Calculation of optimal design flood using cost-benefit analysis with uncertainty

Sang Ug Kim; Kwang Bae Choi

doi:10.3741/JKWRA.2022.55.6.405

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Journal of Korea Water Resources Association. 30 June 2022. 405-419
https://doi.org/10.3741/JKWRA.2022.55.6.405

Calculation of optimal design flood using cost-benefit analysis with uncertainty

불확실성이 고려된 비용-편익분석 기법을 도입한 최적설계홍수량 산정

Sang Ug Kim^a

Kwang Bae Choi^b^*

김 상욱^a

최 광배^b^*

^aProfessor, Department of Civil Engineering, Kangwon National University, Chuncheon, Korea

^bSenior Manager, KHNP Hydro-Power Research & Development Training Center, Gapyung, Korea

^a강원대학교 공과대학 건축토목환경공학부 교수

^b한국수력원자력 수력처 수력연구교육센터 차장

^{*Corresponding Author}

ABSTRACT

Flood frequency analysis commonly used to design the hydraulic structures to minimize flood damage includes uncertainty. Therefore, the most appropriate design flood within a uncertainty should be selected in the final stage of a hydraulic structure, but related studies were rarely carried out. The total expected cost function introduced into the flood frequency analysis is a new approach for determining the optimal design flood. This procedure has been used as UNCODE (UNcertainty COmpliant DEsign), but the application has not yet been introduced in South Korea. This study introduced the mathematical procedure of UNCODE and calculated the optimal design flood using the annual maximum inflow of hydroelectric dams located in the Bukhan River system and results were compared with that of the existing flood frequency. The parameter uncertainty was considered in the total expected cost function using the Gumbel and the GEV distribution, and the Metropolis-Hastings algorithm was used to sample the parameters. In this study, cost function and damage function were assumed to be a first-order linear function. It was found that the medians of the optimal design flood for 4 Hydroelectric dams, 2 probability distributions, and 2 return periods were calculated to be somewhat larger than the design flood by the existing flood frequency analysis. In the future, it is needed to develop the practical approximated procedure to UNCODE.

Keywords

UNCODE

Cost-benefit analysis

Total expected cost function

Uncertainty

Hydroelectric dam

홍수피해를 최소화하기 위한 수공구조물의 적정 규모 결정을 위해 사용되는 홍수빈도분석에는 통계적 분석절차에 따른 불확실성이 포함된다. 따라서 불확실성이 포함된 범주 내에서 가장 적절한 설계홍수량(design flood)을 결정하는 과정은 수공구조물의 최종단계에서 중요하게 다루어져야 하는 부분이나 이를 제시한 연구는 많지 않다. 비용-편익 분석기법을 홍수빈도분석 절차에 도입하여 구성되는 총 기대비용함수(total expected cost function)는 설계홍수량 중 최적설계홍수량(optimal design flood)을 결정하기 위한 새로운 접근방식이다. 이 절차는 UNCODE (UNcertainty COmpliant DEsign)로 명명되어 사용된 바 있으나, 국내에서는 아직 적용 결과가 소개되지 않고 있다. 따라서 본 연구에서는 UNCODE의 수학적 구성 절차를 소개함과 함께 북한강수계에 위치한 수력발전댐(화천댐, 춘천댐, 의암댐, 청평댐)의 연최대유입량을 사용하여 최적설계홍수량을 산정하고 이 결과를 기존 홍수빈도분석 결과와 비교하였다. 불확실성이 고려된 총 기대비용함수로부터 확률분포함수들(Gumbel 및 GEV)의 모수를 추출하는 과정에서 Metropolis-Hastings 알고리즘을 사용하여 불확실성의 범위를 추정하였으며, 비용-편익 분석기법에 사용되는 비용 및 피해함수는 수학적 구성의 편의성을 위하여 1차 선형함수로 가정되었다. 4개의 발전용댐, 2개의 확률분포 및 2개의 재현기간에 대하여 최적설계홍수량의 중앙값이 기존 홍수빈도분석 절차에 의해 산정된 설계홍수량보다 일정 정도 큰 값으로 산정됨을 알 수 있었다. 향후에는 본 연구에서 적용된 절차를 간단한 수식형태로 함수화하여 발전용댐 운영의 실무업무나 하천기본계획의 수립 등에 있어 비용-편익분석 기법의 적용성을 높이기 위한 연구가 필요할 것으로 판단된다.

키워드

UNCODE

비용-편익 분석

총 기대비용함수

불확실성

수력발전댐

MAIN

1. 서 론
2. 이론적 배경
2.1 대상자료의 선정 및 홍수빈도분석의 주요 절차
2.2 비용-편익 분석으로부터 최적설계홍수량의 개념
2.3 총 기대비용함수를 구성하는 함수들의 구성
2.4 불확실성이 고려된 총 기대비용함수 및 Metropolis-Hastings 알고리즘
3. 적용 결과
3.1 대상유역 및 분석자료의 특성
3.2 모수추정 및 설계홍수량 산정 결과
3.3 Metropolis-Hastings 알고리즘 수행 결과 및 모수의 불확실성
3.4 비용-편익 분석을 도입한 최적설계홍수량 산정 결과
4. 결 론

1. 서 론

홍수빈도분석은 수공구조물의 설계 및 운영에 필수적인 설계홍수량을 산정하기 위한 보편적이면서도 과학적인 수단으로 활용되고 있다. 홍수빈도분석을 통해 산정된 설계홍수량은 특정한 수공구조물마다 사전에 선정된 재현기간에 따라 최종적으로 결정된다. 설계홍수량은 자료의 수집으로부터 시작하여 빈도모형의 선정 및 모수의 추정과 같은 통계적 과정에 의해 결정되므로, 합리적인 설계홍수량을 산정하기 위해서는 통계적 과정에서 발생되는 불확실성에 대한 정보를 정확히 이해할 필요가 있다.

불확실성은 일반적으로 무작위적(aleatory)인 원인과 인식가능한(epistemic) 원인에 의해 발생되며, 과학적 분석수단을 이용하여 인식가능한 불확실성은 최대한 조정되어야 정확한 측정값을 이용한 결과를 산정할 수 있다(De Michele and Rosso, 2001; Lee and Kim, 2008). 미국 공병단(US Amy Corps of Engineers, USACE)에서는 1990년부터 불확실성을 도입한 홍수빈도분석에 대한 연구를 통해 수공구조물의 설계에 있어서 불확실성이 어떠한 영향을 미치는지에 관한 다양한 분석을 수행하고 이를 가이드라인으로 제시하고 있다(USACE, 1996). 그러나 홍수빈도분석의 각 요소를 통해 정량화되어 전파된 불확실성의 범위로부터 어떤 값을 최종적으로 선정하여 구조물 설계에 활용해야 하는지에 관한 실용적 관점에서의 설계홍수량 결정에 관한 구체적인 내용은 아직도 제공되지 못하고 있다(Davis et al., 2008).

강우빈도분석에 기반한 국내에서의 설계홍수량 산정에 있어서도 재현기간은 80년, 100년, 200년 등으로 구분되어 국가하천 또는 지방하천의 여부에 따라 주관적으로 결정되고 있다. 또한 홍수량 산정 절차에 있어서 몇 가지 조합을 통해 최종적으로 산정된 홍수량 중 가장 적절해 보이는 홍수량 중 하나를 기존에 사용되던 설계홍수량과 비교하여 설계홍수량으로 결정하고 있다. 따라서 설계홍수량 산정에 있어서는 자료에 의한 불확실성, 확률분포형의 선정에 의한 불확실성, 모수추정에 의한 불확실성, 재현기간 선정에 의한 불확실성 등이 인입되어 있으며, 이러한 불확실성을 고려하여 가장 적절한 설계홍수량을 선정해야 한다. 그러나 설계홍수량의 결정은 특정 지침에 따라 일괄적으로 결정되거나 해당 구조물의 설계 당시의 사회경제적 여건을 통해 주관적으로 결정되고 있는 형편이다. 이와 같은 문제점을 해결하기 위한 방법으로 최근 비용-편익 분석기법을 홍수빈도분석에 도입하여 최종적인 설계홍수량을 산정하기 위한 과학적 절차가 제시된 바 있다.

Botto et al. (2014)은 기존 홍수빈도분석 절차에 비용-편익 분석에 활용되는 다양한 함수들을 도입하는 모형을 제안하였다. 이 연구에서는 비용-편익 분석을 위해 사용되는 피해함수(damage function), 비용함수(cost function)로부터 추정된 기대피해함수(expected damage function)를 이용하여 총 기대비용함수(total expected cost function)를 유도하였으며, 총 기대비용함수의 최소값에 해당되는 홍수량을 최적설계홍수량(optimal design flood)로 결정하도록 제안한 바 있다. 또한 Botto et al. (2017)은 기존 연구에서 제시된 불확실성이 고려된 비용-편익분석기법에 의한 최적설계홍수량 산정을 위한 간편식을 제안한 바 있다. 또한 Kim and Lee (2021)는 비용-편익분석 기법을 도입한 최적설계홍수량을 한강수계에 적용하여 최적설계홍수량과 기존의 설계홍수량을 비교 분석하는 등 관련 연구가 지속되고 있다.

본 논문에서는 아직까지 국내에 소개되지 않은 불확실성을 고려한 비용-편익 분석기법절차를 홍수빈도분석 기법으로 도입하기 위한 Botto et al. (2014)의 불확실성 적용 설계(UNcertainty COmpliant DEsign, UNCODE)절차의 이론적 전개를 소개하였다. 또한 불확실성을 발생시키는 다양한 원인 중에서 확률분포모형과 모수추정에 의한 불확실성에 초점을 맞추어 불확실성을 고려한 각종 수공구조물 설계기법의 도입이 필요함을 제안하였다. 본 논문에서는 북한강수계에 위치한 수력발전댐들(화천댐, 춘천댐, 의암댐, 청평댐)의 연최대유입량자료를 사용하여 기존의 홍수빈도분석 결과에 따라 산정된 설계홍수량과 UNCODE 절차에 따라 산정된 최적설계홍수량을 비교하였다. 수력발전댐 유입량 자료를 이용한 설계홍수량에 관한 연구 결과는 향후 수력발전댐의 치수적 측면에서의 운영과 댐 제체의 안정성 등 실무적 분야에서의 활용이 가능할 수 있을 것으로 판단되며, 최근 기후변화로 인해 발생되는 홍수 특성의 변화에 대해서도 불확실성을 반영할 수 있으므로 기후변화를 고려한 북한강수계 수력발전댐의 미래 운영방향의 계획에 있어서도 활용성이 있을 것으로 판단된다.

2. 이론적 배경

2.1 대상자료의 선정 및 홍수빈도분석의 주요 절차

표준적인 홍수빈도분석의 시행에 있어 첫 번째 단계는 대상자료를 선정하는 것이다. 표준적인 홍수빈도분석의 시행에는 수위관측소에서 관측된 수위를 유량으로 전환한 유량자료나 연속적으로 관측된 유량자료가 사용된다(Rao and Hamed, 2000). 우리나라는 수위관측소가 충분하지 않고 관측된 유량자료의 길이가 짧으며 과거 자료 중에는 결측 및 오측된 자료가 상당수 포함되어 있다. 따라서 국내의 경우 하천기본계획 등의 법정계획의 시행에 있어 유량자료를 직접 이용한 홍수빈도분석은 사용되지 않고 있으며 자료의 길이와 정확도가 유량자료보다 안정적인 강우자료를 이용하여 재현기간별 설계강우량을 산정한 이후, 이를 특정 홍수량 산정 절차를 거쳐 설계홍수량으로 전환하여 사용하고 있다(Jung and Yoon, 2020). 본 연구에 있어서는 발전용댐의 유입량을 대상으로 연구를 진행하므로 저수위로부터 역산된 유입량을 직접 사용하여 홍수빈도분석을 수행하므로, 별도의 강우빈도분석이나 홍수량 산정절차는 필요없다. 홍수빈도분석의 수행을 위한 자료의 선정에 있어 고려해야 하는 또 하나의 문제는 어떤 종류의 시계열 자료를 사용할 것인지를 결정하는 것이다. 홍수빈도분석에 있어서는 연최대시계열(annual maximum series) 또는 부분시계열(partial duration series)을 모두 사용하거나 이 중 하나를 선정할 수 있으며, 이에 따라 인식가능한 불확실성이 발생하게 된다.

Kim and Lee (2021)는 연최대시계열과 부분시계열을 모두 사용하여 홍수빈도분석을 수행하고 그 결과를 비교분석한 바 있다. 그러나 부분시계열을 작성함에 있어서도 많은 주관적인 선택이 개입되는 측면이 있어 국내의 경우는 부분시계열을 사용하지 않고 연최대시계열만을 이용하여 홍수빈도분석을 사용하고 있다. 따라서 본 연구에서도 북한강 수계의 발전댐들을 대상으로 국가수자원종합정보시스템을 통해 수집된 연최대유입량(annual maximum inflow)을 홍수빈도분석의 대상자료로 설정하였다. 또한 수집된 자료는 정규성, 독립성 등을 검정하여 홍수빈도분석의 수행에 적절한 자료인지를 판단하였다.

수집된 자료가 홍수빈도분석에 적절한 자료로 판단되었다면, 홍수빈도분석모형(flood frequency model) 또는 확률분포함수(probability distribution function)를 결정하고 선정된 모형에 포함된 모수(parameter)를 추정하는 단계가 진행된다. 이 과정은 홍수빈도분석 절차에 있어 가장 중요한 절차이면서 가장 높은 정도의 인식가능한 불확실성을 발생시키는 단계이다. 본 연구에서는 이 과정에서 발생되는 불확실성 자체를 분석하는 것은 연구의 목적을 벗어나므로, 수집된 자료를 대변할 수 있는 최소한의 확률분포함수를 사용하였다. 유량자료의 연구를 대상으로 진행된 많은 해외 연구자들(Önöz and Bayazit, 1995; Nadarajah and Ali, 2008; Ahilan et al., 2012; Xie et al., 2018)은 연최대시계열 유량자료를 대변할 수 있는 홍수빈도분석모형으로 Gumbel 분포함수와 GEV (Generalized Extreme Value)분포함수를 제안하고 있다. 또한 국내의 경우 강우자료를 대상으로 강우빈도분석을 수행함에 있어서도 Gumbel 분포함수가 대개 사용되고 있다. 따라서 본 연구에서는 수집된 자료에 적합한 홍수모형 선정과정을 걸쳐 해당 후보모형 중 Gumbel 분포함수와 GEV 분포함수가 적정한 경우 이에 대해서만 빈도분석을 수행하는 것으로 결정하였다. Eqs. (1)~(4)에는 Gumbel 및 GEV 확률밀도분포함수와 누적확률밀도함수를 각각 제시하였다.

(1)

f_{z} (z; θ) = \frac{1}{σ} \exp (- (\frac{z - u}{σ}) - e^{- (\frac{z - u}{σ})}

(2)

F_{z} (z; θ) = \exp (- e^{- (\frac{z - u}{σ})})

(3)

f_{z} (z; θ) = \frac{1}{σ} {[1 + κ (\frac{z - u}{σ})]}^{(- 1 / κ) - 1} \exp \{- {[1 + κ (\frac{z - u}{σ})]}^{- 1 / κ}\}

(4)

F_{z} (z; θ) = \exp \{- {[1 + κ (\frac{z - u}{σ})]}^{- 1 / κ}\}

여기서 $μ, σ, κ$ 는 각각 위치모수(location parameter), 척도모수(scale parameter) 및 형태모수(shape parameter)를 나타낸다.

홍수빈도분석모형이 선정되면 해당 모형에 포함된 이들 모수의 추정값을 추정해야 한다. 이를 위해서는 모멘트법(method of moment), 최대우도추정법(maximum likelihood estimation method, MLE), 확률가중모멘트법(probability weighted moments method, PWM)등이 사용될 수 있는데 모수들의 추정법에 따라서도 인식가능한 불확실성의 발생 정도가 매우 높다. 따라서 앞서 선정된 Gumbel 분포와 GEV 분포에 대해 동일한 모수추정방법을 적용하여 연구 결과를 평가할 필요가 있으므로, 본 연구에서는 두 분포에 대해 적정 추정값을 산정하는 것으로 알려져 있는 MLE를 모수 추정방법으로 결정하여 연구를 진행하였다. 모수 추정 이후의 홍수빈도분석 절차는 추정된 모수값들을 이용하여 Eqs. (2) and (4)로부터 재현기간별 홍수량을 산정하는 과정이 진행되며, 이 과정의 결과를 이용하여 홍수빈도곡선이 산정되면 이로부터 설계홍수량을 결정하는 과정을 거쳐 홍수빈도분석 절차가 종료된다. 본 연구에서는 비용-편익분석에 활용되는 각종 함수를 위의 홍수빈도분석 절차에 인입하여 최적설계홍수량을 결정하기 위한 방법론을 소개하고 이 과정을 북한강수계 수력발전댐에 적용하여 그 결과를 비교하였다.

2.2 비용-편익 분석으로부터 최적설계홍수량의 개념

비용-편익분석 기법은 특정 사업의 시행이나 구조물 시공에 있어 유지관리 비용까지를 포함한 총 비용 대비 해당 사업이나 구조물로부터의 편익을 비교하는 기법으로 국내에서도 다양한 부문에서 일반화되어 사용되고 있다. Fig. 1은 비용-편익분석 개념을 홍수피해 문제에 적용하기 위한 기본 개념을 제시한 것이다(Kim and Lee, 2021). Botto et al. (2014)이 제안한 홍수빈도분석에서 비용-편익 분석개념의 도입은 B/C비율(B/C ratio)를 의미하는 것은 아니며, 비용-편익 분석절차 중 비용에 대한 산정 절차만을 도입한 것이다. 즉 홍수피해로 발생되는 총 비용은 홍수저감비용과 홍수피해의 기댓값의 합으로 개념화할 수 있으므로 이 총 비용을 최소로 만드는 설계홍수량을 최적설계홍수량으로 정의한 것이다. 여기서 총 비용은 ‘총 기대비용함수(total expected cost function)’가 나타내며, 홍수저감비용은 ‘비용함수(cost function)’, 홍수피해의 기댓값은 ‘기대피해함수(expected damage function)’이 나타낸다. 따라서 총 기대비용함수=비용함수+기대피해함수의 관계가 성립된다.

먼저 Fig. 1(a)는 피해함수의 개념으로, 홍수사상 발생 시 설계홍수량(design flood, q_design)까지는 피해가 발생하지 않다가 설계홍수량을 초과하면 홍수피해가 발생하는 현상을 나타낸 것이다. 여기에서 가장 중요한 점은 설계홍수량 이후의 피해함수를 어떤 함수로 표현할 것인지이다. 최근 연구에서는 연간 홍수피해액을 산정하고 이를 이용한 예측함수의 구성에 있어 절대적 피해함수 또는 상대적 피해함수가 구분되어 사용된 바 있으며, 지수함수 등을 이용한 회귀분석이 시행되는 등 다양한 방법이 적용되어 특정 지역을 대표할 수 있는 홍수피해함수가 개발된 바 있다(Ganoulis, 2003; Salman and Li, 2018; Röthlisberger et al., 2018; Paprotny et al., 2020). 그러나 특정지역의 홍수피해조사자료를 바탕으로 개발된 다양한 홍수피해함수는 특정지역의 홍수피해의 정량화에는 적합할 수 있지만, 이 함수들을 일반화하여 사용하기에는 정보 부족으로 인한 문제가 있다는 의견도 제시된 바 있다(Menoni et al., 2016).

Fig. 1(b)는 총 기대비용함수로부터 최적설계홍수량(optimal design flood, q_opt)을 산정하는 절차를 개념화한 것이다. 피해함수의 구성에 있어서 설계홍수량은 특정 확률밀도함수로 표현되는 확률변수로 간주될 수 있다. 그러므로 Fig. 1(b)과 같이 피해함수의 기댓값을 나타내는 기대피해함수로 표현되어 정량화될 수 있으며, 이 함수는 설계홍수량이 증가할수록 감소함을 알 수 있다. 또한 비용은 설계홍수량이 증가함에 따라 구조물의 규모가 증가하므로 그에 따른 비용도 증가되므로 Fig. 1(b)과 같이 비용함수를 개념화하여 함수로 표현할 수 있다. 따라서 홍수대책 수립에 필요한 총 비용은 Fig. 1(b)에서와 같이 기대피해함수가 나타내는 피해발생비용의 기댓값과 수공구조물 설계에 투입된 비용의 합으로 산정된다. 따라서 총 비용의 기댓값을 나타내는 총 기대비용함수는 Fig. 1(b)에서와 같이 아래로 볼록한 형태(convex)를 가지게 되므로 일반적으로 하나의 최소값을 가지는 함수의 형태로 표현된다. 따라서 총 기대비용함수를 설계홍수량으로 미분하면 총 비용을 최소화는 최적설계홍수량을 산정할 수 있다. 최종적으로 산정된 최적설계홍수량은 표준적인 홍수빈도분석기법을 통해 산정된 설계홍수량과 같을 수도 있고 크거나 작은 값을 가질 수도 있다. 특히 최적설계홍수량은 Fig. 1(b)의 x축을 구성하는 다양한 설계홍수량 중 하나로 특정되므로, 불확실성으로 인해 여러 개로 산정된 설계홍수량 중 한 개를 특정하는 방법으로 활용될 수 있다.

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Fig. 1.

Concept of cost-benefit analysis to flood management

2.3 총 기대비용함수를 구성하는 함수들의 구성

특정 현상의 수학적 모형화는 현실의 정보를 부분적으로 반영한 비선형성이 높은 함수가 사용되기보다는 현상을 최대한 간략화하기 위한 가정들을 수립함으로써 최대한 간략한 수학적 모형을 구성하는 것이 결과의 표출에 유리한 경우가 많다. Botto et al. (2014)은 Fig. 1에서의 피해함수와 비용함수를 간단한 선형모형으로 구성하고 이를 이용하여 최적설계홍수량을 결정하는 방법을 수학적으로 제시한 바 있다. Eqs. (5) and (6)은 Botto et al. (2014)이 제안한 선형형태의 피해함수(Damage Function, DF)와 비용함수(Cost Function, CF)를 나타낸 것이다.

(5)

D F (q_{d e s i g n,} q | D) = \{\begin{matrix} d_{0} + d \cdot (q - q_{d e s i g n}), & q > q_{d e s i g n} \\ 0, & q \leq q_{d e s i g n} \end{matrix}\}

(6)

C F (q_{d e s i g n} | C) = c_{o} + c \cdot q_{d e s i g n}

여기서, d₀, c₀는 각각 초기 피해액과 초기 비용이며, d, c는 각각의 함수들의 기울기이다. q는 발생가능한 홍수량을 나타내는 변수이고, q_design은 홍수빈도분석을 통해 산정된 설계홍수량이다. 또한 D, C는 각각의 모수를 나타내는 벡터들이다.

Eq. (5)에서 선형형태로 가정된 피해함수(DF)에 대한 기댓값은 Eq. (7)에서 기술된 기대피해함수(Expected Damage Function, EDF)를 구성하며, 이는 기대함수와 기대함수별 발생확률의 곱을 설계홍수량부터 무한대까지 적분함으로써 구할 수 있다. 또한 Eqs. (6) and (7)을 더하면 총 기대비용함수(Total Cost Function, CF_total)를 구성할 수 있는데, 이를 Eq. (8)에 나타내었다. 특히 Botto et al. (2014)은 초기 피해액(d₀)과 초기 비용(c₀)을 0으로 가정함으로써 총 기대비용함수(CF_total)를 보다 간단히 구성하였는데 이를 Eq. (9)에 제시하였으며, 본 연구에서도 이 식을 사용하여 최적설계홍수량을 산정하였다.

(7)

E D F (q_{d e s i g n} | D, Θ) = \int_{q_{d e s i g n}}^{\infty} D F (q_{d e s i g n}, q | D) \cdot p (q | Θ) d q

(8)

C F_{t o t a l} (q_{d e s i g n} | C, D, Θ) = C F (q_{d e s i g n} | C) + \int_{q_{d e s i g n}}^{\infty} D F (q_{d e s i g n}, q | D) \cdot p (p | Θ) d q

(9)

C F_{t o t a l} (q_{d e s i g n} | c, d, Θ) = c \cdot q_{d e s i g n} + \int_{q_{d e s i g n}}^{\infty} d (q - q_{d e s i g n}) \cdot p (q | Θ) d q

여기서, D는 피해함수의 모수이고 $Θ$ 는 홍수빈도분석에 사용된 특정 확률분포모형의 모수이다. 따라서 총 기대함수를 산정하기 위해서는 특정 확률분포모형이 선정되어야 하며, 선정된 모형에 포함된 모수들이 특정 추정방법을 통해 추정되어야 한다. 본 연구에서는 Gumbel 분포와 GEV 분포가 선정되었으며, 각 분포함수의 모수를 추정하기 위한 방법으로는 MLE가 적용되었다. Eq. (9)와 같이 총 기대비용함수(CF_total)가 구성되었으므로 이 함수를 설계홍수량(q_design)으로 미분하면, 총 기대비용함수가 최소값을 가지도록 하는 최적설계홍수량(q_opt)을 산정할 수 있다. 이 과정은 Eqs. (10) and (11)에 나타내었다.

(10)

q_{o p t} = \begin{matrix} \arg \min \\ q_{d e s i g n} \end{matrix} {[C F (q_{d e s i g n} | c, d, Θ)]}_{t o t a l}

(11)

c + d \{\frac{d}{d q_{d e s i g n}} \int_{q_{d e s i g n}}^{\infty} q \cdot p (q | Θ) d q - \frac{d}{d q_{d e s i g n}} \int_{q_{d e s i g n}}^{\infty} q_{d e s i g n} \cdot p (q | Θ) d q\} = 0

Eq. (11)의 대괄호 내 두 개의 적분항은 각각 조건부 기댓값과 조건부 누적분포함수를 나타내므로 $P (q_{d e s i g n} | Θ)$ -1로 간략화 될 수 있다(Botto et al., 2014). 따라서 Eq. (11)은 Eq. (12)와 같이 기술될 수 있으며, 여기서 1- $P (q_{d e s i g n} | Θ)$ 는 초과확률로 홍수빈도분석에서 사용되는 재현기간과 연관된다.

Botto et al. (2014)은 선형형태의 피해함수와 비용함수를 가정하고 이를 이용하여 총 기대비용함수를 구성한 뒤 이로부터 최적설계홍수량을 구하는 과정에서 피해함수의 기울기(d)와 비용함수의 기울기(c)의 비율이 재현기간과 일치한다는 사실을 발견하였으며, 이 관계(d = cT)를 이용하면 재현기간과 비용함수의 기울기만 결정되면 총 기대비용함수를 결정할 수 있다(Eq. (13)). 다만, 향후에는 수학적 전개가 복잡한 지수함수형태의 비선형함수를 사용하여 홍수피해를 보다 현실적으로 나타낼 수 있는 총 기대비용함수를 구성하는 연구가 진행될 필요가 있다. Eq. (12)를 이용하면 총 기대비용함수(CF_total)를 나타내는 Eq. (9)는 Eq. (13)과 같이 표시될 수 있다.

(12)

\frac{d}{c} = \frac{1}{1 - P (q_{d e s i g n} | Θ)} = T

(13)

C F_{t o t a l} (q_{d e s i g n} | c, d, Θ) = c \cdot \{q_{d e s i g n} + T \int_{q_{d e s i g n}}^{\infty} (q - q_{d e s i g n}) \cdot p (q | Θ) d q\}

Botto et al. (2014)이 제안한 피해함수와 비용함수의 관계를 이용하여 간략히 표현된 Eq. (13)은 재현기간(T)과 설계홍수량이 결정되면 홍수량의 변화에 따른 값을 구할 수 있으며, Eq. (13)에 의해 산정되는 값 중 최소가 되도록 하는 설계홍수량을 찾으면 그 값이 최적설계홍수량가 됨을 알 수 있다. 즉 설계홍수량이 0인 경우 발생가능한 모든 홍수량에 대해 총 기대비용은 $\infty$ 의 값을 가지게 되며, 설계홍수량이 증가함에 따라 점차 감소되다가 특정값(여기서는 이 값을 최적설계홍수량, q_opt로 정의함) 이후에는 다시 증가됨을 알 수 있다. 특히 이 계산에 있어 비용함수의 기울기(c)는 그래프의 형태는 변화시키지 못하고 오직 y축을 따라 상향 또는 하향만을 조정하므로 최적설계홍수량을 결정함에 있어 아무런 영향을 미치지 못하게 됨을 알 수 있다.

Eq. (13)을 이용하면 비교적 간단한 과정을 통해 1개의 최적설계홍수량을 결정할 수 있는데, 본 연구에서는 Eq. (13)이 가지는 불확실성을 나타내는 과정을 추가함으로써 불확실성을 반영한 비용-편익분석 방식과 이로부터 자료를 추출하여 최종값을 산정하는 과정을 다음 절에 기술하였다. 따라서 비용-편익 분석 절차 중 비용부분의 산정 절차만을 고려하여 총 기대비용함수를 구성하고 이로부터 최적설계홍수량을 산정하게 되며, Eqs. (5) and (6)에 포함된 설계홍수량을 구하는 과정에서 발생된 확률분포에 의한 불확실성과 모수추정에 의한 불확실성은 궁극적으로 Eq. (9)의 총 기대비용함수에도 포함되므로 총 기대비용함수를 최소화시키는 최적설계홍수량의 산정에까지 불확실성이 전파되어 산정됨을 알 수 있다.

2.4 불확실성이 고려된 총 기대비용함수 및 Metropolis-Hastings 알고리즘

2.3절에서 최종적으로 유도된 총 기대비용함수에서 비용함수의 기울기(c)와 재현기간은 분석시행 이전에 결정되는 상수이며, 홍수량은 총 기대비용함수의 변수이다. 그러나 설계홍수량은 상수로 취급되는 값이지만, 이 값을 결정하기 위한 Gumbel 분포함수와 GEV 분포함수의 모수에 따라 결정된다. 따라서 본 연구에서 주요하게 고려되는 인식가능한 불확실성의 근원은 설계홍수량이 결정되는 과정에서 발생되며, 이는 모수의 불확실성에서 시작된다.

홍수빈도분석에서 모수에 의한 불확실성의 추정은 Wood and Rodriguez-Iturbe (1975)가 Bayesian 접근방식을 적용하면서 수자원 분야에서는 최초로 다루어졌다. Kuczera (1999)는 Bayesian 접근방법을 이용하여 불확실성을 정량화할 수 있는 보다 실증적인 방법론을 제시하였으며, 최근 사용되고 있는 수자원분야에서의 Bayesian 접근 방식을 이용한 모수의 불확실성 추론은 대부분 Kuczera (1999)가 제시한 방법론을 부분적으로 활용하고 있다. 본 연구에서도 총 기대비용함수에 포함된 설계홍수량에 포함된 모수에 의한 불확실성을 정량화하기 위하여 Kuczera (1999)가 제시한 Eq. (14)를 적용하였다.

(14)

p (q) = \int_{Θ} p (q | Θ) \cdot h (Θ) d Θ

여기서, p(q)는 Bayesian 예측분포(Bayesian predictive distribution)이고, $h (Θ)$ 는 Gumbel 분포함수 및 GEV 분포함수에 대한 사전분포(prior distribution)를 나타낸다.

따라서 Eq. (14)를 Eq. (13)에 적용면 Eq. (15)와 같이 기술될 수 있으며, 이 식은 모수에 대한 불확실성을 표현하므로 최종적으로 Eq. (16)으로부터 모수의 불확실성을 포함한 원하는 개수만큼의 최적설계홍수량을 추정할 수 있다.

(15)

\hat{C F_{t o t a l}} (q_{d e s i g n} | c, d) = c \cdot \{q_{d e s i g n} + T \int_{q_{d e s i g n}}^{\infty} (q - q_{d e s i g n}) \cdot \int_{Θ} p (q | Θ) \cdot h (Θ) d Θ d q\} = \int_{Θ} C F_{t o t a l} (q_{d e s i g n} | c, d, Θ) \cdot h (Θ) d (Θ)

(16)

q_{o p t}^{u n c} = \begin{matrix} \arg \min \\ q_{d e s i g n} \end{matrix} [\hat{C F_{t o t a l}} (q_{d e s i g n} | c, d)]

모수의 불확실성이 포함된 총 기대비용함수로부터 최적설계홍수량을 산정하기 위해서는 Eq. (15)에 포함된 확률분포, $p (q | Θ)$ 가 결정되어야 하며, 본 연구에서는 이를 Eqs. (1)~(4)에 기술한 Gumbel 확률분포함수 및 GEV 확률분포함수를 사용하였다. 그러나 두 확률분포로부터 Eq. (15)에 포함된 맨 끝항을 산정하는 작업은 Bayesian 사후분포를 구성하고 이로부터 많은 수의 모수를 추출하는 과정이 매우 복잡하므로 0과 1사이의 난수 발생에 근거한 일반적인 방법의 Monte Carlo 기법의 적용이 어렵다. Markov Chain Monte Carlo (MCMC)이론은 확률분포가 복잡하거나 모수의 수가 많은 경우에도 원하는 모수의 개수만큼 추출이 가능한 방법이다. 본 논문에서는 Importance sampling, Gibbs sampling, Metropolis-Hastings sampling 중 모수공간을 효율적으로 탐색할 수 있고, 그 결과를 정량적으로 파악하기 용이한 Metropolis-Hastings 알고리즘(Metropolis et al., 1953)을 적용하였다. Metropolis-Hastings 알고리즘의 적용에 있어서는 Eq. (17)의 채택확률의 산정결과가 매우 중요한데, 본 연구에서는 여기에 사용된 제안분포로 2변수 정규분포를 사용하였으며, 이때 분산은 알고리즘의 결과에 대한 각종 판단 지표가 만족될 때까지 시행착오법을 이용하여 산정하였다.

(17)

ρ (θ_{j}, θ_{j + 1}) = \min [\frac{q (θ_{j} | θ_{j + 1}) π (θ_{j + 1} | D)}{q (θ_{j + 1} | θ_{j}) π (θ_{j} | D)}, 1]

여기서 $q (∙)$ 는 제안분포, $π (∙)$ 는 사전분포, D는 추출된 특정 표본 벡터, $ρ$ 는 채택확률이며, 채택확률을 이용한 알고리즘의 반복절차를 거쳐 원하는 표본을 추출할 수 있다. Metropolis-Hastings 알고리즘은 추출된 결과의 안정성을 몇 가지 지표를 통해 검증하는 과정을 필수적으로 거쳐야 한다. 이를 위해 추출된 자료에 대한 자취(trace plot)가 사용될 수 있으며, 정량적인 지표로 채택비율, Gelman and Rubin (1992) 지표, Raftery and Lewis (1992) 지표, Geweke (1992)지표가 주로 사용된다. 채택비율은 대개 0.3~0.5 사이, Gelman and Rubin 지표는 1에 가까울수록, Raftery and Lewis 지표는 5보다 적을수록, Geweke 지표는 ±1.96 이내에 있어야 모의결과가 원래의 분포로부터 추출되었음을 나타낸다. 본 연구에서도 총 기대비용함수로부터 최적설계홍수량을 산정함에 있어 모수의 불확실성 추정에 대한 정확도를 검증하기 위하여 상기한 지표들을 사용하여 Metropolis-Hastings 알고리즘의 안정성을 검증하였다.

3. 적용 결과

3.1 대상유역 및 분석자료의 특성

북한강수계의 발전용댐은 4개소(화천댐, 춘천댐, 의암댐, 청평댐)로 각각 1944년, 1965년, 1967년, 1943년에 건설되었으며, 한강 본류 유입지점의 팔당댐은 1973년에 건설되었다. 또한 한강수계에는 4개의 다목적댐(평화의댐, 소양강, 충주, 횡성)과 2개의 발전용댐(도암, 괴산)이 위치하고 있다. 발전용댐들과 다목적댐들은 수도권의 물관리 현안에 매우 중요한 역할을 담당하고 있으며, 에너지공급원으로서의 역할과 함께 홍수조절 및 용수공급을 위해 운영되고 있다. 특히 최근 탄소중립과 같은 에너지 문제의 프레임 변환, 기후변화로 인한 강우패턴의 변동성 심화 및 가뭄의 장기화 등 수도권의 물 및 에너지 문제의 해결을 위해 과거 어느 때보다 수력발전댐의 효율적 운영이 중요하게 다루어질 필요가 있다. Fig. 2에는 한강수계에 위치하고 있는 발전용댐과 다목적댐을 표시하였으며, 본 연구에서는 이 중 북한강수계에 위치하고 있는 발전용댐인 화천댐, 춘천댐, 의암댐 및 청평댐을 대상으로 연구를 진행하였다.

수집된 자료는 국가종합수자원관리종합시스템(www.wamis.go.kr)에서 제공하는 발전용댐 월최대유입량을 수집하여 연최대유입자료로 변환하였다. 각 댐의 유입량 자료는 50년 이상으로 길이를 가지고 있고 결측이 적어(춘천댐의 72년 및 의암댐의 67년은 결측) 유량을 활용한 통계개념에 기반한 홍수 빈도분석에 적합한 것으로 판단된다. 북한강의 발전용댐은 계단식의 형태로 동일 수계에 위치한다. 따라서 화천댐을 제외한 나머지 발전용댐(춘천댐, 의암댐, 청평댐)은 홍수 유입량을 저수지에 저류하지 않고 대부분의 유입량을 발전 또는 수문을 통하여 하류로 방류하는 Run of River (ROR) 방식이 활용된다. 그러므로 홍수나 가뭄 시 발생되는 유입량의 변화는 4개 발전용댐에서 비슷하게 나타날 것으로 추정된다. 북한강수계에서 기왕의 가뭄년도(’94, ’04, ’05, ’14, ’15)는 4개 발전용댐에서 공통적으로 연최대유입량이 작은 값으로 나타났으며 홍수가 발생한 2020년도 역시 모든 발전용댐에서 유입량이 평년보다 큰 값을 나타내었다. 수집된 각 댐별 연최대유입량 자료에 대한 통계적 특성을 파악하였으며 이를 기술통계량으로 정리하여 Table 1에 나타내었다.

Fig. 3은 수집자료(4개 발전용댐 유입량)의 연최대치 자료를 1967년부터 2021년까지 시계열로 나타내었다. 상류지역의 화천댐과 춘천댐에 비해 소양강댐이 유입되는 의암댐의 유입량이 크고 또한 홍천강이 유입되는 청평댐의 유입량이 크게 나타나는 것을 알 수 있다.

또한 수집된 자료가 정규성 및 독립성을 만족여부를 검정함으로써 홍수빈도분석의 수행에 적절한 자료인지를 판단하였다. 자료의 정규성 검정은 히스토그램을 통한 정량적 검정 및 Q-Q 도표를 활용하였으며 이를 Fig. 4에 나타내었다. 수집된 자료의 정규성과 독립성을 정량적으로 검정하기 위하여 Table 2에 나타낸 4개의 통계적 검정을 시행하였다. 그 결과 모든 발전용댐들에 있어서 유의수준 5%(양측검정) 기준으로 P-value가 분석대상 자료가 정규성을 나타내는 것으로 판단되어 수집된 자료를 이용하여 홍수빈도분석을 수행함이 적절함을 검증하였다.

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Fig. 2.

Location of the 4 hydroelectric dams on the Bukhangang River

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Fig. 3.

Plot of the inflow annual maximum series: 4 hydroelectric dams

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Fig. 4.

Histogram and Normal probability (Q-Q) plot

Table 1.

Statistical characteristics of the inflow annual maximum series: 4 hydroelectric dams

Dams	Period	Length	Mean	Std.	Skewness	Kurtosis
Hwacheon	1967-2021	55	2346.7	1525.9	1.053	4.059
Chuncheon	1967-2021	54('72 N/A)	2262.3	1805.3	1.221	4.277
Uiam	1968-2021	54('67 N/A)	3291.7	3175.8	1.505	4.909
Cheongpyeong	1967-2021	55	5390.3	4922.3	2.143	9.073

Table 2.

Normality Test to annual maximum flows: 4 hydroelectric dams

Dam Test method	P-value
Dam Test method	Hwacheon	Chuncheon	Uiam	Cheongpyeong
Shapiro-Wilk Test	0.001852	0.0001186	1.431e-06	2.317e-07
Anderson-Darling Test	0.010090	0.0004517	2.679e-08	1.609e-07
Cramer-von Mises Test	0.027670	0.0017570	3.281e-07	1.339e-06
Kolmogorov-Smirnov Test	0.040900	0.0101500	8.814e-07	8.302e-07

3.2 모수추정 및 설계홍수량 산정 결과

수집된 4개 발전용댐들의 연최대유입량자료를 이용하여 홍수빈도분석을 수행하여 설계홍수량을 추정하였다. Gumbel 및 GEV의 적합성 검정을 통해 이를 검증하였으며, 최우추정법을 사용하여 추정한 각 분포별 모수 추정값을 Table 3에 표시하였다. Fig. 5는 추정된 모수를 이용해 추정된 100년 및 200년 재현기간별 설계홍수량을 나타낸 것이다. Gumbel 분포보다 GEV 분포에 의한 설계홍수량이 큰 값으로 산정되었으며, 모든 재현기간에 있어 하류에 위치하고 있는 댐의 설계홍수량이 더욱 크게 산정되었다. 화천댐과 의암댐의 재현기간별 설계홍수량은 큰 차이를 보이지 않았으나, 의암댐은 소양강의 유입으로 화천댐 및 춘천댐의 설계홍수량에 비해 2개에 가까운 설계홍수량으로 산정되었으며, 청평댐 역시 홍천강의 유입으로 인해 의암댐 설계홍수량에 비해 큰 값으로 가지는 것으로 추정되었다.

Table 3.

Estimates by MLE for the inflow annual maximum series: 4 hydroelectric dams

Parameters		Hwacheon	Chuncheon	Uiam	Cheongpyeong
Gumbel	Location	1668.783	1480.062	1979.003	3454.275
Gumbel	Scale	1132.926	1260.967	1989.230	2946.155
GEV	Location	1626.372	1367.527	1650.086	2987.155
	Scale	1103.408	1162.999	1624.834	2434.135
	Shape	-0.069	-0.170	-0.340	-0.320

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Fig. 5.

Comparison of the design flood between the 4 hydroelectric dams

3.3 Metropolis-Hastings 알고리즘 수행 결과 및 모수의 불확실성

본 절에서는 3.2절에서 추정된 모수의 불확실성을 탐색하여 불확실성을 고려한 총 기대비용을 나타내는 Eq. (15)에 활용될 모수들을 Metropolis-Hastings 알고리즘을 통해 추출하였다. 이 알고리즘의 구성을 위한 제안분포는 이변수정규분포가 활용되었으며, 이 분포의 평균은 0으로 고정하였으나, 분산은 알고리즘의 효율을 고려하여 수동적으로 보정되었다. Gumbel 분포의 위치모수 및 척도모수와 GEV 분포의 위치모수, 척도모수, 형태모수는 각각 20,000개씩 추출되었으며, 최초 추출된 1,000개의 표본은 불안정한 추출로 판단하여 모든 계산에서 제외하였다. Fig. 6은 화천댐에 대한 Gumbel 및 GEV 분포의 모수 추정결과를 자취도표로 표시한 것이고, Table 4는 Metropolis-Hastings 알고리즘의 적정성을 확인하기 위한 각종 지표의 산정값들이다. Table 4로부터 각각의 댐들로부터 추정된 Gumbel 및 GEV 분포에 대한 19,000개의 모수들은 대부분 적절한 것으로 판단되었다. GEV 형태모수에 있어 높은 설계홍수량을 가지는 의암댐과 청평댐의 경우 Geweke 지수는 적절하지 않다는 검정결과가 제시되었으나, 타 지표들은 만족스러운 것으로 검정되어 해당 표본을 사용하였다. 다만 형태모수의 경우 모수 추정에 있어 매우 민감하게 작용할 수 있어 Metropolis-Hastings 알고리즘 적용시 이를 고려할 수 있는 별도의 향후 연구가 필요함을 알 수 있었다.

Table 5에는 추출된 표본에 대해 2.5%, 50%, 97.5%에 해당되는 모수들을 정리하여 2.5%와 97.5%사이의 불확실성을 제시하였다. 두 분포의 비교는 모수의 역할이 다르므로 의미가 없으나, 발전댐별 비교는 향후 불확실성의 탐색을 위해 제시할 필요가 있다. Gumbel 분포 및 GEV 분포의 위치모수와 척도모수는 하류에 위치한 댐일수록 불확실성이 증가됨을 보여주었으나, GEV 분포의 형태모수는 댐의 위치에 따른 유입량 크기와는 상관없이 추정됨을 알 수 있었다. 이는 GEV 분포의 형태모수 추정에 있어 보다 정확한 알고리즘의 구성을 나타내고 있음을 알려주는 결과로 판단되며 향후 연구를 통해 개선되어야 할 점으로 판단된다. 본 연구에서는 Table 5에서 추정된 2.5%, 50%(중앙값), 97.5%에 해당되는 Gumbel 및 GEV 분포의 모수를 활용하여 Eq. (15)를 통해 총 기대비용을 산정하였으며, 그 결과를 다음의 3.4절에 제시하였다.

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Fig. 6.

Trace plots at Hwacheon dam: (a) Gumbel, (b) GEV

Table 4.

Acceptance rates and 3 diagnostics

Type of data	Parameters	Acceptance rate (%)	Gelman & Rubin	Raftery & Lewis	Geweke
Hwacheon (Gumbel)	Location	48.39	1.125	2.225	-1.658
Hwacheon (Gumbel)	Scale	48.24	1.186	2.998	-1.444
Chuncheon (Gumbel)	Location	4486	1.132	2.587	-1.555
Chuncheon (Gumbel)	Scale	49.24	1.005	3.221	-1.474
Uiam (Gumbel)	Location	49.56	1.221	2.555	-1.245
Uiam (Gumbel)	Scale	47.78	1.230	3.225	-1.598
Cheongpyeong (Gumbel)	Location	42.57	1.254	2.010	-1.558
Cheongpyeong (Gumbel)	Scale	46.24	1.224	3.214	-1.525
Hwacheon (GEV)	Location	45.89	1.236	1.258	-1.221
	Scale	35.89	1.240	2.996	-1.025
	Shape	50.23	1.524	4.558	-1.948
Chuncheon (GEV)	Location	49.05	1.221	1.989	-1.225
	Scale	33.54	1.222	2.589	-1.002
	Shape	51.23	1.668	4.998	-1.955
Uiam (GEV)	Location	49.87	1.112	1.887	-1.487
	Scale	39.87	1.332	2.458	-1.004
	Shape	58.24	1.874	4.512	-1.976
Cheongpyeong (GEV)	Location	48.77	1.110	2.015	-1.269
	Scale	32.21	1.227	2.599	-1.115
	Shape	54.12	1.958	4.448	-2.001

Table 5.

Uncertainty of the parameters: Gumbel and GEV distributions

Final estimates	Parameters	2.5%	50%(mode)	97.5%	Uncertainty
Hwacheon (Gumbel)	Location	1337.830	1728.605	2119.381	781.551
Hwacheon (Gumbel)	Scale	808.526	1150.282	1492.039	683.513
Chuncheon (Gumbel)	Location	776.145	1508.473	2240.801	1464.657
Chuncheon (Gumbel)	Scale	980.628	1350.767	1720.905	740.277
Uiam (Gumbel)	Location	247.249	2034.880	3822.512	3575.262
Uiam (Gumbel)	Scale	1562.072	2037.638	2513.204	951.132
Cheongpyeong (Gumbel)	Location	1485.391	3472.391	5459.391	3974.000
Cheongpyeong (Gumbel)	Scale	2289.038	3035.918	3782.798	1493.760
Hwacheon (GEV)	Location	1396.766	1691.246	1985.727	588.960
	Scale	1015.548	1143.793	1272.039	256.491
	Shape	-0.071	-0.069	-0.067	0.003
Chuncheon (GEV)	Location	925.205	1462.059	1998.912	1073.708
	Scale	983.233	1243.371	1503.510	520.278
	Shape	-0.175	-0.172	-0.169	0.006
Uiam (GEV)	Location	1190.699	1670.357	2150.015	959.316
	Scale	1394.312	1714.912	2034.962	640.650
	Shape	-0.437	-0.433	-0.429	0.008
Cheongpyeong (GEV)	Location	2730.929	3084.959	3438.449	707.520
	Scale	2021.434	2471.456	2921.553	900.119
	Shape	-0.319	-0.315	-0.312	0.006

3.4 비용-편익 분석을 도입한 최적설계홍수량 산정 결과

모수의 불확실성이 반영된 Eq. (14)를 이용하여 특정 설계홍수량에 대한 총 기대비용함수를 각각의 발전용댐(화천댐, 춘천댐, 의암댐, 청평댐), 확률분포함수(Gumbel 및 GEV), 및 재현기간(100년 및 200년) 산정하였다. 따라서 본 연구에서 산정될 수 있는 연구결과의 조합은 모두 16가지이며, 이 결과를 Figs. 7~10에 그림으로 정리하였다. Figs. 7~10에서 총 기대비용(y축)은 단위를 가지지 않는 화폐의 단위를 나타내며, Eq. (15)에서 서술한 바와 같이 비용(c)의 값이 설계홍수량(x축)의 결정에 전혀 영향을 미치지 않는다. 즉 비용에 따라 그래프는 y축으로만 변화될 뿐 x축으로의 변화는 없다. 따라서 본 연구에서는 최적설계량을 산정하기 좋은 그래프를 얻기 위하여 비용(c)을 각각의 댐마다 임의적으로 조정하면서 최종 결과를 산정하였다.

Fig. 7은 Gumbel 분포를 이용한 100년 빈도에 대한 4개 발전댐의 총 기대비용함수 결과이며, 4개 댐의 총 기대비용함수의 결과가 유사하게 산정되었음을 알 수 있다. 특히 불확실성의 범위에 있어서도 앞절에서 추정된 모수의 불확실성의 범위가 반영되어 하류에 위치한 댐일수록 총 기대비용의 불확실성이 넓게 나타남을 알 수 있었다. Fig. 8은 GEV 분포함수를 이용한 100년 빈도에 대한 결과이며, 이 역시 Fig. 7과 같이 일관된 결과를 얻었음을 알 수 있다. 또한 Figs. 9 and 10은 200년 빈도에 대한 각각의 분포함수 및 발전용댐의 결과를 나타낸 것으로 100년 빈도에 대해 설계홍수량이 상향된 것을 제외하고는 유사한 결과를 얻을 수 있어 총 기대비용함수의 결과가 적절함을 보여준다.

Figs. 7~10에서 제시한 16개의 총 기대비용그래프에서 Eq. (16)에서 나타내는 최소값을 찾으면 해당되는 설계홍수량은 비용-편익기법을 이용한 최적설계홍수량이 된다. 따라서 본 연구에서는 모수의 불확실성을 반영한 2.5%, 50%, 97.5%에 대한 3개의 최적설계홍수량을 산정할 수 있으며, 이를 Table 6에 Fig. 5의 기존 홍수빈도분석에 의한 설계홍수량과 함께 정리하여 비교하였다. 먼저 모든 결과에 있어서 기존의 홍수빈도분석에 의한 설계홍수량은 최적설계홍수량의 2.5%와 97.5%의 사이에 존재하고 있으며, 50%에 해당되는 최적설계홍수량보다는 다소 작은 값임을 알 수 있었다.

북한강수계는 국가하천이므로 일반적으로 200년 빈도 이상의 값을 하천설계기준 등에서 활용하고 있으므로 200년 빈도에 대한 결과가 중요하다. 200년 빈도의 경우 Gumbel 분포에서 화천댐, 춘천댐, 의암댐, 청평댐은 최적설계홍수량이 123, 96, 124, 600 m³/s 더 크게 산정되었으며, GEV 분포에서는 139, 121, 112, 259 m³/s 더 크게 산정되었다. 또한 Gumbel 분포와 GEV 분포의 200년 빈도에 있어서는 각각의 발전용댐에서 GEV 분포의 최적설계홍수량이 100, 200, 1,000, 3,000 m³/s 더 크게 산정되었다. 따라서 향후 이와 같은 분석결과를 이용하면 보다 안정적인 발전용댐의 치수관리 대책을 수립할 수 있을 것으로 판단된다.

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Fig. 7.

Result of optimal flood: Gumbel (100 years)

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Fig. 8.

Result of optimal flood: GEV (100 years)

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Fig. 9.

Result of optimal flood: Gumbel (200 years)

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Fig. 10.

Result of optimal flood: GEV (200 years)

Table 6.

Comparison between design flood and optimal design flood

Models	Dams	Items	Return period (Years)	2.5%(m³/s)	50%(m³/s)	97.5%(m³/s)
Gumbel	Hwacheon	Design flood	100	-	7,080	-
		Optimal	100	6,800	7,700	8,600
		Design flood	200	-	7,877	-
		Optimal	200	7,100	8,000	8,900
	Chuncheon	Design flood	100	-	7,925	-
		Optimal	100	7,100	8,400	9,600
		Design flood	200	-	8,904	-
		Optimal	200	7,700	9,000	10,300
	Uiam	Design flood	100	-	13,253	-
		Optimal	100	11,600	14,000	16,500
		Design flood	200	-	14,976	-
		Optimal	200	12,600	15,100	17,700
	Cheongpyeong	Design flood	100	-	20,830	-
		Optimal	100	18,100	21,100	24,100
		Design flood	200	-	23,500	-
		Optimal	200	21,000	24,100	27,200
GEV	Hwacheon	Design flood	100	-	7,133	-
		Optimal	100	6,100	7,200	8,400
		Design flood	200	-	7,961	-
		Optimal	200	7,100	8,100	9,300
	Chuncheon	Design flood	100	-	8,034	-
		Optimal	100	6,100	8,100	11,500
		Design flood	200	-	9,079	-
		Optimal	200	7,200	9,200	11,600
	Uiam	Design flood	100	-	13,868	-
		Optimal	100	12,900	14,400	16,800
		Design flood	200	-	15,988	-
		Optimal	200	14,400	16,100	18,000
	Cheongpyeong	Design flood	100	-	22,751	-
		Optimal	100	22,900	23,200	23,700
		Design flood	200	-	26,841	-
		Optimal	200	26,100	27,100	28,000

4. 결 론

본 연구에서는 비용-편익분석 기법을 기존 홍수빈도분석의 절차에 적용함으로써 특정 수공 구조물의 설계에 있어 해당 구조물의 수공성능에 따른 비용과 그로 인해 발생되는 편익을 고려할 수 있는 최적의 홍수량을 결정하는 절차를 소개하였다. 본 연구에서는 비용-편익분석 기법을 적용하는 과정에서 피해함수를 선형적인 함수로 가정함으로써, 총 기대비용함수의 최소값에서 발생되는 최적설계홍수량을 산정함에 있어 발생되는 수학적 과정을 최대한 간략히하여 결과를 산정하는 방법을 소개하였다. 또한 본 연구에서는 총 기대비용함수를 추정하는 과정에서 모수의 불확실성을 반영할 수 있도록 하기 위하여 복잡한 분포로부터 표본을 추출할 수 있는 Metropolis-Hastings 알고리즘을 사용하였다.

모수의 불확실성이 반영된 총 기대비용함수로부터 최소값을 찾는 절차는 북한강수계에 위치하고 있는 화천댐, 춘천댐, 의암댐, 청평댐의 4개 발전용댐의 연최대유입량에 적용되었다. 수집된 자료는 기술통계량과 함께 정규성 및 독립성이 검정되었으며, 확률분포함수 2개(Gumbel 및 GEV), 발전용댐(4개소), 재현기간 2개(100년 및 200년)의 구분에 따라 16개의 총 기대비용함수가 산정되었고, 이로부터 16개의 최적설계홍수량이 산정되었다. 산정된 최적설계홍수량은 기존 홍수빈도분석 절차를 통해 산정된 설계홍수량과 비교되었으며, 모든 댐 및 확률분포와 재현기간에서 최적설계홍수량의 중앙값이 기존 홍수빈도분석 절차에 의해 산정된 설계홍수량보다 일정정도 큰 값으로 산정됨을 알 수 있었다. 모든 경우에 있어서 최적설계홍수량이 설계홍수량보다 조금씩 크게 산정된 이유는 피해함수를 1차 함수로 가정하여 총 기대비용함수를 유도한 결과이며, 향후 다양한 형태의 피해함수에 대한 총 기대비용함수를 개발함으로써 보다 현실적인 최적설계홍수량을 산정하기 위한 연구가 진행될 필요가 있다. 또한 GEV분포를 사용한 경우가 Gumbel분포를 사용한 경우보다 큰 값을 보였다. 또한 화천댐과 춘천댐은 산정결과가 유사하였으나, 의암댐과 청평댐의 산정결과는 소양강과 홍천강의 유입으로 화천댐과 춘천댐에 비해 상당히 큰 최적설계홍수량을 가지는 것으로 분석되었다.

본 연구는 향후 불확실성을 고려한 robust 설계홍수량 선정방법 개발, 전체 불확실성에 대한 원인별 불확실성의 기여도 분석 등의 추가적 연구를 결합하여 최종적인 연구결과를 도출함으로써 발전용댐의 치수대책 수립에 기여할 수 있을 것으로 판단되며, 본 논문에서 사용된 1차 함수보다 현실적인 최적설계홍수량을 산정하기 위한 이론적 연구를 추가할 필요가 있다.

Acknowledgements

이 연구는 2021년 교육부 재원을 이용한 한국연구재단의 기초연구사업(NRF-2021R1F1A1047623)에 의해 수행되었습니다. 연구비 지원에 감사를 표합니다.

Conflicts of Interest

The authors declare no conflict of interest.

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Journal of Korea Water Resources Association ISSN:2799-8746(Print) 2799-8754(Online) 한국수자원학회 논문집

Preview

Calculation of optimal design flood using cost-benefit analysis with uncertainty

ABSTRACT

MAIN

(1)

(2)

(3)

(4)

Fig. 1.

Concept of cost-benefit analysis to flood management

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

Fig. 2.

Location of the 4 hydroelectric dams on the Bukhangang River

Fig. 3.

Plot of the inflow annual maximum series: 4 hydroelectric dams

Fig. 4.

Histogram and Normal probability (Q-Q) plot

Table 1.

Statistical characteristics of the inflow annual maximum series: 4 hydroelectric dams

Table 2.

Normality Test to annual maximum flows: 4 hydroelectric dams

Table 3.

Estimates by MLE for the inflow annual maximum series: 4 hydroelectric dams

Fig. 5.

Comparison of the design flood between the 4 hydroelectric dams

Fig. 6.

Trace plots at Hwacheon dam: (a) Gumbel, (b) GEV

Table 4.

Acceptance rates and 3 diagnostics

Table 5.

Uncertainty of the parameters: Gumbel and GEV distributions

Fig. 7.

Result of optimal flood: Gumbel (100 years)

Fig. 8.

Result of optimal flood: GEV (100 years)

Fig. 9.

Result of optimal flood: Gumbel (200 years)

Fig. 10.

Result of optimal flood: GEV (200 years)

Table 6.

Comparison between design flood and optimal design flood

Acknowledgements

Conflicts of Interest

References