1. 서 론

최근 기후변화로 집중호우가 늘면서 하천 제방의 안정성에 대한 우려가 높아지고 있다. 하천설계기준·해설(KWRA and KAR, 2019)에 의하면 제방 설계 시에서는 누수와 활동에 대한 안정성 평가가 필요하다. 국내에서는 일반적으로 SEEP/W (GEOSLOPE, 2015)를 활용한 2차원 침투해석 결과를 이용하여 안정성 평가를 수행한다. 제방 침투해석에서 흙 재료 특성치를 고정값으로 해석하는 방법을 결정론적 해석법이라 하며 일반적으로 많이 사용한다. 그러나 흙 재료로 축조되는 제방은 재료의 불확실성이 매우 높다. 특히 침투 안정성 해석에 큰 영향을 미치는 투수계수(Ks)는 동일한 종류의 흙에서도 조사 방법에 따라 큰 차이가 발생한다. 이에 제방 안정성 평가에서 내포된 불확실성을 고려하기 위하여 확률론적 방법에 기반하여 제방의 파괴 메커니즘을 분석하는 다양한 연구가 수행되었다(Fenton and Griffiths, 1996; Sharafati et al., 2020; Cho, 2022).

제방 파괴는 월류, 내부침식, 파이핑 등 다양한 원인에 의해 발생한다. 이 가운데 내부침식과 파이핑은 세립토의 유실과 동수경사의 집중에 의해 발생하는 대표적 파괴 메커니즘으로 오래전부터 많은 연구자들의 관심을 받아왔다. Freeze (1975), Hoeksema and Kitanidis (1985), Sudicky (1986) 등은 현장 실측을 통해 투수계수는 로그정규분포를 따르는 공간적 확률장(random field)이라고 제안하였다. Fenton and Vanmarcke (1990)은 투수계수의 확률분포를 고려하여 확률론적 유한요소해석(Stochastic FEM)을 수행하였다. Griffiths and Fenton (1993, 1997)은 댐과 수리구조물 하부 침투 해석을 확률 기반으로 수행하여 기존의 결정론적 해석과 확률론적 해석 결과의 차이를 체계적으로 비교하였다. 이들 연구에 의하면 투수계수의 불확실성을 고려하지 않을 경우 내부침식 위험이 과소평가될 수 있다.

이와 같은 확률론적 해석결과는 제방 취약도 곡선(fragility curve)으로 제시된다(Vorogushyn et al., 2009). 취약도는 제방이 수위와 같은 특정 외력 조건에서 파괴될 확률을 나타내는데, 일반적으로 MCS (Monte Carlo Simulation)를 통해 다양한 제방 재료를 무작위로 샘플링하고 한계상태를 계산하여 실패 여부를 판정한다. 외력 조건에 따라 계산된 파괴 확률은 취약도 곡선으로 표현되며 이는 외력 조건과 파괴 확률 간의 관계를 나타낸다. 즉, 취약도 곡선은 흙 재료 등의 불확실성을 확률적으로 반영하여 제방 파괴의 가능성을 정량적으로 나타내는 방법이다. 이와 같이 안전율 대신 실패 확률이 제시되면 위험도의 정량화가 가능하여 피해규모와 연계된 위험도 평가에 활용될 수 있다.

네덜란드는 1990년대 말부터 홍수방어 시스템 평가에 불확실성을 반영한 확률론적 위험도 평가를 적용하고 있다(Jonkman et al., 2008). 제방 취약도 곡선 연구는 국가 규모의 확률론적 위험평가 프로젝트(FLORIS, VNK2)를 통해 체계화되었으며, 이를 토대로 제방 단면별, 파괴 기작별 실패 확률을 수위 등 하중 변수의 함수로 정량화하는 방법론이 확립되었다(Jongejan et al., 2011). 파이핑, 활동, 월류 등이 주요 파괴 양상으로 규정되었고, 특히 파이핑 메커니즘에 대한 물리기반과 경험적 모델을 결합한 취약도 곡선 연구가 활발히 이루어졌다(Schweckendiek et al., 2014). 2017년부터 수자원법(Water Act) 개정을 통해 확률론적 안정성 해석에 의한 위험 기반 홍수 위험 관리 정책을 공식적으로 채택하였으며 관련 분석 방법을 개발하여 보급하고 있다(Slomp, 2016).

영국은 RASP (Risk Assessment for Strategic Planning) 프로젝트에서 제방과 방조제에 대한 홍수 위험 관리의 일환으로 취약도 개념을 도입하여 제방 파괴 확률을 평가하였다(Defra/EA, 2003). Hall et al. (2005)은 영국 전역의 홍수 위험을 평가하기 위해 취약도 곡선을 적용하였다. 여기에서는 제방 붕괴 메커니즘을 월류와 비월류로 구분하고 각각의 메커니즘에 대해 한계상태함수를 정의하고, 불확실한 제방 특성(비탈면 경사, 흙의 마찰각, 필터재료의 상태 등)을 확률 변수로 설정했다. 또한 MCS를 통해 다양한 홍수위와 지속시간에 대해 실패 확률을 계산하고 이를 취약도 곡선으로 제시했다. Dawson et al. (2005)은 RASP 연구를 발전시켜 표본 기반 확률론적 방법(sampling-based probabilistic method)을 사용하여 제방 시스템의 신뢰도를 평가했다.

미국에서는 1993년 미시시피 대홍수와 2005년 허리케인 카트리나 이후 기존의 결정론적 접근법에서 벗어나 위험도 기반 의사결정 체계를 수립하였다. 미공병단(U.S. Army Corps of Engineers, USACE)은 제방과 댐 안전성 평가에 조건부 실패확률을 고려하도록 명시하였다(USACE, 2006). 이때 제방 단면의 한계상태를 시스템 응답곡선(System Response Curve, SRC) 형태로 표현하는데, 이는 외력(수위)과 실패확률 간의 관계를 나타내는 취약도 곡선의 개념과 동일하다. 또한 HEC-FDA (Flood Damage Analysis), HEC-WAT (Watershed Analysis Tool) 등의 해석 소프트웨어에 취약도 곡선을 내장하여 시스템 수준의 신뢰성 분석과 연간기대피해액(Expected Annual Damage, EAD) 산정에 활용하도록 하고 있다(USACE, 2018; 2020).

국내의 제방 안정성 평가에서는 아직 취약도 곡선이 적용되지 않지만, 관련 연구는 일부 수행되었다. Ahn and Han (2009)는 SEEP/W 프로그램을 이용하여 한계상태함수를 평균 근처에서 선형근사하고 평균과 분산만으로 실패확률을 추정하는 FOSM (First-Order Second-Moment) 기법을 적용하여 감천 제방의 침투 파괴 확률을 산정하였다. Cho (2022)는 사면 안정과 누수 안정성 해석에 간략법인 FOSM과 MCS를 적용하여 비교하였다. 그 결과 사면 안정은 확률변수인 전단강도 정수와 사면의 안전율이 비교적 선형의 관계를 갖고 있어 FOSM 방법과 Monte Carlo 모의가 유사한 결과를 보이나, 침투 해석에서는 확률변수인 투수계수와 유출 동수경사의 관계가 높은 비선형성을 갖기 때문에 FOSM 방법의 적용은 한계가 있음을 제시하였다. Cho (2023)는 침투해석과 연계된 사면안정 해석을 MCS로 수행하여 제방의 취약도 곡선을 제시하였다. 이를 통해 사면안정은 홍수위와 수위 하강 속도에 큰 영향을 받음을 제시하였다. Cho (2025)는 SEEP/W와 Slope/ w를 이용하여 Monte Carlo 모의를 적용하여 정상류 수위 상태에서 가상 제방 단면에 대해 누수와 활동 안정성의 확률론적 거동을 분석하였다. 여기서 효율적인 샘플링을 위해 LHS (Latin Hypercube Sampling) 기법을 적용하였다. 또한 제방 지층들 중 제체의 투수계수가 침투와 활동 안정성에 큰 영향을 미치는 것을 확인하였다.

기후변화로 제방 안정성에 대한 우려가 높아지면서 국내 제방 안정성 평가에도 취약도 곡선의 도입 필요성이 높아지고 있다. 그러나 국내 설계 실무에서 이를 적용하기에는 어려운 실정이다. 실무에서 주로 이용하는 SEEP/W는 침투해석에서 MCS를 지원하지 않으므로 별도의 자동화 기법의 적용이 필요하다. 또한 실제 홍수위 특성과 지반 특성을 고려한 국내 적용 사례도 많지 않아 실무적 적용에 어려움이 있다. 본 연구에서는 SEEP/W를 기반으로 실무 적용 가능한 취약도 곡선 산정 기법을 제시하고 실제 하천에 적용하여 국내 하천 제방에서 취약도 곡선 산정에서 고려할 사항을 도출하고자 한다.

2. 연구방법

2.1 SEEP/W 모형

본 연구에서는 요한요소법에 의한 침투해석과 MCS를 연계하여 제방의 흙 재료 투수계수의 불확실성에 따른 투수 안정성 평가 기법을 개발하여 적용하였다. 침투해석에는 국내 설계 실무에서 주로 이용되는 상용 프로그램 SEEP/W를 이용하였다. SEEP/W는 지반 내 지하수의 침투해석을 위한 유한요소 기반 프로그램으로, GeoStudio 패키지에 포함된 모듈이다. 이 모형은 지반의 수리적 특성(투수계수, 간극수특성곡선 등)을 고려하여 정상류와 부정류 침투 현상을 해석할 수 있으며, 댐, 제방, 차수벽 등 다양한 지반구조물의 안정성 평가에 활용된다. SEEP/W 모형에서 포화와 불포화 매질 내 정상류 침투 흐름의 지배방정식은 다음과 같이 Darcy 법칙과 연속방정식으로 기술된다.

여기서 q는 침투유량 벡터, h는 전체 수두, p는 전체수두에서 위치수두(z)를 제외한 압력수두, k(p)는 압력에 따른 투수계수이다.

불포화대의 비정상 상태 흐름 해석에서는 토양 내 수분의 저류 효과를 고려하여 다음과 같이 Richards 방정식으로 기술된다.

여기서 𝜃는 체적함수량, k(p)는 불포화 영역에서의 유효 투수계수이다.

SEEP/W에서는 불포화 영역(p<0)에서의 수리특성은 경험식으로 모델링하는데 본 연구에서는 다음과 같은 Van Genuchten 모델(Van Genuchten, 1980)을 적용하였다. 이 모델은 다양한 입도와 포화도 조건에서 적용성이 검증되어 있으며(GEO-SLOPE International Ltd., 2015), 국내외 침투해석 연구에서 표준모델로 활용되고 있다.

여기서 θs는 포화 함수량, θr은 잔류 함수량, 은 곡선 적합 매개변수, Se(p)는 유효 포화도, l는 연결 계수, ks는 포화 투수계수, kr(p)는 상대투수도이다.

2.2 확률변수의 모의발생

제방 침투 안정성 해석에서 흙재료의 특성은 현장 조건에 따라 큰 불확실성을 내포한다. 이러한 불확실성은 해석 결과에 직접적인 영향을 미치므로, 이를 정량적으로 평가하기 위해 확률론적 해석이 활용된다. 특히, MCS는 난수를 이용한 반복 시행으로 확률적 문제를 통계적으로 해석하는 방법으로, 비선형성이 크고 지반 물성 변동성이 높은 시스템에서 신뢰성 있는 해석 기법으로 알려져 있다. MCS에서는 지반 물성치를 확률변수로 정의하고, 이에 대한 통계 정보를 활용하여 모의 발생시킨 후, 이를 이용해 반복적인 수치해석을 수행한다. 각 수치해석 결과는 한계동수경사와 비교하여 제방의 안정성 지표로 환산되며, 반복 횟수가 충분히 크면 다음과 같은 통계적 결과를 도출할 수 있다.

여기서 Pf는 파괴 확률, Nf는 실패로 판정된 모의 횟수, N은 전체 모의 횟수이다.

본 연구에서는 제방 지층별 투수계수를 확률변수로하여 MCS 기반의 투수 안정성 해석 기법을 개발하였다. 제방 투수계수는 일반적으로 대수정규분포를 따르는 것으로 알려져 있으며(Freeze, 1975; Hoeksema and Kitanidis, 1985; Sudicky, 1986) 본 연구에서도 동일한 가정을 채택하였다. 투수계수의 불확실성 정도를 나타내는 변동계수(Coefficient of Variation, CV)는 선행연구에서 매우 다양한 범위로 보고되었다. Lumb (1975)는 최대 200~300%에 이르는 값을 보고하였고, Benson et al. (1999)은 50~200%를 제시하면서 일부 토양에서는 500 ~700%에 달할 수 있음을 언급하였다. Duncan (2000)과 Srivastava et al. (2010) 역시 60~90% 수준의 변동계수를 적용한 바 있으며, Griffiths and Fenton (1993)은 특정 조건에서 12.5~1,600%까지의 넓은 범위를 검토하였다. 이와 같이 투수계수는 높은 변동성을 갖고 있으나 국내에서 관련 자료의 부족으로 적합한 변동계수를 설정하기 어렵다. 이에 따라 본 연구에서는 국내 제방 해석에 적용된 Cho (2025)의 연구와 동일하게 변동계수를 100%로 가정하였다.

확률변수인 투수계수를 모의할 대수정규확률분포의 매개변수 추정에는 최대우도추정법(Maximum Likelihood Estimation, MLE)을 적용하였다. MLE는 관측된 데이터가 주어진 분포형 하에서 나타날 가능성을 가장 크게 만드는 매개변수를 추정하는 기법으로, 매개변수가 𝜇와 𝜎 두 개인 대수정규확률분포에 적용하기 위해서는 최소 두 개의 관측값이 필요하다. 하지만 앞서 가정한 것처럼 분포의 변동계수(CV)를 100%로 제한하면 𝜎가 lnCV2+1=ln(2)로 결정되고, 추정해야할 매개변수가 𝜇하나로 줄어 하나의 관측값만으로도 MLE를 이용한 매개변수 추정이 가능하다. 이제 관측값을 Ks라 할 때, 대수정규확률분포의 평균 𝜇는 MLE 추정 결과에 의해 ln(Ks)임을 해석적으로 계산할 수 있다. 따라서, 투수계수의 확률밀도함수(Probability Density Function, PDF)는 평균이 ln(Ks)이고 표준편차가 ln(2)인 대수정규확률분포라고 정의할 수 있으며, 이를 MCS의 입력확률변수의 분포로 활용할 수 있다. 예를 들어, Fig. 1과 같이 관측된 투수계수가 0.0035 라면, 이 관측값은 평균이 -5.655이고 표준편차가 0.833인 대수정규분포를 이루는 모집단에서 추출되었을 가능성이 가장 크다고 할 수 있다. 이 분포의 특징은 0.0035 보다 작은 값을 추출할 확률과 0.0035보다 큰 값을 추출할 확률이 0.5로 동일하다는 것이다.

Fig. 1.

Example of a log-normal probability distribution estimated from the observed Ks value

추정된 확률분포형을 이용해 난수를 생성하는 방법으로는 LHS를 사용하였다. LHS는 입력 변수 공간을 균등한 확률 구간으로 나누고, 각 구간에서 무작위로 하나의 샘플을 선택하여 모든 구간이 한 번씩 표본에 포함되도록 하는 계층적 샘플링 방법이다. 이 기법은 단순 무작위 샘플링보다 난수를 입력 공간에 더 고르게 배치할 수 있어, 고차원 모형의 민감도 분석 및 불확실성 분석에 효과적으로 활용된다(McKay et al., 1979). Fig. 2는 동일한 규모의 표본을 사용할 때 라틴 하이퍼큐브(LHS) 추출 방법과 단순 무작위 추출 방법이 실제 확률공간에 어떤 방식으로 분포하는지 보여준다. 동일한 규모의 표본규모에서 라틴 하이퍼큐브(LHS) 추출 방법이 단순 무작위 추출 방법에 비해 확률공간 상에 더 고르게 분포하는 것을 알 수 있다. 그림에서처럼 확률공간에서 추출된 난수를 모형의 입력자료에 사용하기 위해 역함수를 이용하여 목표 확률분포형을 갖는 실제 변수 공간으로 역변환 한다. LHS는 이러한 과정을 통해 좀 더 확률공간에 고르게 분포하는 확률변수를 만들어 낼 수 있다.

Fig. 2.

Conceptual comparison of Latin hypercube sampling and simple random sampling

2.3 파괴 확률에 대한 신뢰구간 추정

파괴 확률은 이항 분포에서의 비율 추정 문제로 환원할 수 있으며, 이때 모수에 대한 신뢰구간(Confidence Interval, CI)을 추정하는 가장 기본적이고 널리 사용되는 방법 중 하나는 Wald 신뢰구간(Wald interrval)이다(Wald, 1943). 이 방법은 중심극한정리를 이용하여 이항 분포를 정규분포로 근사하는 방식을 기반으로 한다. 이항 확률 변수 X~Bin(n,p)는 평균 μ=np, 분산 σ2=np(1-p)를 갖는다. 이때 n은 표본이 수, p는 모 비율이다. 이에 따라 표본 비율 p^=Xn는 다음 식과 같은 평균과 분산을 갖는 확률변수로 근사할 수 있다.

이때, 중심극한정리에 의하면, n 이 충분히 클 때 표본 비율 p^는 다음 식과 같이 정규분포에 근사하게 된다.

따라서, 이 분포를 기반으로 신뢰구간을 설정하면, 다음과 같은 부등식이 성립한다.

따라서, p에 대한 (1-𝛼)×100% 신뢰구간은 다음 식으로 나타낼 수 있다.

여기서, CIwald는 Wald 신뢰구간, zα/2는 신뢰수준에 해당하는 표준정규분포의 상위 분위수(예: 95% 신뢰수준일 경우 z0.0025=1.96)를 의미한다.

3. SEEP/W 기반 확률론적 침투 해석 자동화 기법

SEEP/W를 기반으로 흙 재료 투수계수의 불확실성을 고려한 확률론적 침투 해석을 자동화하기 위하여 Python 기반의 해석 자동화 프로그램을 개발하였다. 개발된 프로그램은 SEEP/W와 연계하여 작동하며, 사용자가 지정한 입력자료를 기반으로 MCS를 수행하고, 결과를 자동으로 수집·분석·시각화한다. 지반의 포화·불포화 투수계수에 대한 불확실성을 반영하기 위해 로그정규 분포를 가정하고, LHS 기법을 통해 난수 샘플을 생성함으로써 효율적이고 안정적인 확률분석이 가능하도록 설계하였다(Fig. 3).

Fig. 3.

Workflow of automated probabilistic seepage analysis with SEEP/W

MCS 기반 침투 해석 자동화 프로그램의 구조는 ① 해석 설정, ② 입력 파일 로딩 및 LHS 샘플링, ③ MCS 기반 침투 해석 실행, ④ 결과 저장 등으로 구성되며 각 부분의 상세 구조와 기능은 아래에 제시하였다. 해석 과정에서 모의는 전체 계산 영역에서 수행되나, 결과표출은 사전에 지정된 유출 동수경사 발생 지점에서만 제시한다. SEEP/W의 해석결과는 프로그램에서 지원하는 API 함수를 통해 접근이 가능하나, API 함수 호출 시에 라이센스 유효성 확인으로 과도한 시간이 소요되어 계산 효율이 매우 저하되는 문제가 발생한다. 본 연구에서는 계산 효율성을 고려하여 API 함수 호출 없이 사전에 설정된 유출 동수경사 발생지점에 대해서만 동수경사 계산결과를 표출하도록 구성하였다.

① 해석 설정

해석 설정에서는 SEEP/W 해석과 MCS에서 필요한 파일과 매개변수를 지정한다. SEEP/W 해석을 위한 입력파일(gsz 파일)은 사용자가 우선 생성한다. 이때 설정된 투수계수(Ks)는 지반조사결과에 따라 설정하므로 현장관측값으로 간주한다. 생성된 gsz 파일로 SEEP/W 해석을 최초 1회 수행하여 유출 동수경사가 발생하는 지점의 노드 ID와 좌표값을 해석 설정 파일에 입력한다. MCS를 위한 시행회수(n)와 포화 투수계수의 변동계수(CV)를 설정한다. MCS를 수행하는 작업은 gsz 파일과 노드 정보로 정의된다. 이를 통해 복수의 제방 단면과 수위에 대해서도 배치 작업을 수행하도록 구성하였다.

② 입력 파일 로딩 및 LHS 샘플링

프로그램은 압축 파일 형식의 SEEP/W 입력 파일(gsz 파일)을 해제한 후 XML 구조를 탐색하여 토층과 투수계수를 추출한다. 자동으로 인식된 토층별 포화 투수계수를 관측값으로 간주하여 토층별로 MCS 시행회수만큼 샘플을 생성한다. 투수계수 샘플링은 토층별 포화 투수계수의 관측값으로부터 추정된 로그정규확률분포를 이용하여 수행한다. 먼저, 토층의 수와 동일한 차원을 갖는 확률공간을 샘플링 수에 따라 균등하게 분할하고, 전체 구간에 대해 LHS (Latin Hypercube Sampling) 방식으로 난수를 추출한다. 이후, 로그정규확률분포에 대한 누적분포함수의 역함수(Inverse CDF)를 적용하여 난수를 투수계수 값으로 변환함으로써 주어진 샘플링 수에 해당하는 샘플 집합을 생성한다.

③ MCS 기반 침투 해석 실행

샘플링된 토층별 포화 투수계수에 대한 침투 해석을 수행한다. 우선 샘플링된 포화 투수계수에 따라 투수함수는 van Genuchten 함수로 재구성되며, 각 토층별 투수계수가 반영된 새로운 투수 함수곡선이 XML 트리에 삽입된다. 이와 같이 재구성된 gsz 파일은 GeoStudio의 커맨드라인 도구(GeoCmd.exe)를 통해 자동 실행된다. 해석은 정상류 및 부정류(Transient Seepage) 모드에서 수행 가능하며, 프로그램은 마지막 시간 단계의 출력 파일(node-1i.csv)만을 추출하여 분석한다. 출력 파일로부터 각 노드의 간극수압(Pore Water Pressure, PWP)을 읽어 수두를 계산하고, 이를 바탕으로 동수경사를 산정한다. 동수경사 계산은 지정된 최소 4개 노드를 삼각형 조합으로 구성하여 평균 및 최대 연직 방향 동수경사를 계산한다.

④ 결과 저장

1개 작업에 대한 MCS가 완료되면 샘플링된 토층별 포화 투수계수, 평균 동수경사, 최대 동수경사가 기록된 텍스트 파일이 생성되며 각 결과에 대한 히스토그램 파일이 함께 생성된다. 계산된 유출 동수경사를 한계동수경사와 비교하여 실패 회수를 계산할 수 있다.

4. 취약도 곡선 산정 기법 시험 적용

4.1 적용 대상 및 해석 조건

개발된 자동화 프로그램의 적용성을 평가하기 위하여 미호강의 실제 제방 단면에 적용하였다. 본 연구에서는 홍수위 지속시간을 가정하여 적용하므로 제시된 취약도 평가 결과는 실제 제방 안정성과 부합하지는 않는다. 다만, 실제 규모의 제방에서 나타나는 거동 해석에는 의미가 있다고 판단된다.

미호강 제방 단면 중 총 4개(TS01~TS04)를 선정하여 SEEP/ W 입력 자료를 구성하였다(Fig. 4). 토층별 투수계수는 대수정규분포로 가정하고 변동계수는 100%로 설정하였다. 부정류 조건 모의에서는 초기 지하수위 조건과 홍수위 지속시간이 중요하다. 본 연구에서 모의 단면별 일관된 조건 유지를 위해 초기 지하수위 조건은 2년 빈도 홍수위에 의해 형성되는 침윤선으로 설정하고 각 홍수위는 24시간 유지되는 조건으로 설정하였다. 초기 지하수위 조건은 선행 강우에 의한 영향을 고려하기 위해 설정했으며, 홍수위 지속시간은 국내 실무 제방 침투 해석에서 일반적으로 적용되는 시간으로 설정하였다.

Fig. 4.

Configuration of SEEP/W input data (TS01)

통계학적 “대수의 법칙(Law of Large Numbers)”에 따르면, MCS의 결과는 시행 횟수가 증가할수록 결과의 신뢰도가 향상된다. 하지만, SEEP/W 모형은 계산 시행마다 라이센스 유효성 검증으로 많은 시간이 소요되므로 실무적인 적용을 위해서 어느 정도 타협이 필요하다. 본 연구에서는 시행회수를 200회로 설정하였다. 이는 Wald의 방법으로 신뢰구간을 추정할 때, 신뢰수준 95%에서 최대 ±6.9%의 신뢰구간 폭을 제공하는 조건에 해당한다. 이 경우 샘플링되는 포화 투수계수는 TS01 단면에서 각 층별로 Fig. 5와 같이 나타나는데 로그정규분포에 따라 적절하게 샘플링되는 것으로 판단된다.

Fig. 5.

LHS sampling results for Ks

4.2 결정론적 방법에 의한 정상류와 부정류 해석 결과 비교

우선 TS01 단면의 설계홍수위에 대해 투수계수가 관측값으로 고정된 상태에서 SEEP/W 해석을 정상류와 부정류 상태에서 수행하였다. 그 결과를 침윤선과 동수경사로 도시하면 Fig. 6과 같다. 정상류 해석 결과는 홍수위가 지속적으로 유지되는 조건이므로 침윤선이 홍수위에서 유출 동사경사가 나타나는 뒷비탈기슭까지 직선에 가깝게 형성된 것을 확인할 수 있다(Fig. 6(a)). 반면에 부정류 조건에서는 침윤선이 초기에는 제방 앞비탈과 제체 하부에서 형성되며 지속시간이 증가하면서 제체 내부에서 상승하는 양상을 보인다(Figs. 6(b)~6(d)). 이로 인해 정상류 해석 결과의 동수경사는 부정류 해석에 비해 크게 나타나며, 이 차이는 투수계수가 작을수록 크게 나타난다.

Fig. 6.

SEEP/W analysis results (TS01)

4.3 MCS 적용에 의한 정상류와 부정류 해석 결과 비교

TS01 단면에서 4개 지층에 대해 LHS로 생성된 투수계수로 정상류 및 부정류 조건에서 MCS를 시행하였다. 정상류 조건에서 수위별 시행결과를 유출 동수경사의 발생빈도로 표시하면 Fig. 7과 같다. 여기서 수위 27.42 m, 28.17 m, 28.36 m, 28.66 m 등은 각각 30년, 100년, 계획, 200년 등의 빈도 홍수위를 나타낸다. 정상류 조건에서는 유출 동수경사의 발생빈도가 특정 비율 주변에 집중된 형태로 나타나며 수위가 증가함에 따라 중심축은 이동하나 분포 형태는 유사한 형태를 유지한다.

Fig. 7.

PDFs of exit gradients under steay state (TS01)

부정류 조건에서 MCS 시행에 따른 침투 해석결과 중 일부를 도시하면 Fig. 8과 같다. 지층별로 랜덤하게 생성된 투수계수에 따라 침윤선과 동수경사가 상이한 양상을 보이며 이에 따라 뒷비탈기슭에서 유출 동수경사가 형성되는 양상을 확인할 수 있다. 부정류 조건에서 수위별 유출 동수경사의 발생빈도를 도시하면 Fig. 9와 같다. 부정류 조건에서는 유출 동수경사의 분포가 넓게 나타나며 다소 불규칙한 형태를 보인다. 즉, 지층별 투수계수 변동에 따른 유출 동수경사의 불확실성이 높게 나타남을 확인할 수 있다.

Fig. 8.

Hydraulic gradients under transient conditions using MCS (TS01)

Fig. 9.

PDFs of exit gradients under transient conditions (TS01)

정상류와 부정류 조건에서 수위별 유출 동수경사와 한계동수경사 비교를 통해 파괴 확률을 산정하여 도시하면 Fig. 10과 같다. 정상류 조건에서는 수위 증가에 따라 S 자 형태의 파괴 확률 곡선이 잘 나타나고 있으나 부정류 조건에서는 수위 증가에 따라 파괴 확률이 점진적으로 증가하는 형태를 보이고 있다. 정상류 조건의 파괴 확률 곡선은 부정류 조건에 비해 파괴 확률을 과대 산정하며 수위에 따른 파괴 확률의 거동이 상이함을 확인할 수 있다. Fig. 10에서 CI는 앞서 제시한 Wald의 방법으로 추정한 파괴 확률의 신뢰구간이다(Eq. (12)).

Fig. 10.

Failure probabilities for steady-state and transient conditions (TS01)

5. MCS 적용 결과

5.1 제방 단면 특성 및 파괴 확률

앞서 제시한 TS01을 포함하여 미호강 4개 제방 단면(TS01 ~TS04)을 선정하여 MCS를 적용하여 부정류 조건에서 침투 파괴 확률을 산정하였다. 4개 단면에 대해 침투 파괴에 영향을 미치는 인자(단면 형상, 포화투수계수, 침윤선 특성)와 설계홍수위에 대한 파괴 확률을 정리하여 제시하면 Table 1과 같으며 각 인자의 정의는 Fig. 11을 참고할 수 있다. 여기서 제방고는 둑마루(crest) 표고와 뒷비탈기슭(land side toe)의 최하 표고의 차이로 정의하였다. 침윤선 수두(head at toe)는 설계홍수위와 뒷비탈기슭의 최하 표고의 차이이며, 침윤선 길이는 설계홍수위와 앞비탈의 접점에서 뒷비탈기슭 최하 표고점까지의 직선거리를 나타낸다. 투수계수는 제방 침투에 직접적인 영향을 미치는 제체 토층과 제체 하부 토층의 투수계수에 대해서만 제시하였다. 참고로 4개 지점 모두 결정론적 침투 해석에 의하면 누수 안정성이 ‘안정’으로 평가되는 지점이다.

Fig. 11.

Levee cross-section geometry and phreatic Line

TS01은 둑마루 폭이 좁고 제방 비탈경사가 높은 편이며, 제체하부의 투수계수가 높다. 침윤선 수두와 길이는 각각 4.39 m와 23.06 m로 중간 정도의 값을 나타내는데 설계홍수위에서 파괴 확률은 8.5%로 산정되었다. TS02는 제방고는 높고 둑마루 폭이 좁으나 제체 하부의 투수계수가 낮은 편이다. 침윤선 수두가 5.18 m로 높으나 침윤선 길이는 25.91 m로 긴 편으로 파괴 확률은 1.5%로 낮게 산정되었다. TS03은 제방고가 낮고 둑마폭이 높으며 비탈경사도 완만하나, 제방 하부 투수계수가 다소 높으며 침윤선 길이가 짧다. 설계홍수위에서 파괴 확률은 33.0%로 나타났다. TS04는 제방고와 둑마루폭 모두 크며 뒷비탈 경사가 급하다. 제체의 투수계수는 낮으나 제체 하부의 투수계수는 높으며, 침윤선 수두가 낮고 침윤선 길이가 길다. 설계홍수위에서 파괴 확률은 0.0%로 산정되었다. 이상과 같이 유사한 침윤선 수두와 길이에도 제체와 제체 하부의 투수 계수에 따라 파괴 확률은 상이한 결과를 보인다.

5.2 단면별 적용 결과 분석

제방 특성에 따른 파괴 확률 특성을 검토하기 위하여 단면별 MCS 해석 결과를 침투해석 결과, 수위별 취약도 곡선, 수위별 유출 동수경사의 확률밀도함수(Probability Density Function, PDF) 및 누적 확률분포함수(Cumulative Distribution Function, CDF)에 대해 도시하면 Figs. 12, 13, 14, 15와 같다.

Fig. 12.

MCS analysis results for levee cross-section TS01

TS01는 유출 동수경사가 발생하는 뒷비탈기슭이 제내지 표고에 비해 낮은 곳에 위치하며(Fig. 12(a)), 제체 투수계수보다 제체 하부 투수 계수가 크다. 해석 결과, 홍수위 28.03 m 이상에서 수위 상승에 따라 파괴 확률이 거의 선형적으로 증가한다(Fig 12(b)). 유출 동수경사 PDF (Fig. 12(c))는 수위가 낮을 때는 유출 동수경사가 비교적 좁은 범위에 집중되어 분포의 첨두가 뚜렷하게 나타나는 분포를 보이나, 수위가 증가함에 따라 분포는 점차 평탄화되면서 최빈값이 오른쪽에 형성되는 음의 왜도(skewness)를 보인다. 유출 동수경사 CDF (Fig. 12(d))는 낮은 수위에서는 누적확률밀도가 급격히 증가하여 대부분의 시행 결과가 낮은 유출 동수경사에 집중되고, 높은 수위에서는 누적확률밀도 상승이 완만해지는 경향을 보인다.

TS02는 뒷비탈기슭 왼쪽에 작은 둔덕이 형성되어 있으며(Fig. 13(a)), 제체 투수계수가 제제 하부 투수계수보다 크며 침윤선 수두와 길이가 모두 큰 편이다. 해석 결과, 홍수위 28.8 m까지 파괴 확률은 느리게 증가하나 그 이후에는 선형으로 급하게 증가하는 양상을 보인다(Fig. 13(b)). 유출 동수경사 PDF (Fig. 13(c))은 수위가 낮을 때는 좁은 범위에 집중되어 분포의 첨두가 뚜렷하게 나타나는 분포를 보이고, 수위가 증가함에 따라 분포는 점차 평탄화되면서 최빈값이 오른쪽으로 이동하는 경향을 보인다. 그러나 TS01과 같이 음의 왜도가 뚜렷하게 나타나지는 않는다. 유출 동수경사 CDF (Fig. 13(d))은 TS01과 같이 낮은 수위에서는 누적확률밀도가 급격히 증가하고 높은 수위에서는 누적확률밀도 상승이 완만해지는 경향을 보인다.

Fig. 13.

MCS analysis results for levee cross-section TS02

TS03는 뒷비탈기슭과 제내지가 수평으로 연결되는 전형적인 제방 단면을 나타내며(Fig. 14(a)), 제체 투수계수와 하부 투수계수의 차이가 작고, 침윤선 수두와 길이도 모두 작은 편이다. 해석 결과, 최소 홍수위인 20년 빈도 수위인 27.67 m부터 제방고 인근 홍수위까지 거의 선형적인 파괴 확률 증가 양상을 보인다(Fig. 14(b)). 유출 동수경사 PDF (Fig. 14(c))는 수위가 낮을 때는 분포의 첨두가 뚜렷하게 나타나고 수위가 증가함에 따라 분포는 점차 평탄화되면서 최빈값이 오른쪽으로 이동하는 경향을 보인다. 그러나 최고 수위까지 양의 왜도를 유지하는 특성을 보인다. 유출 동수경사 CDF (Fig. 14(d))는 앞서와 같이 낮은 수위에서는 누적확률밀도가 급격히 증가하고 높은 수위에서는 누적확률밀도 상승이 완만해지는 경향을 보인다.

Fig. 14.

MCS analysis results for levee cross-section TS03

TS04는 설계홍수위에서 파괴 확률이 0인 단면으로 뒷비탈기슭에 소단이 있으며(Fig. 15(a)), 제체의 투수계수는 높으나 하부층 투수계수는 낮다. 침윤선 수두는 작으며 침윤선 길이는 매우 긴 편이다. 유출 동수경사 PDF (Fig. 15(c))는 TS03과 같이 수위가 증가함에 따라 평탄화하며 최빈값이 오른쪽으로 이동하는 특성을 보이며 양의 왜도를 유지한다. 유출 동수경사 CDF (Fig. 15(d))도 TS03과 같이 낮은 수위에서는 누적확률밀도가 증가하고 높은 수위에서는 누적확률밀도 상승이 완만해지는 경향을 보인다.

Cho (2025)에 따르면 수위가 낮은 경우 유출 동수경사의 확률분포는 상대적으로 좁고 첨예한 피크를 보이며, 수위가 증가함에 따라 분포가 평탄화되면서 최빈값의 위치가 오른쪽으로 이동하는 특성을 보인다. 본 연구의 PDF 결과 또한 이와 유사하게, 저수위에서는 단일 피크 중심의 좁은 분포, 고수위에서는 분산 확대로 인한 평탄한 분포가 나타났다. 따라서 본 연구의 PDF 형태는 기존 연구 결과와 부합하며, 수위 상승에 따른 불확실성 증가를 합리적으로 반영하는 것으로 보인다.

Fig. 15.

MCS analysis results for levee cross-section TS04

6. 요약 및 결론

본 연구는 SEEP/W를 이용한 제방 침투 안정성 해석과 MCS를 연계하여 제방의 누수 취약도 곡선 작성기법을 개발하고 실제 국내 하천 제방 단면에 적용하였다. 이를 통해 제방 침투 거동에 내재된 불확실성이 실제 파괴확률에 어떠한 방식으로 반영되는지를 정량적으로 분석하였다는 점에서 의미가 있다. 본 연구의 결과를 요약하면 다음과 같다.

(1) 기존의 SEEP/W는 단일 해석을 수행하는 데에는 유용하나, 불확실성을 반영한 다수 반복 계산에는 비효율적이라는 한계가 있었다. 이를 보완하기 위하여 Python 기반의 자동화 프로그램을 개발하였으며, SEEP/W 입력 자료(gsz 파일)를 직접 수정하고, LHS 기반으로 난수를 발생시켜 각 층별 투수계수를 샘플링할 수 있도록 하였다. 개발된 프로그램은 입력 자료 로딩 - 난수 샘플링 - MCS 기반 해석 실행 - 결과 저장 및 시각화의 과정을 일괄적으로 수행할 수 있으며, 이를 통해 국내 실무에 적용할 수 있다.

(2) 미호강 제방의 4개 단면(TS01~TS04)에 대해 MCS 기반 침투 해석을 수행한 결과, 제체 및 하부 지반의 투수계수, 침윤선 길이와 수두, 제방 형상(둑마루 폭, 비탈면 경사 등)이 파괴 확률에 영향을 미침을 확인하였다. 예를 들어, TS03은 낮은 제방고와 짧은 침윤선 길이로 인해 가장 높은 파괴 확률(33.0%) 을 보였으며, 반대로 TS04는 긴 침윤선 길이와 낮은 침윤선 수두로 인해 설계홍수위에서 파괴 확률이 0% 로 나타났다. 이와 같이 단면별 물리적 특성 차이는 동일한 홍수위 조건에서도 파괴 확률에 큰 차이를 발생시켰으며, 이는 확률론적 접근의 필요성을 보여준다.

(3) 모든 단면에서 공통적으로, 저수위에서는 PDF가 뚜렷한 피크를 보이며 유출 동수경사가 좁은 범위에 집중되었다. 반면, 고수위에서는 PDF가 점차 평탄화되며 최빈값의 위치가 우측으로 이동하는 특성을 보였다. 이는 기존 연구 결과와 부합하는 결과로 본 연구에서 개발된 기법이 수위 상승에 따른 불확실성 증가를 합리적으로 반영하는 것으로 보인다.

본 연구에서 제안한 취약도 기반 침투 안정성 평가기법은 국내 제방의 정기점검, 정밀점검, 보강 우선순위 선정 절차에 연계하여 활용할 수 있다. 현재 제방의 침투 안정성을 주로 결정론적 안전율 또는 침윤선 검토를 통해 평가하고 있으나, 이러한 지표는 재료 불확실성과 단면별 취약도를 정량적으로 반영하지 못하는 한계가 있다. 본 연구에서 산정한 취약도 곡선은 수위 조건에 따른 파괴확률을 정량적으로 제시하므로, 제방 단면 간 상대적 취약도 비교가 가능하며 정기점검 단계에서 위험 단면의 지표로 활용될 수 있다. 또한 정밀점검 및 정밀안전진단 단계에서는 지반 자료와 연계하여 파괴확률 기반의 위험등급을 부여함으로써 보강 필요성에 대한 객관적 판단 근거를 제공한다. 또한 동일한 설계홍수위 조건에서 상대적으로 높은 파괴확률을 나타내는 단면을 우선순위로 선정할 수 있어 예산 배분의 효율성을 높일 수 있다. 따라서 본 연구에서 제시한 취약도 기반 평가 기법은 기존의 경험적·결정론적 점검 체계를 보완하여, 위험도 기반의 제방 관리에 기여할 수 있다.

다만, 본 연구는 제방 침투 안정성에 중요한 영향을 미치는 초기 수위와 홍수위 지속 시간에 대해서 적용 지점의 수문학적 특성을 충분히 고려하지 못하는 한계를 가진다. 향후 연구에서는 부정류 홍수위 조건의 정형화와 다양한 제방 단면의 평가를 통해 적용성을 확대할 필요가 있다.