로보다 복잡하고, 하천 마찰 응력 산정의 불확도가 크기 때문으로 판단된다. 산정식의 정확도를 개선하기 위해 추가적인 설명변수를 도입하는 방안, 실측이 어려운 바닥 마찰 응력을 대신할 대체 소류력 변수를 활용하는 방안, 양상 변동(regime shift)을 반영한 산정식 개발을 대안으로 제시하였다. 이러한 새로운 접근은 다양한 조건에서 소류사량 산정의 정확도를 높이는 데 기여할 것으로 기대된다.

키워드

소류사량

경험식

메타데이터 분석

실험 수로

자연 하천

마찰 응력

MAIN

1. 서 론
2. 소류사량 산정 경험식의 선정
2.1 du Boys형 경험식
2.2 Einstein형 경험식
2.3 연구 대상 경험식의 선정
3. 데이터 세트
3.1 개요
3.2 데이터의 특성
3.3 데이터 전처리
4. 결과 및 토의
4.1 소류사량 경험식 성능 분석
4.2 실험 수로와 자연 하천 데이터 특성이 소류사 산정에 미치는 영향
5. 결론 및 향후 연구

1. 서 론

하천의 유사량은 하천 유지관리의 기본 관측 항목으로, 유사량 자료는 하천 수리구조물의 설계 및 운영, 수자원 개발, 하천 관리에 필수적이다. 또한, 하천에서 해안으로 유입되는 유사량 자료는 해안 관리를 위해 매우 중요하기 때문에 하천 유사량을 정확하게 산정하는 것이 필요하다(Boateng et al., 2012; Noh et al., 2021, 2023a). 가장 신뢰도 높은 방법은 직접 계측이지만, 하천 단면을 통과하는 평균 총유사량을 실측하기 위해서는 상당한 인력과 시간이 소요된다. 따라서 유사량 및 유사이송에 따른 하상 변동을 분석할 때, 경험식과 수치모형을 병행 적용하는 것이 보다 현실적인 방안으로 자리잡고 있다(Claude et al., 2012).

하천 유사의 이동 방식은 크게 부유사와 소류사로 구분된다. 부유사는 물속에서 부유해 이동하고, 소류사는 하상 근처에서 구름(rolling), 도약(saltation), 전도(sliding) 등으로 이동한다. 이 두 가지 이동 방식을 합친 총유사량은 하천 환경 및 구조물 설계에서 매우 중요한 값으로 간주된다. 부유사량은 소류사량에 비해 계측이 비교적 용이하며, 최근에는 원격탐사(Kwon et al., 2022a, 2022b, 2023a, 2023b; Noh et al., 2024a) 및 초음파 계측(Venditti et al., 2016; Son, 2021; Noh et al., 2023b, 2024b) 기술의 발전으로 그 효율성과 정확도가 크게 향상되었다. 반면 소류사량은 계측 자체가 어려울 뿐 아니라, 유사이송 메커니즘에 복잡하게 영향을 받기 때문에 정확한 경험식의 개발 및 검증이 요구되지만 광범위한 지형·수리 조건을 갖는 자연 하천에 보편적으로 적용될 수 있는 소류사량 경험식은 아직 개발되지 않은 상태이다(Guo, 2021; Ancey and Recking, 2023).

유사량 산정식 적용성 평가에 대한 국내의 초기 연구로 Yu and Woo (1990)가 Brownlie (1981)의 자료를 이용해 총유사량 산정 경험식을 비교 분석한 바 있다. 그러나 소류사량 산정 경험식을 독립적으로 평가한 연구는 부족한 실정이다. 국외의 소류사량 산정식 개발 연구에서는 새로 제안된 경험식을 기존 경험식과 비교 평가하는 절차를 포함하고 있으나, 이러한 비교는 주로 엄밀하게 통제된 실험 수로 데이터를 기반으로 이루어져 왔다(Meyer-Peter and Müller, 1948; Einstein, 1950; Hsu et al., 2004; Wong and Parker, 2006; Guo, 2021; Wu et al., 2021). 이러한 연구는 실험 수로 조건에서는 높은 정확도를 보일 수 있지만, 지형 구조가 복잡한 자연 하천의 수리 조건에서는 적용성의 한계가 있다.

최근 유사 계측 기술의 발전과 연구 자료 공개 활성화 덕분에 실험 수로와 자연 하천 자료를 아우르는 방대한 소류사량 데이터를 활용해 선행 연구에서 보고된 개별 결과들을 수집하고 한 곳에 모아 종합적으로 분석하는 메타분석이 가능해졌다. Ancey and Recking (2023)은 Bagnold (1966)의 해석을 기반으로 소류사 이송에서 발생하는 양상 변동(regime shift) 현상을 논의하기 위해, 관수로와 개수로를 포함한 다양한 조건에서 수집된 데이터를 취합하였다. Schwindt et al. (2023)은 전 세계 자연 하천에서 수집된 25,000개 이상의 수리량 및 소류사량 데이터를 바탕으로 메타분석을 수행하여 소류사 채집기, 강설 및 빙하, 수원, 계절 등 자연 하천에서의 소류사 운동에 영향을 미치는 인자에 대해 상세히 분석하였다. 여기서, 두 선행 연구에서 각각 메타분석을 수행하기 위해 구축된 데이터 세트인 메타데이터를 종합하면, 실험 수로와 자연 하천 간의 소류사량 거동 차이를 체계적으로 분석할 수 있는 기반을 제공한다.

본 연구에서는 실험 수로와 자연 하천에서 계측된 소류사량 메타데이터를 통합적으로 활용하여, 기존 소류사량 경험식들의 정확도를 평가하고 적용성에 영향을 미치는 요인을 분석하였다. 선행 연구에서는 주로 두 환경의 데이터를 분리해 다룸으로써 자연 하천의 복잡한 수리 특성을 충분히 반영하지 못했다는 한계가 있었다. 이에 본 연구는 서로 다른 두 환경의 데이터를 모두 적용하여 소류사량 산정 경향을 직접 비교하고, 자연 하천과 실험 수로 간에 발생하는 경향성 차이를 유발하는 요인에 대해 고찰하였다. 이를 바탕으로 광범위한 조건에서 활용 가능한 소류사량 경험식 개발에 필요한 주요 과제를 제언함으로써, 복잡한 수리 여건을 갖는 자연 하천에서도 더욱 신뢰도 높은 산정 결과를 얻을 수 있는 기반을 마련하고자 한다.

2. 소류사량 산정 경험식의 선정

소류사량 산정 경험식은 크게 결정론적(deterministic) 방법과 추계학적(stochastic) 이론에 기반한 방법으로 분류할 수 있다. 본 절에서는 두 가지 접근법에 따른 소류사량 산정식의 기본 형태와 주요 매개변수를 서술하고, 이어서 분석에 사용한 소류사량 경험식을 제시한다.

2.1 du Boys형 경험식

du Boys (1879)는 물의 흐름으로 인해 바닥 면에 작용하는 힘과 유사 입자에 작용하는 마찰 저항력이 평형을 이루는 과정을 바탕으로 소류사 운동을 설명하고자 하였다. 특히, 등류 조건을 가정하여 다음 형태의 소류사량 산정 경험식을 제안하였다.

(1)

q_{b v} = χ τ_{0} (τ_{0} - τ_{0 c})

여기서, $q_{b v}$ 는 체적 소류사량, $τ_{0}$ 은 바닥 마찰 응력, $τ_{0 c}$ 는 du Boys의 한계 바닥 마찰 응력, 𝜒는 경험적으로 정의되는 계수를 의미한다. $τ_{0 c}$ 는 소류사 운동층의 두께 $Δ ϵ$ , 마찰계수 $μ_{f}$ , 유사 밀도 $ρ_{s}$ , 물의 밀도 $ρ_{w}$ , 중력 가속도 $g$ 를 이용해 $τ_{0 c} = μ_{f} Δ ϵ (ρ_{s} - ρ_{w}) g$ 관계를 이용하도록 제시되어 있다. 또한, 바닥 마찰 응력은 정류·등류 조건에서 마찰경사( $S_{f}$ )와 하상경사( $S_{0}$ )가 동일하다는 가정 아래 다음 식을 통해 산정할 수 있다(Kim et al., 2024).

(2)

τ_{0} = ρ_{w} g R_{h} S_{0}

위 식에서 $R_{h}$ 는 동수반경이다.

이후 Shields (1936)는 상사 법칙을 적용하여, 소류사 초기 운동이 발생하는 임계 무차원 마찰 응력 $τ_{*} c$ 보다 무차원 마찰 응력 $τ_{*}$ 이 클 때 소류사 운동이 발생할 수 있음을 보였다. 이는 일반적으로 Shields 수라고 하며, 다음 식으로 정의된다.

(3)

τ_{*} = \frac{τ_{0}}{(ρ_{s} - ρ_{w}) g d_{s}}

여기서, $d_{s}$ 는 특성 유사 입경이다. Shields (1936)의 실험 결과에서 유도된 경험적 곡선을 통해 $τ_{*} c$ 를 구할 수 있으며, 이 곡선은 비선형적으로 거동하지만 유사 입경이 커질수록 0.045~ 0.05 범위로 수렴한다.

이후 Meyer-Peter and Müller (1948)는 무차원 소류사량이 $τ_{*}$ 가 $τ_{*} c$ 를 초과하는 정도에 따라 멱급수 형태로 변하는 경험식을 제시하였다(Eq. (4)).

(4)

Φ = α {(τ_{*} - τ_{*_{c}})}^{β}

여기서, 𝛷는 무차원 소류사량으로, 유사의 비중을 $G_{s}$ 라고 할 때 정의는 Eq. (5)와 같다.

(5)

Φ = \frac{q_{b v}}{(G_{s} - 1) g d_{s}^{3}}

$τ_{*} c$ 의 값이 특정 값에서 수렴한다는 특성에 따라 저자들은 𝛼=8, 𝛽=1.5, $τ_{*} c$ =0.047을 적용하기를 제안하였다. 이후 연구에서는 Eq. (4)의 형태를 바탕으로 회귀계수 𝛼와 𝛽, 그리고 $τ_{*} c$ 를 변경하거나(Wilson, 1966; Cheng, 2002; Hsu et al., 2004; Wong and Parker, 2006) Shields 수 및 하상 경사 범위에 따른 회귀계수 변화를 추가로 고려하여 경험식을 개선하기도 한다(Brown, 1950; Recking, 2013; Guo, 2021).

2.2 Einstein형 경험식

추계학적 이론에 기반한 접근으로, Einstein (1950)은 양력(lift force)이 중력을 초과할 확률만큼 소류사가 이동한다고 가정하였다. 이때, $τ_{*} c$ 와 같은 특정 한계 소류력을 별도로 도입하지 않고, 소류사 운동이 시간 평균 흐름 특성보다 유속 섭동에 지배적으로 영향을 받는다고 보았다. 따라서 입자 운동은 양력이 중력을 초과할 확률에 의해 결정되며, 이로부터 형성되는 동적 평형 상태의 소류사 운동을 확률분포식의 적분을 통해 유도한다.

Einstein (1950)은 입자의 양력 $F_{L}$ 과 유효 중력 $F_{D}$ 를 Eqs. (6) and (7)과 같이 정의하였다.

(6)

F_{L} = c_{L} ρ_{f} \frac{u^{2}}{2} A_{1} d_{s} [1 + η]

(7)

F_{D} = g (ρ_{s} - ρ_{w}) A_{2} d_{s}^{3}

여기서 $c_{L}$ 은 양력 계수, $u$ 는 입자에 작용하는 유속, $A_{1}$ , $A_{2}$ , 𝜂는 경험적으로 결정되는 계수이다. 이후 유속을 로그 벽 법칙으로 모델링한 뒤에 양력이 무게보다 크게 작용할 확률 $p (1 > F_{D} / F_{L})$ 을 다시 정리하면 다음과 같다.

(8)

p (1 > F_{D} / F_{L}) = p (1 > \frac{1}{(1 + η)} \frac{(G_{s} - 1) g d_{s}}{τ_{0}} B^{'})

Einstein (1950)은 위 관계를 단순화하기 위해 흐름 강도(flow intensity) 매개변수 𝛹를 도입하였다. 𝛹는 아래와 같이 정의되는데, 이는 Shields 수의 역수와 동일하다.

(9)

Ψ = \frac{(ρ_{s} - ρ_{w}) g d_{s}}{τ_{0}} = 1 / τ_{*}

또한, 확률 해석을 위해 양력과 무게의 표준편차에 대응하는 계수 $η_{0}$ 와 확률변수 $η_{*}$ 를 도입하고, 이를 $η = η_{*} η_{0}$ 로 재정리한다. 그런 다음 Eq. (8)에 대입하면 Eq. (10)와 같은 형태를 얻을 수 있다.

(10)

p (1 > F_{D} / F_{L}) = p (|1 / η_{0} + η_{*}| > Ψ B_{*})

소류사량이 $p$ 의 확률로 이동하고 1- $p$ 의 확률만큼 재퇴적된다고 가정하면 𝛷와 $p$ 사이에 $Φ = \frac{1}{A_{*}} \frac{p}{1 - p}$ 의 관계를 얻을 수 있다. Einstein (1950)은 $e t a_{*}$ 가 가우스 분포를 따른다고 가정하고 Eq. (10)를 적분 형태로 풀어 아래와 같은 소류사 경험식(Eq. (11))을 유도하였다.

(11)

Φ = \frac{1}{A_{*}} [{(\frac{1}{\sqrt{π}} \int_{- B_{*} Ψ - 1 / η}^{B_{*} Ψ - 1 / η} e^{- t^{2}} d t)}^{- 1} - 1]

여기서, 계수 $A_{*}$ , $B_{*}$ , $η_{0}$ 는 각각 43.5, 0.143, 0.5로 주어지며, 경험적으로 결정된 값이다

한편, Einstein의 가우스 분포 가정은 이론적 근거가 충분하지 않아 부유 입자의 이동 거리나 확률 분포를 직접 도출하지 못하는 한계가 있다. 이후 연구들(Wang et al., 2008; Armanini et al., 2015; Wu et al., 2021)은 이러한 확률분포형과 입자 운동 변수를 수정·보완함으로써 Einstein형 경험식을 발전시키고 있다. 적분 형태를 띠는 Einstein형 경험식은 언뜻 복잡해 보이지만, 최종적으로 $Φ = f (Ψ) = f (τ_{*})$ 형태를 취한다는 점에서 du Boys형 경험식과 동일한 입·출력 변수 구조를 갖는다.

2.3 연구 대상 경험식의 선정

본 연구에서는 Shields 수를 바탕으로 한 멱급수 형태의 경험식 9개와, Einstein의 추계학적 접근법을 개선한 경험식 4개(총 13개)를 선정하여 메타데이터상의 실측 소류사량과 비교하였다. Table 1에는 본 연구에서 비교한 경험식의 참고문헌과 수학적 형태가 요약되어 있다.

Table 1.

Tested bedload empirical equations in this study

Types	References	Equations
du Boys-type	Meyer-Peter and Müller (1948)	$Φ = 8 {(τ_{*} - 0.047)}^{1.5}$
	Brown (1950)	$Φ = 2.15 e^{- 0.391 / τ_{}}$ for $τ_{} c$ <0.18 $Φ = 40 τ_{}^{3}$ for 0.18≤ $τ_{} c$ <0.52 $Φ = 15 τ_{}^{1.5}$ for $τ_{}$ ≥0.52
	Wilson (1966)	$Φ = 12 {(τ_{*} - 0.047)}^{1.5}$
	Engelund and Hansen (1967)	$Φ = 2.1 {(G_{s} / S_{0})}^{1 / 3} \sqrt{τ_{}^{2} + 0.15} τ_{}^{7 / 3}$
	Cheng (2002)	$Φ = 13 τ_{}^{1.5} \exp (- 0.05 τ_{}^{3 / 2})$
	Hsu et al. (2004)	$Φ = 20 {(τ_{*} - 0.05)}^{1.8}$
	Wong and Parker (2006)	$Φ = 4.93 {(τ_{*} - 0.047)}^{1.6}$
	Recking (2013)	$Φ = 14 \frac{τ_{}^{2.5}}{1 + {(0.26 S_{0}^{0.3} / τ_{})}^{10}}$
	Guo (2021)	$Φ = 10 τ_{}^{5 / 3} \exp [- 8 erfc [1.2 \ln (30 τ_{})]]$
Einstein-type	Einstein (1950)	$Φ = \frac{1}{43.5} [{(\frac{1}{\sqrt{π}} \int_{- 0.143 Ψ - 2}^{0.143 Ψ - 2} e^{- t^{2}} d t)}^{- 1} - 1]$
	Wang et al. (2008)	$Φ = \frac{1}{20} Ψ^{- 1.5} (\frac{\int_{0.07 Ψ - 2}^{\infty} e^{- t^{2}} d t}{1 - \int_{0.07 Ψ - 2}^{\infty} e^{- t^{2}} d t})$
	Armanini et al. (2015)	$Φ = \frac{25 (2 + Ψ)}{2 Ψ (1 + 4 Ψ)} e^{- 1 / 2 (Ψ / 2 - 1)}$
	Wu et al. (2021)	$Φ = {[0.45 erf (0.625 \sqrt{Ψ}) - 0.318 \sqrt{Ψ} e^{- 0.391 Ψ}]}^{- 1} - 2.22$

본 연구에서는 우리나라에서 총유사량 산정법으로 사용되고 있는 수정 아인슈타인 방법의 기초가 된 Einstein (1950)의 경험식을 함께 다양한 추계학적 방법을 분석하였으며, 아울러 멱급수 형태의 대수식을 포함한 경험식을 비교 분석하였다. 자연 하천 데이터셋의 출처 중 하나인 Bedload Web (Recking, 2019)에서 제공되는 12개의 소류사량 경험식은 대부분 du Boys형 대수식에 한정되어 있으나, 본 연구에서는 더 많은 데이터와 다양한 식을 활용함으로써 보다 일반적인 분석을 시도하였다.

연구 범위는 일방향 흐름이 지배적인 자연 하천에서의 소류사 이동으로 한정한다. 따라서 du Boys형 소류사량 함수라도 Camenen and Larson (2005) 등 해안의 왕복 흐름 데이터만을 이용해 유도된 경험식은 분석에서 제외하였다. 동일 저자가 여러 경험식을 제안한 경우에는 최신 연구를 반영한 식을 선택하였으며, 예컨대 Parker가 제안한 여러 식(Parker, 1990; Wong and Parker, 2006) 중에서는 Wong and Parker (2006)를 채택하였다.

또한, Engelund and Hansen (1967) 식 계산 시 Ancey and Recking (2023)이 Jäggi (1984)의 Stricker 마찰계수를 기반으로 수정한 경험식을 적용하였으며, 이 때 메타데이터에서 제공하는 하상경사( $S_{0}$ )를 활용하였다. 본 연구에서는 입자 중앙입경을 유사 입경의 대푯값으로 사용하였으며, Smart and Jaeggi (1983)나 Recking (2010, 2013)의 경험식처럼 $d_{84}$ , $d_{90}$ 등 추가적인 입도 정보가 필요한 경험식은 분석 대상에서 제외하였다. 즉, 메타데이터에서 제공하는 변수만을 이용해 계산할 수 있는 경험식을 분석 대상으로 삼았다.

3. 데이터 세트

3.1 개요

기존에 제안된 소류사량 경험식의 적용성을 검토하기 위해서 실험 수로와 자연 하천에서 취득된 데이터를 모두 활용하였다. 실험 수로 데이터에 대하여 산정식의 정확도를 비교하면 통제된 이상적인 조건에서 소류사 운동 이론이 얼마나 잘 적용될 수 있는지를 평가할 수 있다. 한편, 자연 하천에서 실측한 데이터를 통해서는 실무적 적용성을 확인할 수 있으며, 이를 다시 실험 수로와 비교해 경험식 간 차이를 분석하였다. 실험 수로와 자연 하천 자료는 각각 Ancey and Recking (2023)과 Schwindt et al. (2023)에 의해 취합된 최신 데이터 세트를 발췌하여 활용하였다. 각 데이터 세트에서 인용된 문헌과 데이터 세트의 크기를 Table 2에 정리하였다.

Table 2.

Brief descriptions of the datasets from Ancey and Recking (2023) and Schwindt et al. (2023)

Classification	Flume data	Natural river data
References	Ancey and Recking (2023)	Schwindt et al. (2023)
Data sources	Williams (1970), Paintal (1971), Pazis (1976), Smart and Jaeggi (1983), Ikeda (1983), Cao (1985), Suszka (1987), Rickenmann (1991), Wilcock (1987), Recking et al. (2008), Deal et al. (2023)	Hinton et al. (2017), Bunte and Swingle (2021), Recking (2019)
Used dataset size	835 out of 885	6,091 out of 15,519
Notes	Only open channel flume experiments	Only Halley-Smith-type samplers

3.2 데이터의 특성

3.2.1 실험 수로 데이터 세트

Ancey and Recking (2023)은 소류사량 이송이 양상 변동의 영향을 받는 현상을 연구하기 위해 소류사량 실측 자료를 수집하였다. 이들은 연구 보고서, 학위 논문, 학술지 논문을 다양하게 수집하여 수로 폭( $b$ ), 수심( $h$ ), 하상경사( $S_{0}$ ), 중앙입경( $d_{50}$ ), 유사의 밀도( $ρ_{s}$ ), 물의 밀도( $ρ_{w}$ ), 유사의 비중( $G_{s}$ ), 단위 폭 유량( $q$ ), 단위 폭 소류사량( $q_{b v}$ )과 같은 소류사량 산정에 필요한 기초 변수들을 정리하였다. 마찰 응력에 영향을 주는 하상 형상의 경우에는 대부분 기록되지 않았으며, 하상 형상이 한계 소류력에 큰 영향을 미치지 않는다는 Lamb et al. (2008)의 연구를 바탕으로 하상 형상은 데이터 세트에 포함되지 않았다.

Ancey and Recking (2023)은 강한 소류력을 재현하기 위한 관수로 실험 자료를 포함한다. 그러나 압력에 의해 흐르는 관수로 흐름은 개수로 흐름과 유속 구조가 다르고, 수심 변화에 따른 정보를 활용하기 어렵다는 한계가 있다. 따라서 관수로 데이터는 자연 하천 개수로 데이터와 동등한 비교가 어려워 본 연구에서는 개수로 흐름에서 계측된 885개의 실험 자료만을 사용하였다.

Table 3은 Ancey and Recking (2023)에서 제공하는 데이터 세트를 요약한 것이다. 이 데이터 세트는 추가로 계산한 변수들을 수록하고 있는데 여기서, $τ_{0, c o r r}$ 는 벽 보정 바닥 마찰 응력, $f$ 는 총 마찰계수, $f_{b}$ 는 바닥 마찰계수이다.

Table 3.

Summary of the flume dataset provided by Ancey and Recking (2023)

Variables	count	min	25%	50%	75%	max
$b$ (m)	835	1.00E-02	2.00E-01	5.00E-01	6.00E-01	4.00E+00
$S_{0}$	835	3.23E-05	1.70E-03	9.19E-03	3.02E-02	2.00E-01
$d_{50}$ (m)	835	4.90E-04	1.35E-03	4.20E-03	1.05E-02	4.43E-02
$ρ_{s}$ (kg/m³)	835	1.41E+03	2.65E+03	2.67E+03	2.67E+03	2.73E+03
$G_{s}$	835	4.10E-01	1.65E+00	1.67E+00	1.67E+00	1.73E+00
$q$ (m³/s/m)	835	1.42E-03	4.99E-02	1.17E-01	1.60E-01	4.17E-01
$q_{b v}$ (m³/s/m)	835	0.00E+00	4.05E-07	1.71E-05	2.63E-04	3.88E-02
$h$ (m)	835	4.18E-03	4.80E-02	1.14E-01	2.11E-01	5.50E-01
$R_{h}$ (m)	835	2.28E-03	3.01E-02	7.22E-02	1.22E-01	2.71E-01
$τ_{0} = ρ_{w} g R_{h} S_{0}$ (Pa)	835	1.74E-01	1.71E+00	8.98E+00	2.22E+01	1.19E+02
$τ_{0, c o r r}$ (Pa)	835	-1.08E+00	1.15E+00	7.34E+00	1.84E+01	1.15E+02
$f$	835	1.77E-03	2.65E-02	4.92E-02	8.99E-02	5.88E-01
$f_{b}$	835	-1.40E-02	3.36E-02	6.55E-02	1.17E-01	7.55E-01
$τ_{*}$	885	7.80E-03	4.13E-02	7.81E-02	2.08E-01	2.32E+00
𝛷	885	0.00E+00	3.98E-04	1.52E-02	2.73E-01	8.40E+01

3.2.2 자연 하천 데이터 세트

본 연구에서는 자연 하천 데이터 세트로 Schwindt et al. (2023)의 메타분석 자료를 활용하였다. Ancey and Recking (2023) 또한 자연 하천 데이터 세트를 공개하고 있으나, 해당 데이터는 Schwindt et al. (2023)이 취합한 데이터 세트의 부분집합이므로 본 연구에서는 제외하였다. Schwindt et al. (2023)의 데이터 세트는 Hinton et al. (2017), Bunte and Swingle (2021), Recking (2019)의 자료를 통합하여 구성되었다. 특히, Recking (2019)의 데이터는 문헌이 아닌 Bedload 웹사이트(https://en.bedloadweb.com)에서 접근할 수 있으며, Williams and Rosgen (1989), Batalla (1997), King et al. (2004) 등 다양한 자연 하천 소류사량 자료를 포함하고 있다.

Schwindt et al. (2023) 데이터 세트는 소류사량, 수심, 유속, 하상경사, 소류사 중앙입경( $d_{50 b l}$ ) 등 기본 수리량 외에도 하천의 사행도, 댐, 눈, 빙하의 영향 등 추가적인 요인을 포함하고 있으나 본 연구에서는 소류사량 경험식의 평가에 필요한 기본 수리량만을 활용하였다. 그러나 Schwindt et al. (2023)에서는 하상토 중앙입경( $d_{50}$ )이 주어지지 않아 원본 데이터 문헌에 주어진 값을 바탕으로 데이터를 보완하였다. Schwindt et al. (2023)은 채집기 유형에 따라 동일한 조건에서도 소류사량 측정값이 달라질 수 있음을 지적하였다. 따라서, 본 연구에서는 채집 방식에 따른 오차 요인을 최소화하기 위해 가장 일반적으로 사용되는 Helley-Smith 방식으로 채집한 데이터만을 분석에 포함하였다.

수리량과 유사량 이외에 추가로 제공되는 항목과 유사량에 대한 상관관계는 Schwindt et al. (2023)에서 상세하게 분석이 이루어져 있어 본 연구에서는 이와 관련한 분석을 반복하지 않았다. 다만 데이터 세트의 특성을 제공하기 위해 Table 4의 Notes 열에 원본 문헌의 주된 발견에 대해 정리하였다.

Table 4.

Summary of the natural rivers dataset and median features discussed in Schwindt et al. (2023)

Numeric variables	Variables	count	min	25%	50%	75%	max	Notes
	$Q_{b}$ (kg/s)	14,257	1.50E-08	0.0042	0.0399	0.546	345.24
	$h$ (m)	7,870	0	0.22	0.36	0.615696	46.33
	$b$ (m)	13,300	0.040	5.517	11.330	26.518	652.272
	$q_{b v}$ (m³/s/m)	12,211	3.77E-10	2.69E-07	1.83E-06	1.53E-05	0.217
	$d_{50}$ (m)	8,801	0.00038	0.034	0.063	0.09	6.085	Added by authors
	$d_{50 b l}$ (m)	11,116	0.00016	0.00083	0.00129	0.00227	0.105715349
	$q$ (m³/s/m)	11,632	0.000722	0.156916	0.3968335	1.070858966	5374.798334
	sinuosity	8,624	1	1.03	1.103	1.24	2.66	Maximum bedload for 1.2~1.4
	entrench_ratio	2,130	1.02	1.4	1.55	2.26	7.36	Wide or fully entranched stream show large bedload flux
	altitude	10,769	1	169	730	1492	3279	Negative to bedload, but increase for elevation>1,800 m
	$S_{0}$	10,901	2.70E-05	0.0034	0.0095	0.02	0.19	Negative to bedload, but increase for 0.05>slope
	$τ_{*}$	6,344	0.00E+00	0.063	0.104	0.173	2.515
	𝛷	7,735	3.83E-13	1.07E-07	8.50E-07	5.86E-06	9.59E-02

3.3 데이터 전처리

실험 수로 데이터 세트와 자연 하천 데이터 세트는 상이한 변수들을 포함하므로, 공통으로 제공되는 수리량만을 분석에 활용해야 한다. 특히, 대부분의 소류사량 경험식이 무차원 수리량을 기반으로 하므로 단면 평균 유속( $U$ ), 하폭( $b$ ), 수심( $h$ ), 하상토 중앙입경( $d_{50}$ ), 하상경사( $S_{0}$ ) 등을 공통 변수로 분석에 포함하였다. 이에 따라 유사 특성 입경은 중앙 입경( $d_{50}$ )으로 사용하였다.

수온이 변하면 물의 점성계수와 밀도가 달라져, 하천에서의 침강속도와 항력 등 유사 이동 특성에 영향을 미친다. Barati et al. (2014)은 0°C~30°C 수온 범위에서 점성계수 변화로 인해 소류사 도약 길이가 1.6배까지 달라질 수 있음을 보고하였다. 또한 Noh et al. (2023a)은 10°C와 25°C에서 침강속도가 최대 40% 이상 차이가 발생할 수 있음을 보였다. 다만 입경이 1 mm 이상인 경우 온도 변화에 따른 점성 전단력은 상대적으로 작은 편이며, 입자 레이놀즈수가 1보다 큰 경우에는 점성보다는 주로 난류나 관성력이 항력을 지배한다(Cassar et al., 2005; Revil-Baudard and Chauchat, 2013). 온도가 0°C에서 40°C범위 내에서 변화할 때 입자의 비중 변화는 0.7%에 불과하다. 본 연구의 데이터 세트는 75% 이상이 3 mm 이상의 입자로 구성되어 밀도 변화로 인한 효과는 크지 않다고 판단된다. 수온과 유사의 밀도가 주어진다면 점성계수와 물의 밀도를 직접 산정하는 것이 바람직하지만 본 연구의 두 데이터 세트에서는 수온이 제공되지 않기 때문에 물의 밀도( $ρ_{w}$ )는 1,000 kg/m³, 운동학적 점성계수(𝜈)는 1.01 × 10^-6 m² /s로 가정하였다. 또한 일부 실험 수로 데이터를 제외하고는 유사의 밀도가 명시되지 않았기 떄문에 두 데이터 세트 모두에서 $ρ_{s}$ 가 주어지지 않은 경우 2,650 kg/m³으로 가정하였다.

한편, 실험 수로와 자연 하천은 단면 형상과 측벽·하상 구성에서 큰 차이를 보인다. 자연 하천은 단면 형태가 복잡하지만, 양안과 하상이 모두 유사 등 토질로 덮여 있어 전체 단면을 상대적으로 일괄적인 재료로 간주하여 마찰을 산정할 수 있다. 반면 실험 수로는 주로 유리 같은 매끄러운 벽면을 가진 사각형 단면으로, 바닥 조건만 유사로 통제한 경우가 많아 마찰 응력이 대부분 바닥에 집중된다. 따라서 Eq. (1)을 실험 수로 조건에 그대로 적용하면 실제 바닥 마찰력을 과소 또는 과대평가할 가능성이 있다(Guo, 2015). 이를 보완하기 위해 Guo (2017)는 매끄러운 벽면을 가진 사각형 수로에서 바닥과 벽 마찰 응력을 분리하여 계산하는 Einstein-Johnson 방법을 제안하였으며, 해당 과정은 Eqs. (12), (13), (14)로 정리된다.

(12)

f_{w} = \frac{\ln^{2} 10}{36} W^{- 2} (\sqrt{\frac{9 R e_{R}}{400 f}})

여기서, $f$ 와 $f_{w}$ 는 각각 단면 전체와 벽면의 Darcy-Weisbach 마찰계수; $W$ 는 Lambert W 함수; $R e_{R}$ 는 $R e_{R} = \frac{4 R_{h} U}{ν}$ 으로 정의되는 레이놀즈수이다. 이때, 동수반경 $R_{h}$ 는 사각형 수로에서 $R_{h} = b h / (2 h + b)$ 로 계산된다. Lambert W 함수는 Python의 Scipy 라이브러리 등을 통해 계산할 수 있다. 위 식으로 계산한 벽면의 기여도를 고려한 바닥 마찰계수 $f_{b}$ 는 다음과 같이 계산된다.

(13)

f_{b} = (2 \frac{h}{b} + 1) f - 2 \frac{h}{b} f_{w}

결과적으로 매끈한 벽 마찰이 고려된 바닥에서의 보정된 마찰 응력 $τ_{0, c o r r}$ 은 다음과 같다.

(14)

τ_{0, c o r r} = \frac{f_{b}}{8} ρ U^{2}

실험 수로 데이터 세트는 동수반경법으로 계산한 $τ_{0}$ 와 $τ_{0, c o r r}$ 을 모두 제공한다. 본 연구에서는 실험 수로 조건에 더욱 적합한 Guo (2017)의 보정 마찰 응력을 사용하였다. 그러나 실험 수로 데이터 일부에서 수심이 0이거나 Guo (2017)의 보정 값이 수학적으로 음수가 되면 무한대 또는 음의 마찰응력이 나타났다. 이 겅우, Eq. (2)를 이용한 마찰 응력을 적용하였다.

자연 하천 데이터 세트(Schwindt et al., 2023)는 바닥 마찰 응력을 별도로 제공하지 않으므로, 유속·동수반경·하상경사를 Eq. (2)에 대입하여 마찰 응력을 계산하였다. 자연 하천 데이터 세트에서의 동수반경 또한 사각형 수로를 상정하여 $R_{h} = b h / (2 h + b)$ 로 계산하였다. 자연 하천과 같이 하폭이 큰 수로의 경우에는 이 값이 수심 $h$ 에 근접한다.

정리하면, 실험 수로 조건에서는 Guo (2017)의 방법으로 보정된 바닥 마찰 응력을 사용하고, 자연 하천의 경우에는 동수반경법을 통해 바닥 마찰 응력을 구하였다. 이후 소류사량 산정을 위해, 이렇게 산정된 마찰 응력을 Eqs. (3) and (9)에 입력하여 Shields 수 $τ_{*}$ 와 𝛹를 계산하였다.

두 메타데이터는 다양한 변수 정보를 포함하고 있으며, Ancey and Recking (2023)과 Schwindt et al. (2023)은 하상 형상, 계절적 요인, 융설수, 기후, 지하수, 수리구조물 등의 요소가 소류사 공급 및 발생에 유의미한 영향을 미친다고 언급하였다. 그러나 대부분의 소류사량 경험식은 이러한 변수를 명시적으로 포함하지 않으며, 실무에서도 모든 조건을 고려하기가 어렵다. 따라서 일반적으로 $τ_{*}$ 또는 𝛹 같은 단순화된 인자를 통해 𝛷를 산정하도록 유도되는 경우가 많다. 본 연구 또한 이러한 맥락에서, 소류사량 경험식에서 요구하는 변수만을 분석 대상에 포함하여 유사 중앙 입경( $d_{50}$ ), 하상경사( $S_{0}$ ), 수로 폭( $b$ ), 수심( $h$ ), 소류사량( $q_{b v}$ )등 기초 수리 변수를 이용하였다. 이들 다섯 변수가 모두 제공되지 않은 자료는 제외하였고, 최종적으로 실험 수로 데이터 세트는 835개, 자연 하천 데이터 세트는 6,091개의 유효 데이터를 확보하였다.

4. 결과 및 토의

4.1 소류사량 경험식 성능 분석

소류사량 경험식의 성능을 정량적으로 평가하기 위해 평균 제곱근 오차(root mean squared error, RMSE), 결정계수(coefficient of determination, CoD), 일치도 지수(index of agreement, IoA)를 활용하였다. 세 지표 모두 오차의 제곱 항에 민감하므로, 큰 값 영역의 정확도가 상대적으로 과대평가되는 경향이 있다(Onyutha, 2022). 이러한 편향 문제를 해소하기 위해서는 로그 변환된 오차(log-transformed error)를 사용하는 방법이 제안되어 왔다(Krause et al., 2005; Pushpalatha et al., 2012; Onyutha, 2022). 본 연구의 무차원 소류사량 데이터의 범위가 10^-13에서 8.4가량으로 약 10¹⁴에 달하는 자릿수 차이를 보이며 대부분의 값이 1 미만 구간에 집중되어 있다는 점이 문제를 일으킬 수 있다. 즉, 1을 초과하는 구간의 오차가 과대평가될 가능성이 있으므로 로그 변환 오차를 산정하였다.

다만, du Boys 형 경험식에서 한계 소류력(=0.047) 이하의 소류력 구간이 주어지면 소류사량이 0으로 계산되는 문제가 생기는데, 이때 단순 로그 변환을 적용하면 음의 무한대로 발산한다. 이를 방지하고자 로그 변환 시 작은 더미 값 𝜖=10^-12을 도입하여 산정하였다. 여기서 RMSE, CoD, IoA의 계산식은 다음과 같다(Eqs. (15), (16), (17)).

(15)

R M S E = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i}^{n} {(y_{o b s, i} - y_{e s t, i})}^{2}}

(16)

C o D = 1 - \frac{\sum_{i}^{n} {(y_{o b s, i} - y_{e s t, i})}^{2}}{\sum_{i}^{n} {(y_{o b s, i} - \bar{y_{o b s, i}})}^{2}}

(17)

I o A = 1 - \frac{\sum_{i}^{n} {(y_{o b s, i} - y_{e s t, i})}^{2}}{\sum_{i}^{n} {(|y_{e s t, i} - \bar{y_{o b s, i}}| + ∣ y_{o b s, i} - \bar{y_{o b s, i}})}^{2}}

여기서, $y_{o b s, i}$ 와 $y_{e s t, i}$ 는 각각 $i$ 번째 실측값과 경험식을 이용한 로그 변환 산정값( $y = \ln (Φ + ϵ)$ ); $n$ 은 데이터 수; $\bar{y_{o b s}}$ 는 실측 로그 변환 산정값 평균이다. RMSE는 0에 가까울수록 회귀 모형의 예측 정확도가 높음을 의미하며, CoD는 1에 가까울수록 모형의 설명력이 우수함을 나타낸다. 반면, CoD가 1보다 작은 경우에는 회귀 모형의 오차가 평균 실측값( $\bar{y_{o b s}}$ )으로부터의 평균 오차보다 크다는 것을 의미한다. IoA는 실측값과 산정값의 오차를 모두 포함하여 정규화한 지표로 CoD가 음수의 값이 나타날 수 있지만, IoA는 통상 0에서 1 사이의 값을 나타낸다. Table 5는 실험 수로, 자연 하천, 그리고 두 데이터 세트를 통합했을 때의 RMSE, CoD, IoA를 요약한 결과다.

Table 5.

Estimation of performances of the bedload empirical equations

Types	Empirical equations	Flume			Field			All (Flume + Field)
Types	Empirical equations	RMSE	CoD	IoA	RMSE	CoD	IoA	RMSE	CoD	IoA
du Boys-type	Meyer-Peter and Müller (1948)	8.80	-1.61	0.70	9.73	-9.55	0.41	9.61	-4.40	0.52
	Brown (1950)	6.08	-0.24	0.77	6.57	-3.81	0.49	6.50	-1.47	0.61
	Wilson (1966)	8.82	-1.62	0.70	9.85	-9.82	0.41	9.72	-4.52	0.52
	Engelund and Hansen (1967)	4.42	0.34	0.66	7.07	-4.57	0.42	6.76	-1.68	0.50
	Cheng (2002)	6.21	-0.30	0.77	7.14	-4.68	0.47	7.02	-1.88	0.59
	Hsu et al. (2004)	9.15	-1.82	0.69	9.80	-9.69	0.41	9.71	-4.51	0.52
	Wong and Parker (2006)	8.80	-1.61	0.69	9.50	-9.05	0.42	9.40	-4.17	0.52
	Recking (2013)	5.47	-0.01	0.76	5.31	-2.14	0.62	5.33	-0.66	0.71
	Guo (2021)	5.53	-0.03	0.80	6.26	-3.37	0.51	6.17	-1.22	0.63
Einstein-type	Einstein (1950)	6.48	-0.41	0.76	7.83	-5.83	0.45	7.66	-2.43	0.56
	Wang et al. (2008)	5.77	-0.12	0.75	6.27	-3.37	0.50	6.20	-1.25	0.60
	Armanini et al. (2015)	5.74	-0.11	0.76	6.18	-3.25	0.51	6.12	-1.19	0.61
	Wu et al. (2021)	4.04	0.45	0.76	7.19	-4.77	0.41	6.84	-1.74	0.51

소류사량 경험식을 정성적으로 평가하기 위해, Fig. 1에는 무차원 소류사량 데이터 분포와 경험식 산정 곡선을 비교한 결과를 제시하였다. 실험 수로 데이터는 검은색, 자연 하천 데이터는 초록색으로 표시하였으며, Figs. 1(a) and 1(b)는 du Boys형 경험식들, Fig. 1(c)는 Einstein형 경험식을 다른 색 실선으로 구분하여 나타냈다. 또한, 무차원 소류사량 계측값과 경험식 산정값을 1대1로 비교한 산점도를 Fig. 2에 제시하였고, 소류사량이 0으로 평가된 경우는 로그 축을 0으로 처리하여 시각화했다.

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Fig. 1.

Data distributions of dimensionless bedload and empirical formula estimations: (a) Meyer-Peter and Müller (1948), Brown (1950), Wilson (1966), Engelund and Hansen (1967); (b) Cheng (2002), Hsu et al. (2004), Wong and Parker (2006), Recking (2013), Guo (2021); Einstein (1950), Wang et al. (2008), Armanini et al. (2015), and Wu et al. (2021)

du Boys형 경험식 중에서는 Engelund and Hansen (1967) 식이 또한 RMSE=4.42, CoD=0.34로 큰 값의 오차는 가장 우수하였지만, IoA는 0.66으로 가장 낮았다. Recking (2013) 식과 Guo (2021) 식이 세 지표 전반에서 우수하였다. Recking (2013)은 실험 수로와 자연 하천 모두에서 오차가 비교적 작고, 자연 하천 데이터에 대해서도 RMSE가 5.47로 가장 낮았으며, Guo (2021) 식의 IoA는 0.80으로 가장 높게 나타났다.

Brown (1950), Recking (2013), Guo (2021) 경험식은 $τ_{*}$ -𝛷관계의 양상 변화를 고려해 $τ_{*}$ 범위별로 지수를 다르게 적용하는 방식을 취한다. 예컨대 Brown (1950)은 $τ_{*}$ 범위를 구분했고, Recking (2013)은 로지스틱 함수를, Guo (2021)은 erfc 함수를 사용하여, $τ_{*}$ 가 작을 때와 클 때의 거동을 달리 모델링한다. 그 결과 실험 수로에서는 IoA가 최대 0.80(Guo, 2021)에 달하고, 자연 하천에서도 오차가 상대적으로 작게 나타났다. Engelund and Hansen (1967), Recking (2013)은 하상경사나 유체 및 입자 비중도 함께 고려하므로, 경사 변화를 반영하지 않는 다른 식들에 비해 자연 하천에서의 예측 오차가 작았다. 특히, 자연 하천에서는 대부분 경험식의 IoA가 0.5보다 낮게 나타났으나 Recking (2013)의 IoA는 0.62로 모든 경험식 중 자연 하천에서 적합도가 가장 우수하였다.

반면 Wilson (1966), Hsu et al. (2004) 등은 전반적으로 예측 오차가 크고, CoD도 음수 범위가 크게 나타났다. 예컨대 Wilson (1966)은 실험 수로조차 RMSE가 8.8 이상이고, 자연 하천에서 9.85로 상승해 큰 오차를 보였다. Hsu et al. (2004)의 경우는 상대적으로 작은 50개 미만의 데이터로 유도되었다는 점도 정확도에 영향을 미쳤을 것으로 추정된다.

Einstein형의 네 경험식은 실험 수로에서 RMSE가 대체로 6.5 이하, IoA는 0.75~0.76 수준으로 나타나 du Boys형보다 비교적 안정된 결과를 보였다. 자연 하천에서 CoD를 살펴보면, Wu et al. (2021)이 RMSE=4.04, CoD=0.45로 모든 경험식 중 가장 우수한 성능을 보였다. 실험 수로와 자연 하천 전체를 통합했을 때는 Armanini et al. (2015)가 실험 수로에서 RMSE=5.74, 자연 하천에서 6.18을 보여, IoA가 0.5 이상을 유지하는 등 상대적으로 균형 잡힌 성능을 나타냈다. 이는 원형 모델로 알려진 Einstein (1950) 식에서 적분 범위와 소류사 이동 확률 분포 등을 개선한 효과로 보인다. 반면 Einstein (1950) 식 자체는 실험 수로에서는 무난한 정확도를 보였지만, 자연 하천에서는 RMSE가 약 7.8까지 커지고 CoD가 -5.8까지 떨어져 정확도가 크게 저하되었다.

실험 수로 데이터의 경우, 모든 경험식의 RMSE가 대체로 4~9 사이에 분포하고, 최대·최소 격차가 약 5 정도로 나타났다. CoD는 일부 경험식에서 음수가 나오긴 했지만, 그 절댓값이 자연 하천만큼 극단적으로 크지는 않았다. IoA 역시 대개 0.66-0.80 범위로, 대체로 0.7 전후를 유지하였다. 이는 실험 수로 조건이 자연 하천에 비해 상대적으로 균일하고 등류를 유지하기 쉬워, $τ_{*}$ 산정이 비교적 안정적으로 이루어지기 때문으로 해석된다.

반면 자연 하천 데이터에서는 RMSE가 5대 후반부터 10에 육박하는 값까지 폭넓게 분포하며, CoD는 -9.82에서 -3.25까지 크게 떨어졌다. IoA도 0.41~0.62 범위로 실험 수로에 비해 전반적으로 낮았다. 이는 Fig. 1에서 확인할 수 있듯이 자연 하천 데이터가 훨씬 큰 산포도를 보이기 때문이다. 산포가 심해질수록 $τ_{*}$ 와 𝛷의 1대1 대응에 기반한 기존 소류사량 경험식들의 예측 오차가 커지게 된다. 4.2절에서는 이러한 현상을 좀 더 심층적으로 논의한다.

Fig. 1에서 $τ_{*}$ 이외의 추가 변수가 고려된 Engelund and Hansen (1967) 식과 Recking (2013) 식은 $τ_{*}$ 와 𝛷의 관계가 단순 일대일 대응으로 정의되지 않고, 데이터의 기울기에 따라 여러 영역을 포함하는 모습을 보인다. 또한 통합 데이터 세트에서 IoA가 0.59 이상을 기록한 Brown (1950), Cheng (2002), Recking (2013), Guo (2021) 등의 경험식은 Fig. 1에서 자연 하천 데이터가 밀집된 중앙 영역을 가로지르는 경향이 확인되었다. 그럼에도 Fig. 2를 보면, 이들 경험식도 자연 하천 데이터를 전반적으로 과대평가하는 패턴이 나타난다.

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Fig. 2.

Separated comparison of the observed and estimated 𝛷 in flume and field datasets: (a,f) Meyer-Peter and Müller (1948), Brown (1950), Wilson (1966), (b, g) Engelund and Hansen (1967), Cheng (2002), Hsu et al. (2004); (c, h) Wong and Parker (2006), Recking (2013), Guo (2021); (d, i) Einstein (1950), Wang et al. (2008); (e, j) Armanini et al. (2015), and Wu et al. (2021)

한편, 한편, du Boys형 중 Meyer-Peter and Müller (1948), Wilson (1966), Hsu et al. (2004), Wong and Parker (2006)처럼 한계 소류력 개념을 명시적으로 도입한 식들은, Fig. 1에서 $τ_{*}$ =0.047보다 낮은 영역에서도 실제로 소류사가 발생함에도 곡선이 이 지점에서 0으로 급격히 꺾이는 특징이 나타났다. 이는 $τ_{* c}$ 이하의 소류력을 0으로 처리함으로써 발생하는 예측 편차로, 실험 수로와 자연 하천에서 각각 CoD가 -1.6, -0.9 이하로 떨어지는 등 전반적 재현력이 낮은 결과로 이어졌다.

반면 Einstein형 경험식들은 확률 분포를 통해 $τ_{* c}$ 이하 구간에서도 일정 수준의 소류사량을 발생시키도록 설계되어 있다. 예컨대 Fig. 1(c)에서 $τ_{*}$ 전 구간에 걸쳐 곡선이 이어지는 것을 확인할 수 있다. 그 중 Armanini et al. (2015)는 실험 수로와 자연 하천 모두에서 준수한 IoA 값을 보여주면서, 자연 하천 데이터가 밀집된 구간을 비교적 잘 관통하였다. Wu et al. (2021)는 실험 수로 자료에서 높은 정확도를 보이나, $τ_{*}$ <0.005 구간에서는 erf와 exp가 각각 1, 0으로 수렴하여 무차원 소류사량이 0.00222로 고정되는 탓에 Fig. 2(e)에서 일부 과대평가 현상이 관찰된다. Einstein (1950) 식의 경우, $τ_{*}$ 가 매우 작은 영역에서 𝛷를 국부적으로 과대 추정하는 수치 적분 오차가 일부 확인되었다(Fig. 1).

4.2 실험 수로와 자연 하천 데이터 특성이 소류사 산정에 미치는 영향

Fig. 1을 보면, 실험 수로 데이터는 $τ_{*}$ 가 약 0.008-2.3 범위에서 관측된 반면, 자연 하천은 0.3 이하에서 주로 분포한다. 실험 수로에서는 $τ_{*}$ 증가에 따라 𝛷가 비교적 명확히 증가하는 경향을 보이지만, 자연 하천은 $τ_{*}$ 와 무관하게 산재한다. Pearson 상관계수를 구해보면 실험 수로는 0.819로 높은 편이나, 자연 하천은 -0.104로 상관성이 거의 없게 나타났다.

Fig. 3은 $τ_{*}$ 와 𝛷의 관계를 수심-하폭 비( $b / h$ )에 따라 색으로 구분한 것이다. 실험 수로 데이터 중 $τ_{*}$ 가 낮은 구간에서 $b / h$ 값에 따라, Pazis (1976)와 Ikeda (1983) 자료가 기울기가 작게 나타나며 분기하는 양상 변동 현상을 보인다. Ikeda (1983)는 $b / h$ 가 작을수록 기울기가 완만해졌고, Pazis (1976)의 일부 자료도 유사하나 음의 바닥 마찰 응력을 가진 경우는 $τ_{*}$ 와 뚜렷한 상관을 보이지 않았다. Guo (2015)는 $b / h$ 가 작아질수록 이차류(secondary current)와 유속 저하(velocity dip) 현상으로 인해 바닥 마찰 응력이 잘못 평가되는 현상을 지적한 바 있다. 또한, 매끄러운 수로 벽면일수록 벽면 마찰 응력이 커져 $τ_{0, c o r r}$ 범위 하한선이 낮아질 수 있다는 점을 Eq. (18)을 통해 설명하였다.

(18)

ρ_{u} g R_{h} S_{0} \leq τ_{0, corr} \leq ρ_{w} g h S_{0}

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Fig. 3.

Scatter plot of the relationship between $τ_{*}$ and 𝛷 denoting data colors by $b / h$ in the flume dataset

따라서 이 분기 현상은 실험 수로에서 Guo (2015) 방식(Eq. (14))으로 마찰력을 산정할 때, Shields 수가 약 0.1 미만인 범위에서 $b / h$ 가 작으면 벽면 마찰 기여도가 커져 바닥 마찰력이 과소평가되기 때문으로 해석된다. 즉, 매끄러운 벽에서 보정된 바닥 마찰 응력을 적용할 때 $b / h$ 가 작을수록 데이터의 산개로 인한 소류사량 산정 오차가 발생할 수 있으며 그 오차는 소류력이 약할수록 커질 수 있다.

Fig. 1에서 실험 수로 데이터는 Shields 수가 증가함에 따라 무차원 소류사량이 대체로 증가한다. 그러나 자연 하천 데이터는 실험 수로 데이터와 함께 $τ_{*}$ 가 약 0.002~0.3의 구간에서 실험 수로와 중첩되지만 $τ_{*}$ -𝛷 관계의 분포에서 보이는 산포가 상대적으로 크다. 이는 두 데이터 세트에서 경험식의 정확도가 상이한 경향성을 나타내는 원인이 된다. 이러한 현상은 바닥 마찰 응력을 입력변수로 활용하는 소류사량 경험식 전반의 정확도를 저해하며, 이에 따라 특정 구간에서 무차원 소류사량의 최댓값과 최솟값이 100만 배까지 차이가 날 수 있음을 보여준다(Ancey and Pascal, 2020; Ancey and Recking, 2023).

동수반경법 기반의 바닥 마찰력 산정법의 개선 방안에 대해 검토하기 위해 Fig. 4에 자연 하천 데이터에서 하상경사에 따라 색을 달리한 산점도를 제시하였다. 비슷한 하상경사 범위 내 데이터끼리는 $τ_{*}$ -𝛷 관계가 국지적으로 양의 상관관계를 보이고, 하상경사가 커질수록 그 분포가 $τ_{*}$ 가 커지는 우측으로 이동한다. 이는 자연 하천에서 동수반경법을 보완할 때, 하상경사 반영이 유용한 방안이 될 수 있음을 시사한다.

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Fig. 4.

Scatter plots of the relationship between $τ_{*}$ and 𝛷 denoting data colors by $S_{0}$ in the field datase

자연 하천에서는 등류 조건을 만족하기 어려워(Kim et al., 2024) 바닥 마찰 응력 산정 자체가 까다롭고, 그 결과 마찰 응력과 소류사 이동 사이 상관성이 현저히 낮아진다(Hoan et al., 2011). 실제로 Yager et al. (2018)은 동수반경법이 다른 방법에 비해 바닥 마찰 응력을 두 배 이상 과대평가한다고 보고하였다. 이는 Fig. 1에서 자연 하천 데이터가 실험 수로 데이터보다 $τ_{*}$ 축 우측으로 크게 치우친 형태로 나타나는 점과도 일치한다.

위 논의 외에도, 이력효과(Noh et al., 2024b), 입자 형태(Deal et al., 2023), 입도 분포(Smart and Jaeggi, 1983; Recking, 2010; Ferguson, 2012) 등의 외부 요인이 바닥 마찰 응력과 소류사량 관계에 영향을 미쳐 데이터의 산개를 유발할 수 있다. 자연 하천에서는 소류사 채집 불확도 또한 $τ_{*}$ -𝛷 데이터의 산개에 기여한다. 소류사량 운동이 안정화된 정류 조건, 충분한 채집 시간(Ancey and Pascal, 2020), 일정한 유사 유입량, 공간적으로 균등한 이송량 등이 정확한 소류사량 계측의 필수 조건이지만, 홍수 상황에서는 부정류·부등류 조건이 동반되어 채집 시간이 길어져 불확도가 커진다(Ancey and Recking, 2023). 채집기 유형에 따라 소류사량 채집 결과가 2~3배 이상 차이날 수 있다는 보고도 있다(Bunte et al., 2008; Schwindt et al., 2023). 이러한 복합 요인이 자연 하천 데이터의 큰 산포를 유발하고, 결과적으로 기존 경험식들의 예측 정확도를 낮추는 주요 원인으로 지적된다.

5. 결론 및 향후 연구

본 연구에서는 실험 수로와 자연 하천에서 취득된 소류사량 메타데이터 특성을 분석하고, 기존에 제안된 소류사량 경험식들의 적용 가능성을 평가하였다. 실험 수로의 경우, 마찰 응력에 기반한 기존 경험식들의 IoA가 최소 0.66에서 최대 0.80 범위로 나타나 비교적 높은 설명력을 보였다. 반면 자연 하천에서는 경험식별 오차가 크게 증가하여 적용성이 제한적임을 확인하였는데, 이는 자연 하천의 수리 특성이 실험 수로보다 훨씬 복잡하고, 바닥 마찰 응력 산정에 따른 불확도가 높기 때문일 가능성을 시사한다.

정확도 지표 평가 결과, 한계 소류력을 명시적으로 설정한 경험식들은 한계 소류력보다 작은 영역( $τ_{*}$ <0.047 구간)에서도 소류사가 관측됨에도 불구하고 이를 0으로 처리함으로써 예측력이 저하되었다. 반면 하상경사나 비중을 고려하거나, $τ_{*}$ =0.047 범위별로 회귀계수를 조정하도록 설계된 경험식은 상대적으로 우수한 정확도를 보였다. 특히 du Boys형 경험식 중에서는 Recking (2013)이 IoA가 가장 높았지만, du Boys 계열 내에서도 정확도 차이가 크게 나타났다. 반면, Einstein 계열 경험식들은 전반적으로 안정적인 성능과 높은 IoA를 유지했다.

실험 수로 데이터는 낮은 소류력 구간에서 여러 갈래로 분기되는 경향이 드러나 $τ_{*}$ -𝛷 관계가 일대일 대응으로 정의되지 않음을 보여주었다. 자연 하천 데이터는 $τ_{*}$ -𝛷 분포에서 실험 수로보다 훨씬 큰 산포를 보이며, 이는 기존 소류사량 경험식을 적용하는 데 있어 주요 걸림돌로 작용한다. 관측값의 산개 현상은 결과적으로 경험식 정확도를 저하시키는 핵심 요인이다.

실험 수로와 자연 하천 모두에서 소류사량 산정 정확도를 향상하려면, 실험 수로뿐 아니라 복잡한 자연 하천 특성까지 통합적으로 반영하는 접근법의 개발이 필요하다. 이를 위해 다음과 같은 세부 방안을 제안한다.

첫째, 자연 하천 자료의 큰 산포는 바닥 마찰 응력 산정 불확도에서 비롯될 수 있다. 따라서 마찰 응력(Shields 수)을 대체할 수 있는 소류력 변수를 고려해 볼 수 있다. 예를 들어, 유속을 명시적으로 고려한 수류력 (Bagnold, 1966; Martin and Church, 2000), 입자 밀도 프루드수( $U / \sqrt{(G_{s} - 1) g d_{s}}$ ) (Shields, 1936; Aguirre-Pe et al., 2003; Ali and Dey, 2017; Noh et al., 2023a), 유속의 난류 변동 성분(Cheng et al., 2020) 등을 대체 변수로 검토할 수 있다.

둘째, Engelund and Hansen (1967) 식과 Recking (2013) 식과 같이 소류사 운동에 영향을 미치는 추가적인 설명변수를 도입할 시 경험식의 정확도가 향상될 수 있다. Ancey and Recking (2023)는 Martin and Church (2000)이 유속, 상대조도, 입자 레이놀즈수, 비중을 추가로 도입하여 제안한 무차원 수리변수 조합이 Shields 수보다 소류사 운동의 설명력이 높음을 보였다. 입자형태(Deal et al., 2023), 입도분포(Smart and Jaeggi, 1983; Recking, 2010; Ferguson, 2012), 하상경사에 의한 한계 소류력 변화(Lamb et al., 2008; Recking, 2009) 등도 큰 영향을 미치므로, 이들을 경험식에 포함하면 정확도를 높일 수 있다.

셋째, 소류사 운동 양상 변동을 반영할 필요가 있다. 본 연구에서 제시한 $τ_{*}$ -𝛷 관계 그래프(Fig. 1)에서 특정 구간에서 데이터 분포의 기울기 경향성이 달라지는 양상 변동이 발생한다. 실제로 경험식 정확도를 평가한 결과, $τ_{*}$ 구간에 범위별 계수를 달리 적용한 Recking (2013), Guo (2021) 식이 높은 정확도를 보였다. 따라서 새로운 산정식을 개발할 때는 이 같은 양상 변동을 반드시 고려해야 한다.

넷째, 자연 하천은 등류 조건이 성립하기 어려워 등류를 가정한 마찰 응력 산정법에서 발생하는 오차가 데이터 산포를 크게 유발할 수 있다. 이 문제를 완화하기 위한 효과적인 대안으로는 Lee et al. (2024)이 제안한 확률론적 보정 방법을 들 수 있다. 한편, Eq. (14)는 매끄러운 벽면을 갖춘 실험 수로에만 적용이 가능하고, 수심 대비 하폭비가 작은 경우에도 데이터의 산포를 야기하는 것으로 나타났다. 따라서 Maager et al. (2022)처럼 거친 벽 조건에도 적용 가능한 보정 방법이 개발된다면, 실험 수로와 자연 하천 간 소류력 차이를 줄이는 데 크게 기여할 것으로 기대된다.

이러한 연구 방향을 통해 소류사량 산정의 정확도를 높이고, 관련 요인을 체계적으로 파악한다면, 하천 관리·설계에 활용할 수 있는 신뢰도 높은 실무적 도구 개발에 중요한 기여를 할 수 있을 것으로 기대된다.

Acknowledgements

본 연구는 2024년도 환경부 재원으로 한국환경산업기술원의 지원을 받아 수행되었습니다(RS-2024-00397970, 초음파 및 광학기반 하천 유사량 연속 자동측정 기술 개발).

Conflicts of Interest

The authors declare no conflict of interest.

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Journal of Korea Water Resources Association ISSN:2799-8746(Print) 2799-8754(Online) 한국수자원학회 논문집

Preview

Assessment of bedload empirical equation applicability based on recent bedload meta-analysis data

ABSTRACT

MAIN

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

Table 1.

Tested bedload empirical equations in this study

Table 2.

Brief descriptions of the datasets from Ancey and Recking (2023) and Schwindt et al. (2023)

Table 3.

Summary of the flume dataset provided by Ancey and Recking (2023)

Table 4.

Summary of the natural rivers dataset and median features discussed in Schwindt et al. (2023)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

Table 5.

Estimation of performances of the bedload empirical equations

Fig. 1.

Fig. 2.

(18)

Fig. 3.

Scatter plot of the relationship between τ* and 𝛷 denoting data colors by b/h in the flume dataset

Fig. 4.

Scatter plots of the relationship between τ* and 𝛷 denoting data colors by S0 in the field datase

Acknowledgements

Conflicts of Interest

References

Scatter plot of the relationship between $τ_{*}$ and 𝛷 denoting data colors by $b / h$ in the flume dataset

Scatter plots of the relationship between $τ_{*}$ and 𝛷 denoting data colors by $S_{0}$ in the field datase