Study on the improvement for envelopment curve of probable maximum precipitation

Yoohyun Beck; Jaehyun Ahn; Hyonkook Cho

doi:10.3741/JKWRA.2024.57.10.725

Preview

Research Article

Journal of Korea Water Resources Association. 31 October 2024. 725-739
https://doi.org/10.3741/JKWRA.2024.57.10.725

Study on the improvement for envelopment curve of probable maximum precipitation

가능최대강수량 포락곡선 개선방안 연구

Yoohyun Beck^a

Jaehyun Ahn^b^*

Hyonkook Cho^c

백 유현^a

안 재현^b^*

조 현국^c

^aDoctoral Student, Department of Urban Infrastructure and Disaster Prevention Engineering, Seokyeong University, Seoul, Korea

^bProfessor, Department of Civil and Architectural Engineering, Seokyeong University, Seoul, Korea

^cDoctoral Student, Department of Civil Engineering, Kyungpook National University, Daegu, Korea

^a서경대학교 대학원 도시기반방재안전공학과 박사과정

^b서경대학교 이공대학 토목건축공학과 교수

^c경북대학교 대학원 토목공학과 박사과정

^{*Corresponding Author}

License (open-access, https://creativecommons.org/licenses/by/4.0):

©It is identical to the Creative Commons Attribution Non-commercial License (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0)

ABSTRACT

In Korea, the national PMP map is used to calculate the Probable Maximum Precipitation (PMP) but the intercept adjustments are necessary to obtain uniform PMP envelopment results. The Box-Cox and cubic Spline methods to get the PMP envelopment modeling were proposed by the past studies.. However there has been no significant progress in the study of PMP envelopment modeling since then. This study, which focused on the last step of PMP estimation process in Korea, used the Monotone Cubic Spline (MCS) and compared with existing methods. As a result, the intercept adjustments involving the engineer's subjectivity were necessary to obtain smooth envelopment curves in case of using the existing method such as the cubic spline. However, a smooth envelopment curves were obtained without intercept adjustment in case of using MCS method. Therefore, using the MCS method for dam-related new projects can get smooth and consistent envelopment results without intercept adjustment for PMP calculation in Korea.

Keywords

Probable maximum precipitation

Envelopment

Intercept adjustment

Cubic spline

Monotone cubic spline

Leverage point

국내에서는 PMP 산정시 전국 PMP도를 독치법을 이용하고 있으며, 임의 절편조정을 통해 균일한 포락결과를 얻고 있다. 기존 연구에서는 임의성 배제 및 균일하고 객관적인 포락결과를 얻기 위한 방법으로 Box-Cox와 3차 Spline 방법을 제시했으나 이후 PMP 포락 모형화에 대한 연구에 큰 진전이 없었다. 본 연구에서는 국내 PMP 산정 과정 중 마지막 단계인 포락 모형화 방법으로 단조 3차 스플라인(Monotone Cubic Spline, MCS)을 적용했으며, 기존의 포락 모형화 방법과 비교·검토했다. 그 결과 기존 방법을 이용할 때는 균일한 포락결과를 얻기 위해 엔지니어의 주관성이 반영된 절편조정이 필요했으나, MCS 방법을 이용한 경우에는 별도의 절편조정 없이도 균일하고 객관성있는 결과를 얻을 수 있다. 따라서 향후 댐 관련 사업 시 MCS 방법을 이용한다면 절편조정 없이도 균일하고 객관성 있는 포락 결과를 얻을 수 있다고 판단된다.

키워드

가능최대강수량

포락

절편조정

3차 스플라인

단조 3차 스플라인

지레점

MAIN

1. 서 론
2. 기존의 포락방법
2.1 포락 필요성
2.2 포락 절차
2.3 기존 포락방법 및 한계점
3. PMP 포락 개선방안
3.1 단조 3차 스플라인(Monotone Cubic Spline)의 배경 및 이론
3.2 단조 3차 스플라인의 포락성 검토
3.3 선행 연구 결과와의 비교·검토
4. 결 론

1. 서 론

세계기상기구(WMO, 1973)에 따르면 가능최대강수량(Probable Maximum Precipitation, 이하 PMP)이란 “주어진 지속시간 동안 어느 특정 위치에 주어진 유역면적에 대하여 연중 어느 지정된 기간에 물리적으로 발생할 수 있는 이론적 최대 강수량”이며, 포락은 “모든 데이터 세트에서 가장 큰 값을 선택하는 프로세스로 PMP를 추정할 때 최대화 및 전이된 강수량 데이터를 그래프에 도시화하는 과정에서 가장 큰 값을 통해 부드러운 곡선을 그리는 것”으로 정의된다.

가능최대강수량 산정 방법에는 대기 중 수분함량을 고려하여 산정하는 수문기상학적 방법(Hydro Meteorological Method), 기왕 최대강우량을 이용하여 경험적으로 추정하는 포락곡선 방법(Maximum Rainfall Envelope Curve Method) 및 과거 호우자료를 빈도분석하여 추정하는 통계학적 방법(Statistical Method) 등이 있다.

미국은 국립해양대기청(NOAA)이 하와이섬 PMP도(NOAA, 1963)와 캘리포니아주 PMP도(NOAA, 1999) 등을 제시했으며, 뉴욕은 WMO (1986)를 이용하여 PMP 산정결과를 제시한 바 있다. 한편 최근 기후 변화로 인한 강수 패턴이 변화하고 이를 반영한 PMP 산정방법이 중요해 지면서 국립과학원(NA, 2024)에서는 최근 가능최대강수량의 현대화 방안에 대해 발표했다. 국내에서 PMP도 작성 및 산정 기준이나 절차에 관련된 연구는 KICT (1987), MCT (2000, 2004), KDI (2007) 및 MLTMA (2008) 등이 있으며, 기타 PMP 관련 연구 사례를 살펴보면 다음과 같다.

Park et al. (2013)은 기후변화 시나리오 RCP 8.5를 이용하여 가능최대강수량 변화를 예측했으며, Sim et al. (2015)는 기후변화 시나리오 RCP 2.6/4.5/6.0/8.5를 이용하여 통계학적인 방법으로 가능최대강수량을 산정했다. 그리고 Kim et al. (2016)은 시공간적 특성을 고려하여 유역규모별 PMP 산정방법을 제안했고, Sim et al. (2019)는 통계학적 방법과 수문기상학적 방법에 따른 가능최대강수량 재현기간을 추정했다.

국외 PMP 관련 보고서(NOAA, 1982; IH, 1999; BM, 2003; WMO, 2009)에서는 PMP도는 수문기상학적 방법에 따라 이미 포락이 있기에, PMP 독치 후 별도의 포락 과정을 적용하지 않는다. 그러나 국내에서는 MLTMA (2008)에 따라 전국 PMP도(MCT, 2004) 독치 후 강우지속기간과 유역면적의 연속성 및 일관성 확보를 위해 포락 모형화라는 이중 포락 과정을 수행하며(Fig. 1), 이는 우리나라가 유일하다.

https://cdn.apub.kr/journalsite/sites/kwra/2024-057-10/N0200571007/images/kwra_57_10_07_F1.jpg

Fig. 1.

The PMP estimation procedure in Korea

국내 PMP 포락 모형화와 관련하여, KDI (2007)는 임의성을 배제하고 일관성 있는 포락 모형화 수행을 위해 Box-Cox 변환방법을 제시했으며, MLTMA (2008)는 3차 스플라인(Cubic Spline, 이하 CS) 방법을 소개했다. 그러나, 실무에서는 여전히 엔지니어의 주관성이 반영된 시행착오법이 채택하고 있다.

본 연구는 국내 PMP 산정과정(Fig. 1) 중 마지막 단계인 포락 균일화 및 선형화 과정 단계에 새로운 포락방법으로 단조 3차 스플라인(Monotone Cubic Spline, 이하 MCS) 방법을 적용하고, 기존에 제시된 포락방법들과 비교·분석했다.

2. 기존의 포락방법

2.1 포락 필요성

PMP 포락은 일반적으로 PMP도를 작성하는 과정에서 수분최대화와 전이 과정 이후에 지속기간별 및 면적별로 얻어진 값을 비교해서 이루어진다. 이 과정에서 특정 지속기간이나 특정 면적에서는 상당히 큰 값인데 다른 지속기간이나 면적에서는 작아지는 경우, 지속기간별, 면적별 강우특성을 반영하는 매끄러운 곡선 형태를 갖추기 위해 포락이라는 과정이 필요하다(MLTMA, 2008).

국내의 경우 전국 PMP도(MCT, 2004) 독치값을 도시화하면 DAD 관계곡선이 매끄러운 결과를 보여주지 못하며, 이는 해당 PMP도 작성 시 적절한 포락과정이 반영되지 않기 때문이다(MLTMA, 2008). 따라서 이와 같은 문제를 해결하고 포락의 균일성 및 객관성을 확보하기 위해 KDI (2007)와 MLTMA (2008)에서는 독치 후 포락이라는 이중포락 방법을 제시했다.

2.2 포락 절차

MCT (2004)는 PMP도 독치 후 강우깊이-지속기간 포락 시 전대수지(log-log paper)를, 강우깊이-면적에 대해서는 반대수지(semi-log paper)를 이용하여 교차적으로 포락하면서 확인하도록 하는 절차를 제시했으며, MLTMA (2008)에서는 ‘면적별 강우깊이-지속기간의 포락 및 균일화’ 및 ‘지속기간별 강우깊이-면적의 포락 및 균일화’에 대한 절차를 자세히 제시했다.

2.3 기존 포락방법 및 한계점

2.3.1 Box-Cox

Box-Cox 방법은 KDI (2007)에서 국내 PMP 포락을 위해 처음 제시했으며, log 변환을 포함하고 있는 일반화된 방법이다.

(1)

y_{t}^{(λ)} = \{\begin{cases} \frac{x_{t}^{λ} - 1}{λ} & (λ \neq 0) \\ \ln x_{t} & (λ = 0) \end{cases}

Box-Cox 변환을 이용한 PMP 산정 절차는 다음과 같다.

① 지속기간 - 강우깊이에 대한 변환계수 추정( $λ_{1}$ , $λ_{2}$ ) : 최적화 목적함수는 선형 회귀분석을 실시했을 경우 결정계수( $R^{2}$ )의 합이 최소가 되는 경우, 제약조건은 역변환을 실시했을 때 양의 값이 나오는 경우( $y_{t} < 1 / λ$ )로 함

② 포락 여부 확인 및 절편조정

③ 최적 변환계수에 대하여 추정된 선형 회귀식 값을 역변환하여 강우깊이-지속기간-면적 관계 도시

2.3.2 3차 스플라인(Cubic Spline)

3차 스플라인 곡선(Cubic Spline Curve) 방법은 MLTMA (2008)에서 제안한 방법으로, 2개의 점 사이마다 각각 적합한 3차 다항식의 곡선을 전체자료를 이용하여 추정하고, 구간마다 추정된 곡선식을 이어서 복합곡선이다(Fig. 2). 이 곡선은 3차 다항식끼리 매끄럽게 연결될 수 있도록 다음의 제약조건을 만족해야 한다.

① 각 식은 점을 지난다.

② 각 식 y1, y2가 동시에 지나는 점에서의 값은 같다.

③ 동시에 지나는 점에서의 1차 미분값은 같다.

④ 동시에 지나는 점에서의 2차 미분값은 같다.

https://cdn.apub.kr/journalsite/sites/kwra/2024-057-10/N0200571007/images/kwra_57_10_07_F2.jpg

Fig. 2.

Cubic spline curve for 3 points (example)

2.3.3 기존 포락방법의 한계점

Box-Cox 방법은 자료 간 변동성 폭을 줄여서 정도 높은 분석결과를 얻을 수 있지만, 유도된 회귀식은 포락곡선이 아니므로 포락 개념을 만족시키기 위해 절편조정이 필요하다. 조정과정에서 너무 큰 절편조정 값이 필요하기 때문에 과대 포락이 이루어지는 문제점이 있다. 3차 스플라인 방법은 주어진 자료형태를 최대한 만족시킬 수 있는 결과를 얻을 수 있지만, 일부 지속기간에서 포락 전보다 작은 값으로 포락되는 문제점이 발생하여 별도의 절편조정이 필요하다.

이처럼 두 가지 방법 모두 충분히 균일화된 결과를 보여주지 못하고 있으므로 인위적인 절편조정이 필요하나, 절편조정 시 이에 대한 명확한 기준이 없어 기술자의 판단이 포락결과에 큰 영향을 미치고 있다. 따라서 포락시 임의성을 최대한 배제하고 PMP독치 결과를 최대한 반영할 수 있는 포락방법 개발이 필요하다.

3. PMP 포락 개선방안

3.1 단조 3차 스플라인(Monotone Cubic Spline)의 배경 및 이론

단조 3차 스플라인(MCS)은 Fritsch and Carlson (1980)가 처음으로 소개한 방법으로, 기존의 3차 스플라인 방법이 데이터가 일정하게 증가하거나 감소하는 경우 이와 같은 단조성(monotonicity)을 유지하지 못하고 진동하게 되는 문제점을 해결하기 위해 고안됐다. 따라서 MCS 방법은 PMP와 같이 강우지속기간이 길어질수록 강우량이 동일하거나 증가하는 단조성이 필요한 경우에 적합할 수 있다(Fig. 3).

https://cdn.apub.kr/journalsite/sites/kwra/2024-057-10/N0200571007/images/kwra_57_10_07_F3.jpg

Fig. 3.

Compare curves by spline model

MCS 방법은 데이터의 추세를 더욱 부드럽게 연결하면서도 연속적인 데이터가 진동하지 않고 지속적으로 상향하거나 하향하는 단조성을 가질 경우, 보간된 스플라인 역시 그 단조성을 유지하도록 하는 방법이다. 여기서 단조성 유지는 보간된 함수가 데이터가 증가하는 구간에서는 증가하고, 감소하는 구간에서는 감소하도록 제한을 두는 것을 의미한다.

MCS 방법의 특징은 원래 데이터의 단조성을 유지하며, 스플라인과 1차 및 2차 미분이 연속성을 가지고 있다는 점이며 이론적인 접근방법은 다음과 같다.

주어진 데이터 점( $x_{i}$ , $y_{i}$ )에서 $i = 0, 1, \dots, n$ 이고 $x_{i} < x_{i + 1}$ , $y_{i}$ 는 함수 값인 경우 다음과 같은 구간별 3차 다항식 $S (x)$ 를 구한다.

① 모든 $i$ 에 대해 $S (x_{i}) = y_{i}$

② $S^{'} (x)$ 는 모든 $x$ 에서 연속적

③ $S^{''} (x)$ 는 모든 $x$ 에서 연속적

④ $S (x)$ 는 데이터 점들의 단조성을 유지

이후 단조성을 구성하기 위해, 먼저 유한 차분을 계산한다.

(2)

∆_{i} = \frac{y_{i + 1} - y_{i}}{x_{i + 1} - x_{i}}

이 유한차분은 연속적인 데이터점 사이의 기울기를 나타내며, 다음은 데이터 점에서의 기울기를 계산한다.

(3)

m_{i} = \frac{∆_{i - 1} - ∆_{i}}{2}

여기서, $i = 1, 2, \dots, n - 1$ 이며, 끝점은 다음과 같이 설정한다.

(3a)

m_{0} = ∆_{0}

(3b)

m_{n} = ∆_{n - 1}

여기서 단조성을 유지하기 위해 다음과 같은 기울기의 조정이 필요하다. $∆_{i}$ 와 $∆_{i - 1}$ 가 서로 반대 기호(양수 또는 음수)이면 $m_{i}$ =0으로 설정하고, 추가적으로 조정된 기울기 $m_{i}$ 가 인접 차분의 조화 평균으로 제한되도록 Fritsch-Carlson (Fritsch and Carlson, 1980) 방법을 사용한다.

(4)

m_{i} = \frac{3 ∆_{i} ∆_{i - 1}}{\max (∆_{i}, ∆_{i - 1})}

단, $∆_{i}$ 와 $∆_{i - 1}$ 가 동일한 기호를 가지며 $m_{i} = \max (3 ∆_{i}, 3 ∆_{i - 1})$ 일 때 적용되며, 최종적으로 $m_{i}$ 가 결정되면 각 구간 [ $x_{i}$ , $x_{i + 1}$ ]에 대해 다음과 같은 단조성을 가진 3차 다항식을 정의한다.

(5)

S_{i} (x) = a_{i} (x - x_{i})^{3} + b_{i} (x - x_{i})^{2} + c_{i} (x - x_{i}) + d_{i}

(5a)

a_{i} = \frac{m_{i} + m_{i + 1} - 2 ∆_{i}}{(x_{i + 1} - x_{i})^{2}}

(5b)

b_{i} = \frac{3 ∆_{i} - 2 m_{i} - m_{i + 1}}{x_{i + 1} - x_{i}}

(5c)

c_{i} = m_{i}

(5d)

d_{i} = y_{i}

3.2 단조 3차 스플라인의 포락성 검토

3.2.1 검토방법

본 연구에서는 기 수립된 K-water (2009, 2010, 2011)의 포락 전 PMP도 독치결과를 해당 사업에서 산정한 포락후 PMP 및 MCS 방법으로 포락한 PMP 산정 결과와 비교·검토했으며, 전국 PMP도(MCT, 2004)에 수록된 강우지속기간(1시간, 2시간, 6시간, 12시간, 24시간, 48시간, 72시간)과 면적(25 km², 100 km², 200 km², 1,000 km², 2,000 km², 10,000 km², 20,000 km²)을 대상으로 했다. MCS 방법의 포락성 검토를 위해 CS 방법과 비교·검토를 실시했으며, 포락 모형화시 기술자 판단에 따른 임의값을 선정하여 기존 곡선을 절편값 만큼 위로 이동하는 절편조정 방법을 배제했다. 주어진 데이터를 검토하여 상대적으로 큰 값만을 선별하여 PMP를 산정하는 지레점(leverage point) 방법을 이용했다.

여기서 지레점(영향점) 방법이란 전체 자료를 사용하는 것이 아니라 얻어진 값 중에서 상대적으로 큰 값만을 선별하여 이용하는 것으로, PMP도에서 읽은 값에 대한 그래프를 도시한 후 평균적인 관계에서 상대적으로 작게 나타나는 값들을 제외하고 크게 산정된 값만을 선별하여 모형화를 적용하는 방법을 의미한다(MLTMA, 2008).

포락 모형화에 대한 평가 방법은 아직 명확히 정해진 바가 없으나 국내 실무에서는 포락곡선의 선형성을 기준으로 평가하고 있다. 한편 포락 모형화의 객관적인 평가를 위해 KDI (2007)에서는 일반적으로 채택된 구간에서는 상대편차는 15%이내, 포락률은 95% 이상을 만족하도록 제시했으며, MLTMA (2008)에서는 절편조정값이 작으면서 결정계수(R²)이 높은 모형을 선정하도록 제시했다. 따라서 본 연구에서는 PMP도 독치결과를 기준으로 포락 방법별 선형성, 상대편차, 포락률 및 결정계수를 산정하여 Case별 포락성을 검토했다.

(6)

상대 편 차 = \frac{(포 락값 - PMP도 독 치)}{PMP도 독 치}

(7)

포 락률 = \frac{포 락조건을 만족 하 는 경우의 수}{전 체 경우의 수}

면적별 강우깊이-지속기간 포락 시 지레점 방법을 적용하기 위해 상대적으로 PMP도 독치값 중 작은 값들을 검토한 결과, 전체면적 구간 25 km²~20,000 km²에서는 1개 시간(12시간), 25 km²~2,000 km²에서는 2개 시간(12시간, 48시간)이 선별되었으므로, 다음과 같이 Case를 구분했다.

- Case 1 : 1, 2, 6, 12, 24, 48, 72 hr 이용하여 포락곡선 도시 (모든 지속기간 채택) → 포락곡선이 모든 지속기간의 PMP도 독치값과 동일

- Case 2 : 1, 2, 6, 24, 48, 72 hr 이용하여 포락곡선 도시(12 hr 제외) → 포락곡선 선형화 시 상대적으로 작은 값을 보이는 1개(12 hr) 지속기간 제외

- Case 3 : 1, 2, 6, 24, 72hr 이용하여 포락곡선 도시 (12, 48 hr 제외) → 포락곡선 선형화 시 상대적으로 작은 값을 보이는 2개(12, 48 hr) 지속기간 제외

- Case 4 : 유역면적 25 km²이상~ 2,000 km²이하 (Case 3 채택)

유역면적 2,000 km²초과~20,000 km²이하(Case 2 채택)

3.2.2 검토결과

댐별 PMP도 독치 후 포락방법별로 포락 모형화를 수행한 결과, Tables 1, 2, 3에서 제시된바와 같이 포락성(상대편차, 포락률, 결정계수)에서 모두 양호한 결과를 나타내고 있다. 그러나 Figs. 4, 5, 6, 7, 8, 9의 포락후 면적별 강우깊이-지속기간 포락곡선 검토결과 CS 방법의 경우 절편조정을 하지 않아 지속기간이 길어질수록 포락곡선이 선형화를 이루지 못하고 진동하는 것으로 나타났다. 반면에 MCS 방법의 경우 절편조정 없이도 상대적으로 포락곡선이 선형화를 잘 나타내는 것으로 분석됐다.

Table 1.

PMP envelopment modelization results of Bohyeonsan-Dam

Description		Case 1				Case 2				Case 3				Case 4
		Relative Deviation		Envelop Ratio	R²	Relative Deviation		Envelop Ratio	R²	Relative Deviation		Envelop Ratio	R²	Relative Deviation		Envelop Ratio	R²
		Max	Min	Envelop Ratio	R²	Max	Min	Envelop Ratio	R²	Max	Min	Envelop Ratio	R²	Max	Min	Envelop Ratio	R²
CS	25 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	8.1	0.0	100.0	0.997	12.4	0.0	100.0	0.987	12.4	0.0	100.0	0.987
	100 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	18.5	0.0	100.0	0.987	18.3	0.0	100.0	0.988	18.3	0.0	100.0	0.988
	200 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	15.8	0.0	100.0	0.990	15.3	0.0	100.0	0.988	15.3	0.0	100.0	0.988
	1,000 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	12.8	0.0	100.0	0.994	12.7	0.0	100.0	0.994	12.7	0.0	100.0	0.994
	2,000 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	7.8	0.0	100.0	0.998	8.3	-7.4	85.7	0.992	8.3	-7.4	85.7	0.992
	10,000 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	13.3	0.0	100.0	0.997	13.3	0.0	100.0	0.997	13.3	0.0	100.0	0.997
	20,000 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	15.8	0.0	100.0	0.996	16.2	-4.7	85.7	0.993	15.8	0.0	100.0	0.996
MCS	25 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	14.0	0.0	100.0	0.991	13.8	0.0	100.0	0.991	13.8	0.0	100.0	0.991
	100 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	17.3	0.0	100.0	0.989	17.8	0.0	100.0	0.988	17.8	0.0	100.0	0.988
	200 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	15.5	0.0	100.0	0.991	15.0	0.0	100.0	0.990	15.0	0.0	100.0	0.990
	1,000 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	9.8	0.0	100.0	0.996	10.1	0.0	100.0	0.996	10.1	0.0	100.0	0.996
	2,000 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	3.6	0.0	100.0	1.000	3.5	0.0	100.0	0.999	3.5	0.0	100.0	0.999
	10,000 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	14.1	0.0	100.0	0.996	8.8	-1.6	85.7	0.998	14.1	0.0	100.0	0.996
	20,000 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	13.2	0.0	100.0	0.997	10.6	0.0	100.0	0.998	13.2	0.0	100.0	0.997

Table 2.

PMP envelopment modelization results of Yeongju-Dam

Description		Case 1				Case 2				Case 3				Case 4
		Relative Deviation		Envelop Ratio	R²	Relative Deviation		Envelop Ratio	R²	Relative Deviation		Envelop Ratio	R²	Relative Deviation		Envelop Ratio	R²
		Max	Min	Envelop Ratio	R²	Max	Min	Envelop Ratio	R²	Max	Min	Envelop Ratio	R²	Max	Min	Envelop Ratio	R²
CS	25 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	2.7	0.0	100.0	1.000	13.4	0.0	100.0	0.986	13.4	0.0	100.0	0.986
	100 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	13.7	0.0	100.0	0.993	13.1	0.0	100.0	0.990	13.2	0.0	100.0	0.990
	200 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	9.9	0.0	100.0	0.996	9.3	0.0	100.0	0.992	9.3	0.0	100.0	0.992
	1,000 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	10.2	0.0	100.0	0.997	10.2	0.0	100.0	0.997	10.2	0.0	100.0	0.997
	2,000 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	7.2	0.0	100.0	0.998	7.6	-5.9	85.7	0.994	7.6	-5.9	85.7	0.994
	10,000 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	9.9	0.0	100.0	0.998	9.7	0.0	100.0	0.998	9.9	0.0	100.0	0.998
	20,000 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	15.5	0.0	100.0	0.996	15.8	-3.0	85.7	0.995	15.5	0.0	100.0	0.996
MCS	25 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	11.3	0.0	100.0	0.994	11.3	0.0	100.0	0.994	11.3	0.0	100.0	0.994
	100 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	14.1	0.0	100.0	0.992	13.7	0.0	100.0	0.992	13.7	0.0	100.0	0.992
	200 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	12.1	0.0	100.0	0.994	11.9	0.0	100.0	0.993	11.9	0.0	100.0	0.993
	1,000 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	9.6	0.0	100.0	0.997	10.1	0.0	100.0	0.996	10.1	0.0	100.0	0.996
	2,000 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	4.2	0.0	100.0	0.999	4.2	0.0	100.0	0.999	4.2	0.0	100.0	0.999
	10,000 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	12.5	0.0	100.0	0.997	14.5	-1.8	85.7	0.996	12.5	0.0	100.0	0.997
	20,000 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	12.6	0.0	100.0	0.998	14.8	-3.5	85.7	0.995	12.6	0.0	100.0	0.998

Table 3.

PMP envelopment modelization results of Juam-Dam

Description		Case 1				Case 2				Case 3				Case 4
		Relative Deviation		Envelop Ratio	R²	Relative Deviation		Envelop Ratio	R²	Relative Deviation		Envelop Ratio	R²	Relative Deviation		Envelop Ratio	R²
		Max	Min	Envelop Ratio	R²	Max	Min	Envelop Ratio	R²	Max	Min	Envelop Ratio	R²	Max	Min	Envelop Ratio	R²
CS	25 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	13.4	0.0	100.0	0.993	12.6	0.0	100.0	0.987	12.6	0.0	100.0	0.987
	100 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	11.8	0.0	100.0	0.994	12.7	0.0	100.0	0.987	12.7	0.0	100.0	0.987
	200 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	8.5	0.0	100.0	0.997	15.2	0.0	100.0	0.984	15.2	0.0	100.0	0.984
	1,000 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	6.8	0.0	100.0	0.998	16.0	0.0	100.0	0.983	16.0	0.0	100.0	0.983
	2,000 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	7.8	0.0	100.0	0.998	12.6	0.0	100.0	0.989	12.6	0.0	100.0	0.989
	10,000 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	9.7	0.0	100.0	0.997	9.2	0.0	100.0	0.995	9.7	0.0	100.0	0.997
	20,000 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	8.8	0.0	100.0	0.998	8.9	-1.4	85.7	0.997	8.8	0.0	100.0	0.998
MCS	25 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	15.8	0.0	100.0	0.990	15.5	0.0	100.0	0.990	15.5	0.0	100.0	0.990
	100 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	14.7	0.0	100.0	0.991	14.3	0.0	100.0	0.992	14.4	0.0	100.0	0.992
	200 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	12.3	0.0	100.0	0.994	11.9	0.0	100.0	0.994	11.9	0.0	100.0	0.994
	1,000 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	12.5	0.0	100.0	0.994	11.9	0.0	100.0	0.993	11.9	0.0	100.0	0.993
	2,000 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	13.4	0.0	100.0	0.994	13.1	0.0	100.0	0.993	13.1	0.0	100.0	0.993
	10,000 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	14.0	0.0	100.0	0.994	14.2	0.0	100.0	0.993	14.0	0.0	100.0	0.994
	20,000 km²	0.0	0.0	100.0	1.000	8.9	0.0	100.0	0.998	9.3	0.0	100.0	0.997	8.9	0.0	100.0	0.998

https://cdn.apub.kr/journalsite/sites/kwra/2024-057-10/N0200571007/images/kwra_57_10_07_F4.jpg

Fig. 4.

Envelopment curve of Bohyeonsan-Dam using cubic spline

https://cdn.apub.kr/journalsite/sites/kwra/2024-057-10/N0200571007/images/kwra_57_10_07_F5.jpg

Fig. 5.

Envelopment curve of Bohyeonsan-Dam using monotone cubic spline

https://cdn.apub.kr/journalsite/sites/kwra/2024-057-10/N0200571007/images/kwra_57_10_07_F6.jpg

Fig. 6.

Envelopment curve of Yeongju-Dam using cubic spline

https://cdn.apub.kr/journalsite/sites/kwra/2024-057-10/N0200571007/images/kwra_57_10_07_F7.jpg

Fig. 7.

Envelopment curve of Yeongju-Dam using monotone cubic spline

https://cdn.apub.kr/journalsite/sites/kwra/2024-057-10/N0200571007/images/kwra_57_10_07_F8.jpg

Fig. 8.

Envelopment curve of Juam-Dam using cubic spline

https://cdn.apub.kr/journalsite/sites/kwra/2024-057-10/N0200571007/images/kwra_57_10_07_F9.jpg

Fig. 9.

Envelopment curve of Juam-Dam using monotone cubic spline

MCS 방법을 이용한 Case별 면적별 강우깊이-지속기간 포락곡선을 살펴보면 전체 지속기간을 채택하여 도시한 Case 1보다 Case 2와 Case 3의 포락곡선이 좀 더 부드럽고 선형성이 우수한 것으로 나타났으나, Case 2의 경우 면적 25 km²이상 ~ 2,000 km²이하 구간에서 상대적으로 선형성이 저하되는 것으로 나타났다. Case 3은 전체적으로 가장 양호한 포락곡선을 나타내고 있지만 포락성 평가결과인 Table 1, 2, 3을 보면 면적 2,000 km²초과 ~ 20,000 km²이하 구간에서 일부 포락조건을 만족시키지 못하는 것으로 나타났다.

한편 Case 2와 Case 3을 조합하여 DAD를 도시한 Case 4는 포락성 및 선형화 측면에서 모든 결과가 가장 우수한 것으로 나타났다.

3.3 선행 연구 결과와의 비교·검토

MLTMA (2008)에서는 합천댐과 남강댐의 전국 PMP도 독치값을 절편조정과 시행착오법, 3차 스플라인 방법 및 지레점을 이용한 3차 스플라인 방법으로 포락한 결과를 제시했으나, 본 연구에서는 해당 연구 결과와 절편조정을 하지 않고 금회 MCS 방법으로 산정한 PMP 포락결과를 비교·검토했다.

Tables 4 and 5는 합천댐과 남강댐의 모형별 PMP 산정결과, Tables 6 and 7은 모형화에 따른 포락성 검토결과, Figs. 10 and 11은 포락모형별 강우깊이-지속기간 포락곡선을 나타낸다. 그리고 MCS 방법의 Case 1~3은 앞의 3.2.1절에서 설정한 지레점 적용 조건과 동일하다.

Table 4.

Comparison of PMP envelopment results (Hapcheon-Dam)

Duration (hr)	PMP map reading (mm)	PMP envelopment results (mm)
		Adjusted intercept			Unadjusted intercept
		Try & error	CS	CS (using leverage point)	MCS (Case 1)	MCS (Case 2)	MCS (Case 3)
1	83.7	103.0	95.2	94.4	83.7	83.7	83.7
6	340.2	340.0	347.9	350.9	340.2	340.2	340.2
12	450.9	497.0	478.8	461.6	450.9	481.8	481.9
18	580.8	596.0	586.4	580.8	580.8	580.8	580.8
24	657.9	669.0	657.9	668.6	657.9	657.9	657.9
48	765.9	791.0	785.8	808.1	765.9	765.9	777.5
72	850.8	869.0	860.2	861.5	850.8	850.8	850.8

Table 5.

Comparison of PMP envelopment results (Namgang-Dam)

Duration (hr)	PMP map reading (mm)	PMP envelopment results (mm)
		Adjusted intercept			Unadjusted intercept
		Try & error	CS	CS (using leverage point)	MCS (Case 1)	MCS (Case 2)	MCS (Case 3)
1	79.5	103.0	90.9	79.6	79.5	79.5	79.5
6	346.6	340.0	353.9	336.1	346.6	346.6	346.6
12	456.1	497.0	477.3	446.8	456.1	472.2	472.2
18	566.1	596.0	581.0	566.1	566.1	566.1	566.1
24	660.4	669.0	660.4	653.8	660.4	660.4	660.4
48	814.2	791.0	828.3	793.4	814.2	814.2	810.8
72	910.2	869.0	921.6	846.7	910.2	910.2	910.2

Table 6.

Results of relative deviation, envelopment rate, and coefficient of determination by methods (Hapcheon-Dam)

Description	Duration (hr)	PMP map reading (mm)	Adjusted intercept			Unadjusted intercept
Description	Duration (hr)	PMP map reading (mm)	Try & error	CS	CS (using leverage point)	MCS (Case 1)	MCS (Case 2)	MCS (Case 3)
Relative Deviation	1	83.7	23.1	13.7	12.8	0.0	0.0	0.0
	6	340.2	-0.1	2.3	3.1	0.0	0.0	0.0
	12	450.9	10.2	6.2	2.4	0.0	6.9	6.9
	18	580.8	2.6	1.0	0.0	0.0	0.0	0.0
	24	657.9	1.7	0.0	1.6	0.0	0.0	0.0
	48	765.9	3.3	2.6	5.5	0.0	0.0	1.5
	72	850.8	2.1	1.1	1.3	0.0	0.0	0.0
	Average		6.1	3.8	3.8	0.0	1.0	1.2
	Max		23.1	13.7	12.8	0.0	6.9	6.9
	Min		-0.1	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0
Envelopment rate			85.7	100.0	100.0	100.0	100.0	100.0
R²			0.997	0.999	0.998	1.000	0.998	0.998

Table 7.

Results of relative deviation, envelopment rate, and coefficient of determination by methods (Namgang-Dam)

Description	Duration (hr)	PMP map reading (mm)	Adjusted intercept			Unadjusted intercept
Description	Duration (hr)	PMP map reading (mm)	Try & error	CS	CS (using leverage point)	MCS (Case 1)	MCS (Case 2)	MCS (Case 3)
Relative Deviation	1	83.7	29.6	14.3	0.1	0.0	0.0	0.0
	6	340.2	-1.9	2.1	-3.0	0.0	0.0	0.0
	12	450.9	9.0	4.6	-2.0	0.0	3.5	3.5
	18	580.8	5.3	2.6	0.0	0.0	0.0	0.0
	24	657.9	1.3	0.0	-1.0	0.0	0.0	0.0
	48	765.9	-2.8	1.7	-2.6	0.0	0.0	-0.4
	72	850.8	-4.5	1.3	-7.0	0.0	0.0	0.0
	Average		5.1	3.8	-2.2	0.0	0.5	0.4
	Max		29.6	14.3	0.1	0.0	3.5	3.5
	Min		-4.5	0.0	-7.0	0.0	0.0	-0.4
Envelopment rate			57.1	100.0	28.6	100.0	100.0	85.7
R²			0.993	0.999	0.997	1.000	1.000	1.000

포락성을 평가한 Tables 6 and 7을 보면 MCS 방법이 절편조정을 이용한 타모형화 결과보다 상대편차(포락오차)가 작고 포락률도 우수하며, 결정계수가 타모형과 비교하여도 그 차이가 거의 없는 것으로 분석됐다. 한편 강우깊이-지속기간 포락곡선 도시결과인 Figs. 10 and 11을 보면 합천댐(유역면적 925 km²)은 MCS-Case 3, 남강댐(유역면적 2,285 km²)은 MCS-Case 2의 포락 선형성이 가장 양호해서 면적에 따른 Case 구분도 적정한 것으로 나타났다.

https://cdn.apub.kr/journalsite/sites/kwra/2024-057-10/N0200571007/images/kwra_57_10_07_F10.jpg

Fig. 10.

Comparison for envelopment curve of Hapcheon-Dam PMP

https://cdn.apub.kr/journalsite/sites/kwra/2024-057-10/N0200571007/images/kwra_57_10_07_F11.jpg

Fig. 11.

Comparison for envelopment curve of Namgang-Dam PMP

4. 결 론

본 연구에서는 국내에서 PMP 산정 시 채택하고 있는 PMP도를 이용한 방법 중 포락 모형화 방법으로 단조 3차 스플라인(MCS)방법을 제안했다. MCS 방법은 연속적인 데이터가 진동하지 않고 지속적으로 상향하거나 하향하는 단조성을 가진 경우 보간된 스플라인 역시 그 단조성을 유지하도록 하는 방법으로 PMP 포락시 임의성이 포함된 절편조정 없이도 객관성과 선형성을 적절하게 확보하는 방법으로 판단된다.

MCS 방법의 포락성 검토시 최대한 임의성을 배제하고 객관성을 확보하기 위해 전국 PMP도(MCT, 2004) 독치값에 대해 절편조정을 하지 않고 CS 방법과 MCS 방법에 지레점을 이용하여 포락 모형화를 수행했으며, 다음과 같은 결론을 도출했다. CS 방법의 경우 포락곡선이 선형화를 이루지 못하고 긴 지속기간에서 진동하는 것으로 나타났으나, MCS 방법은 CS 방법 보다 포락 선형성과 포락성 평가결과(상대편차, 포락률, 결정계수)에서 더 우수한 것으로 분석됐다.

MLTMA (2008)에서 산정한 합천댐과 남강댐의 절편조정 후 PMP 포락 모형화 결과와 절편조정을 하지 않고 MCS 방법으로 산정한 PMP 포락결과를 비교·검토한 결과, 지레점을 이용한 MCS 방법이 포락성 및 선형성 평가결과에서 타 방법들 보다 양호하고 면적에 따른 Case 구분도 적정하게 나타났다.

따라서 향후 국내에서 댐 관련 신규사업을 위해 PMP를 산정 시 기존의 시행착오법, CS 방법 및 지레점-CS 방법 대신에 MCS 방법을 이용하여 포락을 한다면 절편조정과 같은 임의성을 배제하고 균일하고 객관적인 PMP를 산정할 수 있을 것으로 판단된다.

전술한 바와 같이 국내 PMP 포락 모형화 방법 관련하여 MCS 방법을 제시했으나, 국내 PMP산정의 기초가 되는 전국 PMP도(MCT, 2004) 이용 시는 지레점 및 유역 면적규모에 따른 구분을 해야는 제약사항이 존재한다. 하지만, 향후 수문기상학적 방법에 따라 제대로 포락이 이루어진 PMP도가 작성된다면 그와 같은 제약사항은 자연스럽게 해결될 것으로 기대한다. 또한, 강우지속기간과 면적의 이변량을 모두 고려할 수 있는 포락 모형화 방법이 연구된다면 보다 균일하고 객관적인 포락결과를 얻을 수 있을 것으로 기대된다.

Acknowledgements

본 연구는 2024년도 서경대학교 교내연구비 지원에 의하여 이루어졌음.

Conflicts of Interest

The authors declare no conflict of interest.

References

Bureau of Meteorology (BM) (2003). The estimation of probable maximum precipitation in Australia: Generalised short-duration method. Bureau of Meteorology, Melbourne, Australia.

Fritsch, F.N., and Carlson, R.E. (1980). "Monotone piecewise cubic interpolation." SIAM Journal on Numerical Analysis, Vol. 17, No. 2, pp. 238-246.

10.1137/0717021

Institute of Hydrology (IH) (1999). Flood estimation handbook. UK.

Kim, Y.K., Kim, Y.S., Yu, W.S., Oh, S.R., and Jung, K.S. (2016). "Development of basin-scale PMP estimation method by considering spatio-temporal characteristics." Journal of Korea Society of Hazard Mitigation, Vol. 16, No. 1, pp. 51-61.

10.9798/KOSHAM.2016.16.1.51

Korea Development Institute (KDI) (2007). Adequacy review of dam design criteria - Focus on estimating PMP and PMF.

Korea Institute of Civil Engineering and Building Technology (KICT) (1987). Review and development of maximum probable precipitation calculation methodology.

K-water (2009). Detailed design of Juam Dam emergency spillway construction.

K-water (2010). Deatiled design of Yeongju Multipurpose Dam construction.

K-water (2011). Deatiled design of Bohyeonsan Multipurpose Dam construction.

Ministry of Construction and Transportation (MCT) (2000). Estimation of probable maximum precipitation in Korea.

Ministry of Construction and Transportation (MCT) (2004). Renewable report of PMP map in Korea.

Ministry of Land, Transport and Maritime Affairs (MLTMA) (2008). PMP and PMF estimation procedure guidelines.

National Academies (NA) (2024). Modernizing probable maximum precipitation estimation. Washington, D.C., U.S.

National Oceanic and Atmospheric Administration (NOAA) (1963). Probable maximum precipitation in the Hawaiian islands, Hydrometeorological Report No. 39, Washington, D.C., U.S.

National Oceanic and Atmospheric Administration (NOAA) (1982). Application of probable maximum precipitation estimates - United States East of the 105^th Meridian. Hydrometeorological Report No. 52, Washington, D.C., U.S.

National Oceanic and Atmospheric Administration (NOAA) (1999). Probable maximum precipitation for California. Hydrometeorological Report No. 59, Washington, D.C., U.S.

Park, M.G., Park, M.J., Kim, S.D., and Joo, J.G. (2013). "Extreme storm estimation by climate change using precipitable water." Journal of Korea Society of Hazard Mitigation, Vol. 13, No. 1, pp. 121-127.

10.9798/KOSHAM.2013.13.1.121

Sim, I.K., Lee, O.J., Jeong, S.M., and Kim, S.D. (2019). "Estimating the return period for statistical probable maximum precipitation." Journal of Korea Society of Hazard Mitigation, Vol. 19, No. 1, pp. 273-382.

10.9798/KOSHAM.2019.19.1.373

Sim, K.B., Lee, O.J., Kim, S.D., and Kim, E.S. (2015). "1-day probable maximum precipitation in accordance with AR5 RCPs in Korea." Journal of Korea Society of Hazard Mitigation, Vol. 15, No. 4, pp. 273-280.

10.9798/KOSHAM.2015.15.4.273

World Meteorological Organization (WMO) (1973). Manual for estimation of probable maximum precipitation, First Edition, Operational Hydrology Report No. 1, WMO No. 332, Geneva, Switzerland.

World Meteorological Organization (WMO) (1986). Manual for estimation of probable maximum precipitation, Second Edition, Operational Hydrology Report No. 1, WMO No. 332, Geneva, Switzerland.

World Meteorological Organization (WMO) (2009). Manual on estimation of Probable Maximum Precipitation (PMP), WMO No. 1045, Geneva, Switzerland.

Journal of Korea Water Resources Association ISSN:2799-8746(Print) 2799-8754(Online) 한국수자원학회 논문집

Preview

Study on the improvement for envelopment curve of probable maximum precipitation

ABSTRACT

MAIN

Fig. 1.

The PMP estimation procedure in Korea

(1)

Fig. 2.

Cubic spline curve for 3 points (example)

Fig. 3.

Compare curves by spline model

(2)

(3)

(3a)

(3b)

(4)

(5)

(5a)

(5b)

(5c)

(5d)

(6)

(7)

Table 1.

PMP envelopment modelization results of Bohyeonsan-Dam

Table 2.

PMP envelopment modelization results of Yeongju-Dam

Table 3.

PMP envelopment modelization results of Juam-Dam

Fig. 4.

Envelopment curve of Bohyeonsan-Dam using cubic spline

Fig. 5.

Envelopment curve of Bohyeonsan-Dam using monotone cubic spline

Fig. 6.

Envelopment curve of Yeongju-Dam using cubic spline

Fig. 7.

Envelopment curve of Yeongju-Dam using monotone cubic spline

Fig. 8.

Envelopment curve of Juam-Dam using cubic spline

Fig. 9.

Envelopment curve of Juam-Dam using monotone cubic spline

Table 4.

Comparison of PMP envelopment results (Hapcheon-Dam)

Table 5.

Comparison of PMP envelopment results (Namgang-Dam)

Table 6.

Results of relative deviation, envelopment rate, and coefficient of determination by methods (Hapcheon-Dam)

Table 7.

Results of relative deviation, envelopment rate, and coefficient of determination by methods (Namgang-Dam)

Fig. 10.

Comparison for envelopment curve of Hapcheon-Dam PMP

Fig. 11.

Comparison for envelopment curve of Namgang-Dam PMP

Acknowledgements

Conflicts of Interest

References