Numerical investigation of swash-swash interaction driven by double dam-break using OpenFOAM

Juhee Ok; Yeulwoo Kim; Delisle Marie-Pierre C.

doi:10.3741/JKWRA.2023.56.10.603

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Research Article

Journal of Korea Water Resources Association. 31 October 2023. 603-617
https://doi.org/10.3741/JKWRA.2023.56.10.603

Numerical investigation of swash-swash interaction driven by double dam-break using OpenFOAM

OpenFOAM을 활용한 포말대 이중 댐-붕괴 수치모형실험

Juhee Ok^a

Yeulwoo Kim^b^*

Delisle Marie-Pierre C.^c

옥 주희^a

김 열우^b^*

Marie-Pierre C. Delisle^c

^aMaster Student, Department of Civil Engineering, Pukyong National University, Busan, Korea

^bAssistant Professor, Department of Civil Engineering, Pukyong National University, Busan, Korea

^cPostdoctoral Scholar, Woods Hole Oceanographic Institution, MA, USA

^a부경대학교 토목공학과 석사과정

^b부경대학교 토목공학과 조교수

^cWoods Hole Oceanographic Institution 박사 후 연구원

^{*Corresponding Author}

ABSTRACT

This study aims to provide a better understanding of the turbulent flow characteristics in swash zone. A double dam-break method is employed to generate the swash zone flow. Comparing with the conventional single dam-break method, a delay between two gate opening can be controlled to reproduce various interactions between uprush and backwash. For numerical simulations, overInterDyMFoam based on OpenFOAM is adopted. Using overInterDyMFoam, interface between two immiscible fluids having different densities (i.e., air and water phases) can be tracked in a moving mesh with multiple layers. Two-dimensional Reynolds-Averaged Navier-Stokes equations are solved with a standard $k - ϵ$ turbulence model for momentum and continuity. Numerical model results are validated with laboratory experiment data for the time series of water depth and streamwise velocity. Turbulent kinetic energy distribution is further investigated to identify the turbulence evolution for each flow regime (i.e., uprush, backwash, and swash-swash interaction).

Keywords

Double dam-break

OpenFOAM

Overset mesh

Dynamic mesh

Swash-swash interaction

본 연구는 포말대 흐름의 난류특성에 대한 이해를 목표로 한다. 포말대 흐름을 재현하기 위해 이중 댐-붕괴 파랑생성법이 제시되었다. 기존 단일 댐-붕괴 실험과 비교하여 이중 댐-붕괴 실험은 두 개의 수문의 개방 시간을 조절하여 처오름과 처내림의 다양한 상호작용을 구현할 수 있다. 수치모형으로는 OpenFOAM의 overInterDyMFoam이 활용되었다. overInterDyMFoam은 밀도가 다른 두 유체(i.e., 공기, 물)의 경계면 추적기법과 동격자 및 중첩 격자 기법을 결합한 모형이다. 질량보존 및 운동량 방정식으로는 $k - ϵ$ 난류모형이 결합된 이차원 Reynolds-Averaged Navier-Stokes 모형이 채택되었다. 수치모형실험 결과는 수리모형실험의 수심 및 흐름 방향 유속 시계열과 비교하여 정확도가 검증되었다. 난류 운동 에너지 분포특성을 확인하여 각 흐름 단계(i.e., 처오름, 처내림, 흐름의 상호작용)의 난류 진화 특성을 고찰하였다.

키워드

이중 댐-붕괴

OpenFOAM

중첩 격자

동격자

처오름-처내림 상호작용

MAIN

1. 서 론
2. 이중 댐-붕괴 실험
2.1 수리모형실험
2.2 수치모형실험
3. 결 과
3.1 수문 동작 구현
3.2 수심 시계열 비교
3.3 유속 변동 시계열 비교
4. 난류 성분
5. 결 론

1. 서 론

포말대(swash zone)는 간헐적으로 파랑에 노출되는 해변으로 지속적인 처오름(uprush)과 처내림(backwash)으로 인해 복잡한 난류 흐름 특성을 지닌 지역이다(Masselink and Puleo, 2006; Chardón-Maldonado et al., 2016). 포말대에서는 강한 난류 흐름으로 인해 유체와 퇴적물의 활발한 상호작용이 발생하며 해안의 퇴적 및 침식을 야기시킨다(Butt and Russell, 2000; Puleo et al., 2000; Bae et al., 2022; Lee et al., 2022). 포말대의 흐름 특성으로는 상대적으로 수심이 얕고 불규칙한 난류 생성 기전으로 인해 흐름의 측정 및 예측이 어렵다(Longo et al., 2002; Raubenheimer et al., 2004; Puleo et al., 2007). 이런 어려움에도 불구하고, 포말대 지역의 흐름 특성 및 토사 이동의 메커니즘을 이해하기 위해 다양한 수리 및 수치 해석 연구가 수행되었다(e.g., Masselink and Hughes, 1998; Puleo et al., 2000; Son and Do, 2021; Hwang et al., 2022; Hai et al., 2022). Masselink and Hughes (1998)는 포말대 현장 관측에서 총 27개의 파랑에 대한 유속 및 퇴적물 이동량을 동시 측정하였다. 특히, 각 파랑의 처오름 및 처내림 단계에서 퇴적물 이동을 주도하는 물리적인 과정이 상이하다는 것을 밝혀내었다. Puleo et al. (2000)는 포말대에서 바닥 경계의 난류 에너지 소산이 퇴적물 수송에 영향을 미친다고 제안했다.

댐-붕괴(dam-break) 파랑 생성법은 포말대 흐름 연구에 빈번히 사용되고 있다(O’Donoghue et al., 2010; Kikkert et al., 2012; Pintado-Patiño et al., 2021). 댐-붕괴 파랑 생성법은 실험 수조 내에 격벽을 이용하여 물 기둥을 임시로 생성한 후 전면 격벽을 순간적으로 제거하여 파랑을 생성한다. 생성된 파랑은 자연 해변에서 관찰되는 파랑의 규모(유속 ~1 m/s)와 레이놀즈 수 등에서 유사하다는 장점이 있다(O’Donoghue et al., 2010; Kikkert et al., 2012). 또한, 실험의 재현이 비교적 간단하여 반복수행이 용이하고 앙상블-평균 결과를 취득 가능하다. 대표적으로, O’Donoghue et al. (2010)는 경사 해변에서 바닥 조도로 인한 난류 강도의 변화를 연구하였다. 최근, Pintado-Patiño et al. (2021)는 댐-붕괴로 인한 사면 흐름의 속도와 퇴적물 농도를 측정하여 포말대의 퇴적물 이동 과정을 추정하였다.

단일 댐-붕괴 실험은 포말대 사면 흐름의 특성을 파악하기 위해 광범위하게 수행되었으나 한 번의 처오름과 처내림만을 생성할 수 있다. 따라서 처오름과 처내림의 상호작용으로 발생하는 혼합 현상은 단일 댐-붕괴에서 재현하기 어렵다는 한계점이 있다. 따라서, 단일 댐 붕괴의 문제를 극복하기 위해 이중 댐-붕괴 실험이 제안되었다(Olney, 2022; Eley, 2022). 이중 댐-붕괴의 주요한 흐름 요소는 처오름, 처내림 그리고 두 흐름의 상호작용으로 구성된다. 처오름은 해변을 향해 빠른 속도로 밀려들어오는 흐름이며, 사면에서 중력과 마찰력에 의해 유속은 점차 감속하여 처내림으로 흐름의 방향이 변경된다. 두 흐름의 상호작용은 앞선 파랑의 처내림 기간 동안 후속 처오름의 도착 시간 및 속도에 따라 달라진다(Hughes and Moseley, 2007). 두 흐름 사이의 상호 비대칭성은 크게 세가지 단계로 분류할 수 있다(Cáceres and Alsina, 2012). 흐름 단계는 파동 포착(Wave-capture)과 약한 처내림-보어(Weak backwash-bore), 강한 처내림-보어(Strong backwash-bore)의 상호작용으로 구분한다. 파동 포착은 첫 번째 파랑의 처오름 기간 동안 두 번째 파랑이 도착하는 경우이다. 약한 처내림-보어의 상호작용은 기존 파랑의 처내림 단계에서 빠른 두 번째 흐름과 만나 충돌하는 경우이며 처내림의 운동량이 처오름 파랑보다 작을 때 발생한다. 마지막으로, 강한 처내림-보어의 상호작용 단계는 처오름보다 강한 처내림으로 도수와 유사한 특징이 나타난다(Puleo et al., 2000; Butt and Russell, 2005).

처오름과 처내림의 상호작용은 복잡한 난류 흐름을 야기한다. 이러한 난류 특성은 부유 퇴적물 거동에 있어 중요한 역할을 한다고 알려져 있다(Masselink and Hughes, 1998; Puleo et al., 2000; 2007). 처오름과 처내림, 상호작용 단계에서 퇴적물 수송에 영향을 주는 물리적인 요소는 다르게 나타난다. 처오름 주기 동안 퇴적물 수송은 바닥전단응력이 주도하며(Masselink et al., 2005), 처내림 기간 동안 바닥에서 생성된 난류는 퇴적물 이동에 영향을 미치는 요소 중 하나이다(Petti and Longo, 2001; Alsina and Cáceres, 2011; Alsina et al., 2018). 두 흐름의 상호작용은 경계층 난류 및 바닥전단응력을 증가시킨다(Puleo and Torres-Freyermuth, 2016). 따라서, 각 흐름 상황에 따른 난류 정량화 및 난류 운동 에너지(turbulent kinetic energy)의 분포 예측은 포말대 지역 토사 이동 이해에서 필수적이라 할 수 있다.

수치모형실험은 수리모형실험에서 획득할 수 없는 포말대 흐름의 난류 특성을 조사하기에 효과적이다(Kim et al., 2017). Reynolds-Averaged Navier-Stokes (RANS)는 유체 거동을 해석하는데 광범위하게 사용되는 수심해석 수치모형 중 하나로, 댐-붕괴 흐름과 같은 복잡한 유동 문제를 해결하는데 용이하다(Lin and Xu, 2005). Zhang and Liu (2008)는 단일 댐-붕괴 파랑에 대하여 비선형 $k - ϵ$ 와 결합된 RANS 모형을 사용하여 모의하였다. 포말대 근처에서 흐름 단계를 구분하여 난류 운동 에너지의 생산과 소멸을 조사하였으며, 포말대 근처 난류 운동 에너지의 생성 및 소멸은 전반적으로 균형을 이루는 것을 발견하였다. Desombre et al. (2013)는 수리모형실험의 결과와 비교하여 RANS 모형을 검증하였으며 처오름과 처내림 흐름 단계에 따른 난류 운동 에너지와 바닥 전단 응력을 높은 정확도로 예측하였다. Park et al. (2012)은 Volume of Fluid (VOF) 방법과 결합된 RANS 방정식을 활용하여 댐-붕괴 흐름의 기저 저항과 난류 발달을 효과적으로 모의하였다. 수치 모형을 사용한 포말대 연구의 발전에 대한 고찰은 Briganti et al. (2016)에 보다 자세히 서술 되어있다.

본 연구에서는 OpenFOAM의 overInterDyMFoam 수치모형을 사용하여 이중 댐-붕괴 파랑을 재현한다. 설치된 두 수문의 개방 움직임을 제어하여 처오름, 처내림, 흐름의 상호작용을 분석하였다. 사용된 수치모형에 대한 설명은 2장에 주어져 있다. 3장은 Olney (2022)의 실험 자료를 기반으로 한 수치모형 검증이며 4장은 난류 특성을 흐름 단계로 나누어 논의한다. 마지막으로 5장에서 주요 결론을 요약하였다.

2. 이중 댐-붕괴 실험

2.1 수리모형실험

이중 댐-붕괴 수리모형실험은 미국 델라웨어 대학(The University of Delaware) 응용 연안 연구 기관(Center for Applied Coastal Research)에서 수행되었다(Olney, 2022). 이중 댐-붕괴 실험은 흐름의 상호작용을 재현할 수 있고 반복수행이 용이함에 따라 앙상블-평균 결과를 취득할 수 있으며 일반적인 조파 방법에 비해 실제 현장 규모의 파랑을 생성할 수 있는 장점이 있다. 수리모형실험 수조의 축은 흐름 방향(x)과 연직 방향(z)로 정의하며 원점은 수조의 가장 좌측 하단 점을 기점으로 설정되었다(Fig. 1). 수조의 길이는 10.78 m, 깊이는 0.77 m, 그리고 수문의 두께는 7 mm이다. 사면은 고밀도 폴리에틸렌(high density polyethylene) 재질로 구성되었으며 x = 5.38 m, z = 0 m에서부터 x = 10.78 m, z = 0.78 m까지 1/7의 경사로 설치되었다. 수리모형실험 수조의 좌측 벽면에는 두 개의 수문이 설치되었으며, 처내림과 처오름의 다양한 상호작용을 조사하기 위해 각 수문의 개방 시간을 다르게 설정하여 실험하였다. 첫번째 수문은 x = 0.99 m에 위치하며 실험 시작(t = 0 s)과 동시에 개방된다. 두번째 수문은 x = 1.98 m에 위치하고 개방시간을 0초부터 3초까지 0.5초 간격으로 증가시켜 총 7가지 경우로 수행되었다. 수리모형실험의 수문은 각 수문 상단에 힘의 방향을 아래로 바꿔 주기 위한 닻을 고정하고 닻에 40 kg의 무게추가 연결되었다. 실험 시작과 동시에 무게추가 아래로 떨어지며 수문은 위로 빠르게 개방된다. 각 저수지에는 수심 0.60 m의 물 기둥이 저장되며, 수문부터 사면까지의 수심은 0.05 m로 설정되었다. 수리모형실험에서는 수심과 유속을 측정하기 위해 각각 Ultrasonic Distance Meter (UDM), Electro-Magnetic Current Meter (EMCM) 장비가 각각 사용되었다. 수조 전체에서 수심을 측정하기 위해 총 12개의 UDM 센서가 배치되었고 수평 점 유속은 EMCM 센서를 사용하여 경사 해변의 6개의 위치에서 측정되었다. EMCM 속도계는 바닥으로부터 3 cm 상단에서 흐름 방향 유속을 측정하며 Fig. 1에서 파란색 원으로 표시하였다. 원점을 기준으로 측정된 각 센서의 위치는 Table 1에 주어진다. Fig. 1과 Table 1에 사용된 S, V 표기는 각각 수심, 유속 측정장비를 의미한다. 모든 실험 케이스는 8초 동안 진행되었으며 10번 반복 실험 후 앙상블-평균한 측정값을 얻었다. 자세한 수리모형실험 장치 세부 사항 및 측정 자료 분석방법은 Olney (2022)에 설명되어 있다.

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Fig. 1.

A schematic of the flume based on the experimental setup

Table 1.

Station ID and sensor locations in the streamwise direction

Station ID	Sensor	x (m)
S#1	UDM	0.25
S#2		1.13
S#3		3.02
S#4		3.36
S#5		3.81
S#6		4.73
SV#7	UDM EMCM	5.25
SV#8		5.85
SV#9		6.25
SV#10		6.87
SV#11		7.76
SV#12		8.83

2.2 수치모형실험

본 연구에 사용된 수치모형은 전산유체동역학 도구 OpenFOAM의 overInterDyMFoam 모형을 사용하였다. overInterDyMFoam은 비혼합성 유체(물, 공기)의 수면 추적 방법인 interFoam (Klostermann et al., 2013)을 기반으로 하며 interFoam에 동적 격자 기법(dynamic mesh)과 중첩 격자 기법(overset mesh)이 결합한 모형이다.

2.2.1 지배방정식

비압축성 유체의 연속방정식과 운동량 보존을 설명하는 이차원 RANS 방정식은 다음과 같이 주어진다(Lin and Liu, 1998).

(1)

\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{i}} = 0,

(2)

\frac{\partial u_{i}}{\partial t} + u_{j} \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} = - \frac{1}{ρ} \frac{\partial p^{*}}{\partial x_{i}} + g_{i} + \frac{1}{ρ} \frac{\partial τ_{i j}}{\partial x_{j}} - \frac{\partial u_{i}^{'} u_{j}^{'}}{\partial x_{j}},

여기서, i, j=1,2는 각각 x와 z좌표 성분을 의미하며 y방향 요소는 고려되지 않았다. Eqs. (1) and (2)에서 u는 유속, 𝜌는 유체의 밀도, p^*= p‒𝜌gz 동적 압력, p는 전체 압력, g = 9.81 m/s²는 중력가속도, 𝜇는 동점성이다. 전단응력 $τ_{i j}$ 과 레이놀즈 응력 $u_{i}^{'} u_{j}^{'}$ 는 각각 Eqs. (3) and (4)에 주어진다.

(3)

τ_{i j} = μ (\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}) - \frac{2}{3} μ \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{i}} δ_{i j},

(4)

u_{i}^{'} u_{j}^{'} = - \frac{μ_{t}}{ρ} (\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}) + \frac{2}{3} k δ_{i j},

여기서, $μ_{t}$ 은 소용돌이 점성이며 난류 모형에 의해 계산된다(Shih et al., 1996; Lin and Liu, 1998). 본 연구에 사용된 표준 $k - ϵ$ 난류 모델(Launder and Spalding, 1974; Mohammadi et al., 1994)의 난류 운동 에너지와 소산율의 균형 방정식은 다음으로 정의된다.

(5)

\frac{\partial k}{\partial t} + u_{j} \frac{\partial k}{\partial x_{j}} = \frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial x_{j}} [(μ + \frac{μ_{t}}{σ_{k}}) \frac{\partial k}{\partial x_{j}}] + P_{k} - ρ ϵ,

(6)

\frac{\partial ϵ}{\partial t} + u_{j} \frac{\partial ϵ}{\partial x_{j}} = \frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial x_{j}} [(μ + \frac{μ_{t}}{σ_{ϵ}}) \frac{\partial ϵ}{\partial x_{j}}] + C_{1} \frac{ϵ}{k} P_{k} - C_{2} ρ \frac{ϵ^{2}}{k} .

위의 식에서 k는 난류 운동 에너지, 𝜖는 난류 에너지 소산율이다. P_k는 난류 생성항을 의미하며 $μ_{t}$ 는 다음의 식으로 정의된다.

(7)

μ_{t} = ρ C_{μ} \frac{k^{2}}{ϵ} .

이 외의 사용된 실험상수는 다음과 같다 $C_{μ}$ = 0.09, $C_{1}$ =1.44, $C_{2}$ =1.92, $σ_{k}$ =1.0, $σ_{ε}$ =1.3(Launder and Sharma, 1974; Lin and Liu, 1998).

공기와 물을 비용해성이라 가정하고 서로 다른 상태를 가진 이상 혼합 유체를 다루기 위해 VOF 방법(Hirt and Nichols, 1981)을 사용한다. VOF 방법을 사용하면 혼합 유체의 자유 경계면을 추적할 수 있다. 각 격자점의 부피 분율(𝛾)은 0부터 1사이의 값을 가지며, 𝛾가 0인 경우 해당 격자는 공기로 채워져 있고, 물로 가득 차 있는 격자의 𝛾는 1이 된다. 혼합 상태의 𝛾는 0과 1사이의 값으로 나타내며, 혼합 유체의 밀도 및 점성은 다음 식으로 정의된다.

(8)

ρ = γ ρ_{w a t e r} + (1 - γ) ρ_{a i r},

(9)

μ = γ μ_{w a t e r} + (1 - γ) μ_{a i r},

여기서, 𝜌는 혼합 밀도이고, 𝜇는 혼합 점성이다. 사용된 물과 공기의 밀도는 각각 𝜌_water= 1000 kg/m³과 𝜌_air= 1 kg/m³이며 점성은 𝜇_water= 1×10^-3kg/m ․ s, 𝜇_air= 1.48×10^-5 kg/m ․ s이다. 부피 분율 함수는 다음과 같은 수송 방정식으로 정의된다(Klostermann et al., 2013).

(10)

\frac{\partial γ}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} (γ u_{1}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} (γ (1 - γ) u_{r}) = 0,

여기서, u_r은 유체간 상대 속도이며 Eq. (10)의 마지막 항은 유체 경계면의 확산을 제어한다.

2.2.2 동적 및 중첩 격자 수치 기법

수치모형실험에서 수문의 움직임은 OpenFOAM 내의 동적 격자 기법을 사용하여 구현되었다. 동적 격자 기법은 격자 변형, 추가 및 제거 등을 가능하게 하여 다양한 수치 해석 문제를 해결하는데 유용하게 사용된다(Jasak and Tuković, 2010). 동적 격자 기법은 일반적으로 격자 변형(mesh morphing)과 중첩 격자 기법으로 구분된다. 격자 변형 기법은 지정된 경계가 이동하거나 변형되며 내부 격자가 보간 과정을 통해 재형성된다. 그러나 격자의 종횡비 비율이 과도하게 커지거나 격자의 왜곡 또는 비틀림에 의해 수치 해석 결과가 발산할 수 있다(Salehi and Nilsson, 2023). 이에 반해 중첩 격자 기법은 초기에 설정된 격자의 비율을 유지할 수 있으므로 진폭이 큰 동작을 모의하는데 유용하다(Windt et al., 2018, 2020; Chen et al., 2019).

중첩 격자 기법은 두 개 이상의 독립적인 격자계가 필요하며 배경과 중첩 격자계로 구성된다. 중첩 격자 기법에서 영역은 세 가지로 구성되며 앞서 2.2장에서 기술된 유동방정식이 적용되는 배경 계산 영역, 겹쳐진 격자 사이에 값을 보간하는 영역, 내부의 구조물 영역으로 구분된다. 중첩 격자계의 구조물 영역은 이동하는 물체의 경계로 구현되며 유체의 흐름 정보는 계산되지 않는다. 본 논문의 이중 댐-붕괴 실험에서는 두 개의 수문이 구조물 영역에 해당한다. 보간 영역은 수문을 둘러싼 동적 격자의 경계에 해당하며 격자 보간 방법을 통해 배경 계산영역과 겹쳐진 영역의 유동장 정보를 상호 교환한다(Chandar, 2019). 본 연구에서는 배경 격자계의 보간 영역 주변 격자와 중첩 격자계의 보간 영역 격자 사이의 역거리를 가중치로 계산하는 역거리 보간 체계를 사용하였다(Völkner et al., 2017). 수문을 포함한 동적 격자계의 움직임은 사전 정의된 시간에 따라 물체의 위치, 각도의 총 6가지 정보를 입력한 파일을 통해 운동을 제어한다. 수문 움직임의 정확한 구현은 3.1장에서 자세히 주어진다.

2.2.3 수치모형실험 초기 설정

수치모형실험에 사용된 격자 및 영역은 Fig. 2에 주어져 있다. Fig. 2(a)는 전체 수조의 격자 구성, Fig. 2(b)는 수문 근처의 중첩격자를 보여준다. 실험 수조의 경계에 맞추어 이차원으로 구성된 수치모형의 배경은 총 길이 10.78 m, 깊이는 1.12 m로 구성되었다. x축과 z축은 2.1장의 수리모형실험과 동일하게 설정되었다. 초기 상태에서 수문은 물 기둥이 중력에 의해 낙하되지 않도록 유지하는 역할을 한다. 사용된 격자크기는 𝛥x = 7 mm, 𝛥z = 7 mm로 설정되었으며, 총 배경영역 격자점 24만개, 수문 주위의 보간영역 격자점 2천개로 총 24.2만개의 격자점이 모의되었다.

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Fig. 2.

A numerical flume with (a) wide view of mesh and (b) zoomed in view of overset mesh near gates. For visibility, the mesh is down-sampled

상부 경계는 대기 경계 조건으로 설정되었으며, y방향 측면 경계는 빈 경계 조건이다. 상부와 측면을 제외한 모든 배경 격자의 경계는 벽 경계 조건이며, 수문 영역은 중첩 경계와 벽 경계 조건으로 구성되었다. 벽 경계 조건에서의 경계 평행방향 유속은 0으로 가정한다(no slip boundary condition). 본 연구에서 수조 바닥의 조도는 고려되지 않으며 매끄러운 경계로 간주한다. 경계에서의 wall-function은 Spalding 함수를 적용하였다. 수치모형실험의 첫 번째 시간 간격은 0.001초로 설정하였으며 자동 조정되는 시간 간격은 안정성을 위해 최대 Courant 수를 0.25로 제한하였다.

수리모형실험의 7가지 실험 중 본 연구에서는 두 가지 실험(CASE00과 CASE15)을 모의하였다. CASE00은 실험 시작과 동시에 두 수문이 개방되며(Fig. 3(a)) 단일 댐-붕괴와 유사한 유동 양상을 보인다. CASE15는 첫 번째 수문이 개방된 후 두 번째 수문의 개방까지 1.5초의 지체 시간을 가진다(Fig. 3(b)). 따라서, CASE15은 첫 번째 수문의 개방으로 인해 생성된 파랑의 처내림 동안 두 번째 수문의 개방으로 인해 생성된 파랑의 처오름이 접하게 되며 이로 인해 혼합현상 등의 상호작용이 발생한다.

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Fig. 3.

A sketch of reservoirs for (a) CASE00 and (b) CASE15, showing the positions of two gates at the t = 1.5 s

3. 결 과

3.1 수문 동작 구현

수문의 개방 속도는 댐-붕괴로 인한 흐름 전파에 영향을 미친다(Ye and Zhao, 2017). 본 연구에 적용된 수리모형실험과 동등한 조건에서 수문의 종말 최대속도(max (u₂_,g))는 약 2.5 m/s로 측정되었다(Pintado-Patiño et al., 2021). 정지 상태의 수문이 max (u₂_,g)에 도달하기까지의 과정을 정확히 모의하기 위해 본 연구에서는 최적의 수문 연직 가속도에 대한 검토를 진행하였다. CASE15을 대상으로 수문의 max (u₂_,g) 도달까지의 시간(𝛥t)를 0초, 0.6초, 1초, 1.4초, 1.8초의 다섯 가지 경우로 조절하였다(Fig. 4). 수치모형실험 결과는 정규화된 평균 제곱 오차(Normalized Root Mean Square Error, NRMSE)와 일치 지수(Index of Agreement, IA)를 사용하여 수리모형실험 결과와의 일치도를 평가하였다.

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Fig. 4.

Vertical velocity of (a) Gate 1 and (b) Gate 2 for CASE15. Dotted, dash-dotted, thin solid, thick solid, and dashed lines represent Δt = 0.0 s, (i.e., no acceleration), Δt = 0.6 s, Δt = 1.0 s, Δt = 1.4 s, Δt = 1.8 s, respectively

(11)

N R M S E = \frac{\sqrt{\frac{1}{m} \sum_{n = 1}^{m} (E_{n} - M_{n})^{2}}}{E_{m a x} - E_{m i n}},

(12)

I A = 1 - \frac{\sum_{n = 1}^{m} (M_{n} - E_{n})^{2}}{\sum_{n = 1}^{m} (| M_{n} - \bar{E} | + | E_{n} - \bar{E} |)^{2}},

여기서, 첨자 n는 시간 또는 공간을 나타내며, M는 수치모형실험 결과, E는 수리모형실험 결과 그리고 $\bar{E}$ 는 수리모형실험 결과의 산술평균이다. NRMSE는 0과 가까울수록 좋은 정확도를 나타내며, IA (Willmott, 1981)는 1과 가까울수록 잘 일치하고 0에 가까울수록 불일치한 것으로 판단한다.

최적의 𝛥t는 수문과 가까운 S#1과 S#2의 위치에서 CASE15의 수심(h)을 비교하여 결정하였다(Fig. 5). Figs. 5(a) and 5(b)에서는 대표적으로 𝛥t = 0와 𝛥t = 1.4 s의 수심 변동 시계열의 차이를 나타내었다. 등속 운동(𝛥t = 0)의 경우 h는 상대적으로 가파르게 감소하며 S#1과 S#2에서 일치도는 NRMSE = 12.85%, 12.06%, IA = 0.978, 0.963으로 계산된다. 최고 속도까지의 도달 시간이 1.4초(𝛥t = 1.4 s)인 경우 수리모형실험과 비교하여 가장 정확도가 높게 평가되었다(NRMSE = 2.51%, 4.40%; IA = 0.997, 0.996). 사용된 모든 𝛥t에 대한 S#1과 S#2의 평균 NRMSE와 IA는 각각 Figs. 5(c) and 5(d)에 주어진다.

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Fig. 5.

Time series of water depth at (a) S#1 and (b) S#2. For brevity, Δt = 0 s (black dotted curves) and Δt = 1.4 s (black solid curves) model results are compared with the measured data (Thick grey curves). For each Δt case, (c) NRMSE and (d) IA are a veraged over S#1 and S#2

3.2 수심 시계열 비교

수치모형의 검증을 위해 SV#8(사면 외해측)부터 SV#11(사면 내해측)까지 총 네 곳의 위치(x = 5.85,6.25,6.87,7.76 m)에서 수심(h) 변동 시계열을 수리모형실험 결과와 비교하였다(Fig. 6). 본 연구에서 CASE15의 경우 처오름의 강도가 CASE00에 비해 다소 감소하여 SV#12(x = 8.83 m) 위치에서는 수심과 유속 측정이 부정확하였다. 따라서 본 논문에서는 동일한 위치의 수심 및 유속 비교를 위해 SV#8-11의 결과만 수록되었다. 수리모형실험의 수심은 초음파 거리계인 UDM 센서를 사용하여 측정하였으며, 총 10번 반복 수행하여 얻은 앙상블-평균 값을 나타낸다(2.1장 참조). 수치모형실험의 수심은 레이놀즈-평균(즉, 앙상블-평균) 가정 값이며 수리모형실험과 동일한 센서 위치에서 𝛾와 연직방향 격자 크기(𝛥z = 7 mm)를 사용하여 다음과 같이 계산된다.

(13)

h (x, t) = \sum γ (x, t) \times ∆ z .

CASE00의 경우 SV#8-11에서 수치모형실험으로 예측된 h의 오차는 각각 NRMSE = 10.85%, 9.64%, 9.23%, 9.02% (IA = 0.979, 0.987, 0.988, 0.988)로 계산된다(Figs. 6(a1)~6(d1)). 처오름 과정에서 발생하는 최대 h은 SV#8에서 h = 0.27 m, t = 3.67 s, Fig. 6(a1))이며, 흐름의 진행과 함께 내해측으로 접근할수록 점차 감소하여 SV#11에서는 h = 0.10 m (t = 4.21 s, Fig. 6(d1))이다. CASE00은 두 수문이 동시에 열리는 경우로 하나의 처오름과 처내림 흐름을 생성하며 기존의 단일 댐-붕괴 메카니즘에 의해 생성된 파랑의 수면 변동 시계열(e.g., O’Donoghue et al., 2010)과 유사한 특성을 지니고 있다.

CASE15의 h는 첫 번째 수문 개방으로 인해 생성된 파랑의 접근과 함께 점진적으로 증가하며 이후 두 번째 수문 개방으로 인한 파랑의 도착과 함께 급격하게 재상승하는 특성을 지니고 있다(Figs. 6(a2)~6(d2)). SV#8-11에서 수리모형실험 및 수치모형실험의 수심 비교 결과는 각각 NRMSE = 9.38%, 7.82%, 7.38%, 8.08% (IA = 0.974, 0.964, 0.974, 0.985)이다. 수치모형실험에서 예측된 최대 h는 SV#8 (Fig. 6(a2))에서 0.36 m이며 CASE00의 최대 h보다 33.3% 크게 나타난다. S#1부터 SV#12까지 h이 측정된 모든 위치의 정확도 평균 결과는 CASE00의 경우 NRMSE = 12.70% (IA = 0.958), CASE15는 NRMSE = 13.19% (IA = 0.949)으로 계산되며 두 가지 경우 모두 수치모형실험을 이용한 h의 예측이 만족스럽게 이루어진 것을 볼 수 있다.

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Fig. 6.

Time series of water depth at (a) SV#8, (b) SV#9, (c) SV#10, and (d) SV#11 for CASE00 (a1 ‒ d1) and CASE15 (a2 ‒ d2). Thick grey and thin black curves represent measured data and model results, respectively

3.3 유속 변동 시계열 비교

본 장에서는 흐름 진행 방향 유속(u₁)에 대한 해석을 수행한다. 흐름의 부호는 사면 내측으로 들어오는 처오름일 때 양의 값(+), 외측으로 빠져나가는 처내림은 음의 값(‒)으로 정의된다. 따라서, 처오름과 및 처내림은 각각 양과 음의 값으로 구분된다. 수리모형실험의 u₁는 패러데이의 유도 법칙에 기반한 EMCM 센서를 이용하여 바닥 3 cm 상단 흐름의 속도를 측정하였으며, 수심과 마찬가지로 앙상블-평균 되었다(2.1장 참조). 같은 위치에서 수치모형실험의 u₁결과는 경사면에서 공기 혼합으로 인한 불확실성을 최소화하기 위해 각 격자점의 𝛾가 0.99 미만인 경우는 0으로 처리한다.

CASE00, CASE15 모두 SV#8-11에서 수치모형실험의 정확도 평가가 이루어졌다(Fig. 7). CASE00의 경우 수치모형실험의 결과는 수리모형실험의 u₁과 전반적으로 유사하게 모의되었다(전구간-평균 NRMSE = 4.37%, IA = 0.994). 파랑이 경사면에 도착함과 동시에 u₁은 급격하게 증가하며, 대략 4.5초에서 u₁의 부호가 양에서 음으로 전환되며 흐름의 방향이 반전된다(Fig. 7(d1)). 처오름 주기 동안 최대 u₁은 SV#9의 t = 1.94 s에서 3.15 m/s이며(Fig. 7(b1)), 처내림 주기 동안 최소 u₁은 –2.55 m/s (SV#8, t = 7.21 s)이다(Fig. 7(a1)).

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Fig. 7.

Time series of streamwise velocity at (a) SV#8, (b) SV#9, (c) SV#10, and (d) SV#11 for CASE00 (a1 ‒ d1) and CASE15 (a2 ‒ d2). The vertical location is 3 cm above the bottom. Thick grey and thin black curves represent measured data and model results, respectively

CASE15의 경우 모든 EMCM 센서 위치(SV#8-11)에서 두 번째 파랑의 도착으로 인한 u₁의 약한 재증가가 관찰된다(Figs. 7(a2)~7(d2)). SV#8-10에서 계산된 NRMSE (4.05%, 5.58%, 5.99%)와 IA (0.994, 0.987, 0.981)를 고려하면 해당 위치에서 u₁는 비교적 잘 예측된 것으로 판단되지만, SV#11의 오차는 NRMSE = 19.19%, IA = 0.879으로 나타난다(Fig. 7(d2)). 이는 SV#11에서 수리모형실험 결과가 0에 접근함으로 인해 발생하였다. 처오름 기간 동안 발생한 CASE15의 최대 u₁은 SV#9의 t = 1.73 s에서 3.13 m/s이며(Fig. 7(b2)), CASE00의 최대 u₁와 유사하다(Fig. 7(b1)). 두 번째 처오름 흐름으로 인한 최대 u₁은 0.54 m/s이다(Fig. 7(b2)). 처내림 기간 동안 최소 u₁은 -1.76 m/s (SV#9, t = 7.87 s)이며 CASE00의 최소 u₁에 비해 강도가 낮다. CASE15의 u₁은 첫 파랑의 처내림 기간에 두 번째 수문의 개방으로 인한 두 번째 처오름 흐름의 혼합이 발생하여 다시 증가 추세를 보인다. 이러한 흐름 특성을 가진 상호작용은 약한 처내림과 보어 또는 연속적인 처오름에 해당한다.

본 연구의 수치모형 경계처리과정에서 수조 바닥의 조도는 0이라고 간주하였다. 실제 수조의 경우 매끄러운 표면이라 할지라도 약간의 바닥 거칠기가 존재할 수 있으므로 바닥 마찰력으로 인한 저항이 과소 구현될 수 있다. 이는 수치모형실험의 오차 발생 원인 중 하나로 예상된다.

4. 난류 성분

난류 운동 에너지의 진화 과정에 대한 이해는 흐름의 난류 특성을 파악하기 위해 필수적이다. 본 연구에서는 이중 댐-붕괴로 인해 생성된 파랑의 처오름, 처내림 및 두 흐름의 상호작용에 해당하는 k의 분포를 조사하였으며 3장과 동일하게 각 격자점에서 𝛾이 0.99 이하인 값은 제거되었다.

처오름 과정에서 최대 k는 첫 번째 흐름이 경사면에 도착할 때 자유 표면 근처에서 나타난다(CASE00: k = 1.06 m²/s², t = 1.79 s; CASE15: k = 0.67 m²/s², t = 1.36 s). 처오름 과정에서 발생하는 최대 k와 연관된 흐름 특성으로는 수심이 매우 얕고, 난류 구조가 불규칙한 특징을 지니고 있다. 동일한 시간대(t = 2.40 s)에서 k의 공간분포 비교는 Fig. 8에 나타나 있다. Fig. 8에서 검은색 외곽선은 바닥으로부터 최대 5 cm까지의 경계를 나타낸다. 해당 그림에서 CASE00의 최대 k는 0.19 m²/s²이며 CASE15는 0.14 m²/s²이다(Fig. 8).

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Fig. 8.

The x ‒ z plane snapshots of k (m²/s²) during uprush (t = 2.40 s) for (a) CASE00 and (b) CASE15. The black outlines show the boundaries of maximum 5 cm from the sloping bottom

처내림 과정에서 CASE00의 최대 k는 2.71 m²/s²(t = 7.6 s)이며 CASE15의 경우 본 연구의 수치 해석 시간(0~8초)동안 k는 지속적인 증가 추세에 있다. CASE00과 CASE15의 k 공간분포는 동일 시간 t = 6.80 s에서 비교되었다(Fig. 9). 전반적으로 CASE00의 처내림 기간 동안 경계층(~5 cm)과 자유수면 근처에서 높은 k가 관찰된다(최대 k = 0.30 m²/s², t = 6.80 s). CASE15의 k는 CASE00 보다 낮은 값으로 예측된다.

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Fig. 9.

The x ‒ z plane snapshots of k (m²/s²) during backwash (t = 6.80 s) for (a) CASE00 and (b) CASE15. The black outlines show the boundaries of maximum 5 cm from the sloping bottom

추가적으로, 포말대 전체의 난류 운동을 조사하기 위해 경사면(x = 5.38 ~ 10.78 m) 바닥으로부터 5 cm까지의 x-z 공간-평균 난류 운동 에너지(< k >) 시계열을 분석하였다(Fig. 10). CASE00과 CASE15의 처오름 동안 최대 < k > 는 각각 0.22 m²/s²와 0.18 m²/s²으로 유사한 값을 가진다. CASE00의 < k >는 처내림 과정에서 급격하게 증가한다(0.41 m²/s²). CASE15의 경우 흐름의 상호작용으로 인해 t = 5.40 s에서 < k >가 0.08 m²/s²까지 증가하며 t = 6.12 s까지 점진적으로 감소하였다가 다시 증가한다. 일반적으로 포말대 흐름의 난류 운동 에너지는 처내림보다 처오름에서 높게 나타난다고 알려져있다(Petti and Longo, 2001; Butt et al., 2004). 하지만 CASE00의 경우에서는 처내림 동안 처오름보다 1.98배 높은 < k >를 가진다. 처내림 동안 발생한 강한 < k >는 가파른 해변에서 발생하는 도수(hydraulic jump) 현상으로 연관지어 설명할 수 있다.

도수 현상은 흐름의 급격한 상태 변화로 발생하며 불규칙한 난류 흐름을 생성한다. 이러한 도수 현상의 발생 가능성은 Froude 수(F_r)에 따라 분류할 수 있다. F_r은 아래와 같이 정의된다.

(14)

F_{r} = \frac{| U |}{\sqrt{g h}},

여기서, |U |은 연직 평균 수평 유속을 나타낸다. 도수 현상 발생 유무를 판단하기 위해 처내림 주기 동안 SV#7과 SV#8에서 CASE00, CASE15의 |U |, h 및 F_r을 비교하였다(Fig. 11). 두 실험 모두 SV#7에서는 도수 현상이 발생할 조건(i.e., F_r< 1)이 충분하지 않다(Figs. 11(a1)~11(c1)). 하지만, SV#8에서 CASE 00의 F_r가 임계 값 1을 초과함이 관측되었다(Fig. 11(c2)). CASE00의 처내림 기간 동안 최대 F_r는 7.94로(t = 7.71 s) 계산되었으며 최대 < k >가 발생하는 시간(t = 7.59 s)과 인접하여 있다(Fig. 10). 반면에 CASE15의 F_r의 임계 값 초과는 t = 7.79 s에서 발생하였으며 도수 현상의 영향은 상대적으로 미미하다고 볼 수 있다. 문헌에 따르면, 높은 F_r으로 인한 도수 현상은 가파른 해변에서 발생할 가능성이 크다(Dai et al., 2017; Deng et al., 2022). Butt and Russell (2005)의 관측된 자료에 의하면 도수 현상을 포함하는 처내림 흐름은 많은 부유 퇴적물을 운반할 수 있으며 도수가 발생하였을 때 완전한 난류 흐름을 갖는다.

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Fig. 10.

Time series of spatially averaged < k > (m²/s²) in swash zone for CASE00 (blue curve) and CASE15 (red curve)

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Fig. 11.

Time series of (a) h (m) (b) |U | (m/s) and (c) F_r at SV#7 (a1 ‒ c1) and SV#8 (a2 ‒ c2). Solid blue, solid red curves represent CASE00, CASE15, respectively. Dashed lines in (c1 ‒ c2) show F_r = 1

CASE15는 흐름간의 상호 작용이 발생한다. CASE15의 처오름과 처내림의 상호작용 과정 동안 k의 분포 변화는 Fig. 12에서 나타난다. 첫 번째 파랑의 처내림 기간 동안 두 번째 수문 개방으로 인한 파랑이 도착하여 4~4.8초 사이에 두 흐름이 혼합된다. 처내림과 처오름의 혼합으로 인해 생성된 k는 바닥으로 접근하여 바닥면 근처의 난류 운동을 증가시킨다. 최대 k는 t = 4.66 s의 자유 표면에서 1.62 m²/s²이며(Fig. 12(a)), t = 5.40 s 에서 1.42 m²/s²이다(Fig. 12(b)). 바닥 근처의 최대 < k >는 t = 4.66 s에서 0.05 m²/s²이며, t = 5.40 s에서 0.08 m²/s²이다.

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Fig. 12.

The x ‒ z plane snapshots of k (m²/s²) at (a) t = 4.66 s, (b) t = 5.40 s due to swash-swash interaction for CASE15. Velocity vectors (u₁, u₂) are also shown

댐-붕괴로 인해 생성되는 파랑은 즉시 완전발달 난류의 특성을 가지게 되므로 본 연구에서 사용된 $k - ϵ$ 난류 모형의 채택은 적절하다고 볼 수 있다. 하지만 경계층 주변의 흐름 모의에 적합한 $k - ω$ 난류 모형 또는 $k - ω$ shear stress transport 모형 과의 성능 비교 과정이 후속 연구에 필수적으로 이루어져야 한다. 또한, RANS 모형은 순간적인 난류 생성과 소멸 간의 불균형 현상을 모의하지 못하므로 충분한 전산처리기술의 발전이 도모된다면, large eddy simulation의 적용도 고려 대상이다.

5. 결 론

본 연구는 이중 댐-붕괴로 인한 포말대에서 파랑 흐름에 대한 난류 흐름의 특성을 조사하기 위해 이차원 RANS의 $k - ϵ$ 난류 모형을 활용하여 수치 해석을 수행하였다. 이중 댐-붕괴 실험을 구현하기 위하여 OpenFOAM의 overInterDyMFoam 수치모형을 사용하였다. overInterDyMFoam은 VOF 기법에 기반하여 자유 표면이 있는 유체 흐름을 동격자 및 중첩 격자에서 모의할 수 있다. 이중 댐-붕괴 실험은 두 개의 수문의 개방 시간을 다르게 설정하여 처오름, 처내림 그리고 두 흐름의 상호작용을 조절한다. 본 연구에서는 수리모형실험 결과 중 두 번째 수문의 개방 지체 시간을 0초와 1.5초로 설정한 CASE00과 CASE15가 모의되었다. 수치모형실험의 배경 격자는 수리모형실험 수조의 경계에 맞추어 이차원으로 구성되었으며 두 개의 수문 주위의 격자는 중첩 격자 기법이 적용되었다.

수치 모형의 정확도는 Olney (2022)의 수리모형실험의 결과를 바탕으로 검증되었다. 첫째로, 댐-붕괴 파랑의 전파에 수문의 개방 속도가 끼치는 영향을 검토하였다. 수문의 연직 방향 움직임이 최대 속도까지 도달하는 시간을 다섯가지 경우로 분류하였으며, 수리모형실험 결과와 비교하여 가장 정확도가 높은 최적의 가속도가 적용되었다. SV#8-11에서 수심 변동 시계열의 경우 수리모형실험과 수치모형실험의 결과 사이의 오차가 각각 NRMSE < 10.85%, IA > 0.979(CASE00), NRMSE < 9.38%, IA > 0.964(CASE15)으로 계산되었다. 흐름방향 유속 시계열의 경우 CASE00과 CASE15의 최대 NRMSE와 최소 IA는 5.37%(0.991), 19.19%(0.879)로 계산되었다. 따라서, 수치모형실험을 이용한 수심과 유속의 예측은 전반적으로 잘 이루어진 것으로 판단된다.

포말대 흐름의 난류 흐름 특성을 파악하기 위해 난류 운동 에너지를 분석하였다. 처오름 과정 동안 예측된 CASE00과 CASE15의 최대 k는 파랑이 경사면에 도착하였을 때 발생하며, 두 실험의 < k >는 유사한 값을 나타낸다. CASE00의 처내림 과정 동안 최대 < k >는 CASE15에 비해 매우 높은 값으로 예측된다. 이는 CASE00에서 처내림 기간 동안 발생하는 도수 현상의 영향으로 예상된다. CASE15의 경우 반대 방향 흐름의 상호작용으로 인한 k의 상승이 나타난다. 본 연구를 통해 이중 댐-붕괴 흐름 단계(처오름, 처내림, 흐름의 상호작용)에 따라 난류 운동 에너지의 공간 분포는 상이하다는 것을 확인하였다.

Acknowledgements

본 연구는 한국해양과학기술원 기관목적사업 “해양에너지지 및 항만·해양구조물 고도화 기술개발(PEA0131)” 과제, 2021년도 정부(교육부) 재원 한국연구재단 기초연구사업(NRF-2021R1F1A 1062223), 2021학년도 부경대학교의 지원(CD20210991)을 받아 수행되었습니다.

Conflicts of Interest

The authors declare no conflict of interest.

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Journal of Korea Water Resources AssociationISSN:2799-8746(Print) 2799-8754(Online)한국수자원학회

Preview

Numerical investigation of swash-swash interaction driven by double dam-break using OpenFOAM

ABSTRACT

MAIN

Fig. 1.

A schematic of the flume based on the experimental setup

Table 1.

Station ID and sensor locations in the streamwise direction

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Fig. 2.

A numerical flume with (a) wide view of mesh and (b) zoomed in view of overset mesh near gates. For visibility, the mesh is down-sampled

Fig. 3.

A sketch of reservoirs for (a) CASE00 and (b) CASE15, showing the positions of two gates at the t = 1.5 s

Fig. 4.

Vertical velocity of (a) Gate 1 and (b) Gate 2 for CASE15. Dotted, dash-dotted, thin solid, thick solid, and dashed lines represent Δt = 0.0 s, (i.e., no acceleration), Δt = 0.6 s, Δt = 1.0 s, Δt = 1.4 s, Δt = 1.8 s, respectively

(11)

(12)

Fig. 5.

Time series of water depth at (a) S#1 and (b) S#2. For brevity, Δt = 0 s (black dotted curves) and Δt = 1.4 s (black solid curves) model results are compared with the measured data (Thick grey curves). For each Δt case, (c) NRMSE and (d) IA are a veraged over S#1 and S#2

(13)

Fig. 6.

Time series of water depth at (a) SV#8, (b) SV#9, (c) SV#10, and (d) SV#11 for CASE00 (a1 ‒ d1) and CASE15 (a2 ‒ d2). Thick grey and thin black curves represent measured data and model results, respectively

Fig. 7.

Time series of streamwise velocity at (a) SV#8, (b) SV#9, (c) SV#10, and (d) SV#11 for CASE00 (a1 ‒ d1) and CASE15 (a2 ‒ d2). The vertical location is 3 cm above the bottom. Thick grey and thin black curves represent measured data and model results, respectively

Fig. 8.

The x ‒ z plane snapshots of k (m2/s2) during uprush (t = 2.40 s) for (a) CASE00 and (b) CASE15. The black outlines show the boundaries of maximum 5 cm from the sloping bottom

Fig. 9.

The x ‒ z plane snapshots of k (m2/s2) during backwash (t = 6.80 s) for (a) CASE00 and (b) CASE15. The black outlines show the boundaries of maximum 5 cm from the sloping bottom

(14)

Fig. 10.

Time series of spatially averaged < k > (m2/s2) in swash zone for CASE00 (blue curve) and CASE15 (red curve)

Fig. 11.

Time series of (a) h (m) (b) |U | (m/s) and (c) Fr at SV#7 (a1 ‒ c1) and SV#8 (a2 ‒ c2). Solid blue, solid red curves represent CASE00, CASE15, respectively. Dashed lines in (c1 ‒ c2) show Fr = 1

Fig. 12.

The x ‒ z plane snapshots of k (m2/s2) at (a) t = 4.66 s, (b) t = 5.40 s due to swash-swash interaction for CASE15. Velocity vectors (u1, u2) are also shown

Acknowledgements

Conflicts of Interest

References

The x ‒ z plane snapshots of k (m²/s²) during uprush (t = 2.40 s) for (a) CASE00 and (b) CASE15. The black outlines show the boundaries of maximum 5 cm from the sloping bottom

The x ‒ z plane snapshots of k (m²/s²) during backwash (t = 6.80 s) for (a) CASE00 and (b) CASE15. The black outlines show the boundaries of maximum 5 cm from the sloping bottom

Time series of spatially averaged < k > (m²/s²) in swash zone for CASE00 (blue curve) and CASE15 (red curve)

Time series of (a) h (m) (b) |U | (m/s) and (c) F_r at SV#7 (a1 ‒ c1) and SV#8 (a2 ‒ c2). Solid blue, solid red curves represent CASE00, CASE15, respectively. Dashed lines in (c1 ‒ c2) show F_r = 1

The x ‒ z plane snapshots of k (m²/s²) at (a) t = 4.66 s, (b) t = 5.40 s due to swash-swash interaction for CASE15. Velocity vectors (u₁, u₂) are also shown