Analysis of relationship between rainfall intensity and unit hydrograph peak value by watershed scale

Ju-Hwan Yoo

doi:10.3741/JKWRA.2024.57.12.1145

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Research Article

Journal of Korea Water Resources Association. 31 December 2024. 1145-1157
https://doi.org/10.3741/JKWRA.2024.57.12.1145

Analysis of relationship between rainfall intensity and unit hydrograph peak value by watershed scale

유역 규모별 강우 세기와 단위유량도 첨두치의 관계 분석

Ju-Hwan Yoo^a^*

유 주환^a^*

^aProfessor, Department of Drone Application, U1 University, Asan, Korea

^a유원대학교 드론응용학과 교수

^{*Corresponding Author}

License (open-access, https://creativecommons.org/licenses/by/4.0):

©It is identical to the Creative Commons Attribution Non-commercial License (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0)

ABSTRACT

In this research, it was studied how the peak value of the unit hydrograph of a basin, which has been used to calculate the flood volume of a basin, changes according to the rainfall intensity and basin size. For this purpose, by watershed size, Selmacheon Jeonjeokbigyo (8.5 km²) was selected for the small basin, Chogang Songcheon (619.0 km²) for the medium-sized basin, and Pyeongchanggang Yeongwol 1 (1,615.8 km²) for the large-scale basin. Among the rainfall-runoff events from 1998 to 2017, unit hydrographs were calculated for 82 events in the Selmacheon Jeonjeokbigyo basin, 83 events in the Chogangcheon Songcheon basin, and 91 events in Pyeongchanggang Yeongwol 1 basin. During this process, the Horton model was applied to the effective rainfall, and the ridge regression method was applied to eliminate oscillations generated in the process of deriving the unit hydrograph. The regression equation, which derives the quantitative relationship between rainfall intensity and peak value of unit hydrograph by basin size in the form of a power function, contains a certain amount of error and variance as analyzed in the main text, but represents the physical relationship as a regression equation. And it was shown the larger the rainfall is, the larger the peak of the unit hydrograph and the faster it occurs. This is the nonlinear runoff characteristic of a watershed in response to rainfall. By deriving the relationship between rainfall intensity and peak value of unit hydrograph according to the basin size as a power function, it was experimentally shown that the relationship in a basin of a certain size can be calculated by interpolation according to the basin size. The results of this study were intended to investigate the effect of the size of the watershed area on the relationship between rainfall intensity and peak value of the unit hydrograph, thereby providing basic data for the supplementary application of the unit hydrograph.

Keywords

Watershed scale

Unit hydrograph

Peak flow discharge

Time to peak

Nonlinear runoff

Rainfall intensity

본 연구에서는 유역의 홍수량을 산출하는데 적용하고 있는 한 유역의 단위유량도 첨두치는 강우 세기와 유역 규모에 따라 변동되는 것을 연구하였다. 이를 위해서 유역 규모별로 소규모 유역은 설마천 전적비교(8.5 km²), 중규모 유역은 초강 송천(619.0 km²), 대규모 유역은 평창강 영월1(1,615.8 km²)을 대상으로 1998년~2017년의 강우-유출 사상 중에 설마천 전적비교 유역은 82개 사상, 초강 송천 유역은 83개 사상, 평창강 영월1 유역은 91개의 사상에 대하여 단위유량도를 산출하였다. 이 과정 중에 유효강우는 Horton 모형을 적용하여 구하였고 단위유량도를 유도하는 과정에서 발생하는 진동을 제거하기 위해서 능형회귀법을 적용하였다. 유역 규모별 강우 세기와 단위유량도 첨두치의 정량적 관계를 멱함수 형태로 도출한 회귀식은 본문에 분석된 대로 일정량의 오차 및 분산을 포함하고 있지만 회귀식으로서의 물리적 관계를 나타냈다. 그리고 강우의 세기가 클수록 단위유량도의 첨두는 더 크고 빠르게 발생한다는 것을 보였다. 이는 강우에 대한 비선형적 유역의 유출 특성이다. 유역 규모에 따른 강우 세기와 단위유량도 첨두치의 관계식을 멱함수로 도출함으로써 특정 규모의 유역에서의 관계식의 경우 유역 규모에 따른 보간법에 따라 산출할 수 있음을 시험적으로 보여주었다. 본 연구의 성과를 통해 유역 면적의 규모가 강우 세기와 단위유량도의 첨두치 관계에 미치는 영향을 조사하여 단위유량도의 보완적 적용에 기초 자료를 제공하고자 하였다.

키워드

유역규모

단위유량도

첨두유량

첨두발생시간

비선형유출

강우 세기

MAIN

1. 서 론
1.1 연구 배경 및 목적
1.2 연구 범위 및 제한점
2. 적용 과정
2.1 주요 연구 개념과 설정
2.2 연구 절차와 방법
2.3 연구 적용 과정 및 결과
3. 연구 결과 분석
3.1 유역 규모별 강우 세기와 단위유량도 첨두치의 정량적 관계식의 산출 및 결과 분석
3.2 강우 세기에 따른 단위유량도 첨두치의 거동에 대한 물리적 검토
3.3 유역 규모별 강우 세기에 따른 단위유량도 첨두치의 관계 분석
3.4 유역 규모에 따른 단위유량도의 첨두유량과 첨두발생시간의 관계 분석
4. 주요 결과 및 결론

1. 서 론

1.1 연구 배경 및 목적

유역 내 홍수를 예방하기 위한 치수 정책을 마련하기 위해서는 구조적 대책이든 비구조적인 대책이든 모두 유역에 발생한 강우 규모에 따른 홍수량의 산출이 요구된다. 이에 유역 내 홍수량이나 시간별 홍수 수문곡선을 구하기 위해서 단위유량도 이론(Sherman, 1932)을 가장 많이 적용해 왔다. 국내에서 Snyder (1938), Clark (1945), Nash (1957), Dooge (1959), HYMO (Williams and Hann, 1972), SCS (1975), GIUH (Rodriguez-Iturbe and Valdes, 1979), KICT (2000) 등에 의해서 제시한 단위유량도를 주로 적용하고 있다. 이와 같은 단위유량도 이론에서 핵심적 가정은 유역 내에서 강우-유출이 선형성을 갖는 것이다. 즉 강우가 선형성을 갖는 유역 시스템(linear watershed system)에 입력되어 홍수량으로 유출된다는 것이다. 그러나 유역은 일반적으로 비선형성을 갖기 때문에 단위유량도의 적용을 보완하거나 비선형 유출에 관한 연구가 많이 있었다. 이와 같은 비선형 유출에 관한 연구를 살펴보면, Minshall (1960)은 단기 강우-유출 자료와 장기 강우 자료를 적용하여 미계측 유역에 적용할 수 있는 단위유량도를 제시하고 강우강도와 단위유량도 첨두치 상관성을 보였다. 그리고 Amorocho and Orlob (1961)는 수문 시스템의 비선형성을 이론적으로 분석하였고, Dooge (1967)는 지표 유출에 비선형적인 접근법을 제시하였고 Pilgrim (1976)은 추적자(tracer)를 통하여 홍수 유출의 비선형성을 분석하였다. 또한 Singh (1979)은 3개의 매개변수를 포함하는 비선형적 수문모형을 제시하였고, Rodriguez-Iturbe and Gonzalez-Sanabria (1982)는 비선형 요인으로서 강우 특성에 따라 변동되는 지형학적 순간단위유량도를 제시하였다. 그리고 Singh (1988)은 강우-유출의 비선형적 특성에 관하여 종합적으로 정리하였고, Cruickshank and Verde (1997)는 강우-유출의 비선형성에 관한 물리적인 해석을 제시하였고, Basha (2000)는 단순화한 비선형 강우-유출 모형을 제시하였고, Lallahem and Mania (2003)는 신경망 기술을 이용하여 비선형 강우-유출 모형을 제시하였고, Szilagyi (2007)는 지하수 유동 모형을 적용하여 유출의 비선형성을 분석하였고, Yoo (2010)는 소유역의 강우-유출 관측 자료를 바탕으로 한 단위유량도 유도와 회귀분석을 통하여 강우강도에 따라 변동되는 단위유량도의 비선형적 특성을 보였다. 그리고 Wu and Wang (2014)은 강우-유출의 비선형 모형을 실용화하기 위한 연구를 수행하였고, Kirchner (2024)는 앙상블(Ensemble) 강수-유출 분석을 통하여 비선형(Nonlinearity), 비정상(Nonstationarity), 공간적인 이질성(Heterogeneity)을 갖는 강수-유출의 거동을 정량화하는 모형을 제시하였다.

본 연구에서도 동일한 유역에서 관측한 강우-유출 자료를 바탕으로 유도한 단위유량도가 강우 세기에 따라 변동되는 비선형적 유출 특성을 조명하고자 한다. 이와 같은 기존 연구에는 Minshall (1960), Yoo (2010), Yoo and Kim (2023)의 사례가 있다. Minshall (1960)은 0.11 km² 크기를 갖는 유역 면적 중 2/3의 경사가 1% 이내로 편평한 소규모 실험 유역인 미국 일리노이주의 Edwardsville 유역을 대상으로 강우의 세기에 따라 단위유량도의 첨두치가 비선형적으로 변동하는 유출 특성을 보였다. 그리고 Yoo (2010)는 한강권에 속한 임진강의 지류인 설마천의 중류부에 위치하고 8.5 km² 규모이고 평균 경사가 20% 정도 되는 전적비교 유역을 대상으로 강우 세기에 대하여 단위유량도의 첨두치가 변동되는 비선형적 특성을 보였다. 이 두 선행 연구는 모두 하나의 소규모 유역을 대상으로 시험적으로 적용한 성과였다.

이에 본 연구에서는 유역 면적의 크기를 달리하여 유역 규모에 따른 강우 세기와 단위유량도 첨두치의 관계식을 도출하였고 유역 규모에 따른 관계식의 특성을 분석하였다. 본 연구의 주안점은 강우 세기에 따라 단위유량도의 첨두치가 어떻게 변하는지, 유역 면적의 규모에 따라 정량적으로 어떻게 변하는지를 살펴보는 것이었다. 따라서 본 연구의 목적은 시험유역(설마천 전적비교 유역)을 대상으로 강우강도에 변동하는 단위유량도의 적용을 고찰한 기존 연구(Yoo, 2011)의 성과에 유역 면적 규모와 자료 수를 확장하여 유역 면적의 규모에 따른 강우 세기에 따른 단위유량도 첨두치의 특성을 추가로 제시하여 실무적으로 홍수량을 산출하기 위한 기존의 단위유량도 방법을 보완하는 데 정량적 기초 자료를 제공하는 데 있다.

1.2 연구 범위 및 제한점

본 연구에서는 유역 면적의 크기로 3개 규모의 유역을 연구 대상으로 하였고 3개 유역 모두 1998년~2017년 동안 80개 이상의 사상을 선정하여 회귀분석을 위한 자료 수를 확보하였다. 이 과정에서 유출률이 90% 이상으로 과대하거나 20% 미만으로 과소한 사상은 배제하였다. 그리고 본 연구에서는 강우 세기와 단위유량도 첨두치의 관계식이 유역 면적의 크기에 따라서 어떻게 변하는지를 살펴보는 것이 주요한 관점이다. 일반적으로 단위유량도의 첨두치에 영향을 미치는 유역의 특성에는 유역 면적 외에도 유역 경사, 유역 조도, 형상 계수, 유출 계수 등 여러 가지가 있으나 이들에 대한 영향 평가는 연구 목적상 본 연구 범위의 밖에 추후 과제로 남겨 두었다.

2. 적용 과정

2.1 주요 연구 개념과 설정

본 연구를 수행하고 연구의 논지를 전개하기 위해서 주요 개념 및 설정으로서 유역 규모, 지속시간과 시간단위, 수문자료 범위와 기간, 강우 세기 등을 미리 다음과 같이 정리하였다.

2.1.1 유역 규모

유역 규모는 일반적으로 유역 면적, 유로 연장, 형상 계수, 하천 차수 등 다양한 측면에서 설정할 수 있으나 본 연구에서는 연구 목적상 유역 면적의 크기(km²)로 설정하였다. 이를 바탕으로 본 연구에서는 유역 규모는 면적의 크기를 기준으로 소규모, 중규모, 대규모로 구분하여 3개의 대상 유역을 선정하였다. 소규모 유역은 한강수계 내에 있는 설마천 전적비교 수위측정지점이 그 출구이고 그 면적 크기는 5.8 km²이고, 중규모 유역은 금강수계 내에 있는 초강 송천 수위측정지점이 그 출구이고 그 면적 크기는 619.0 km²이고, 대규모 유역은 한강수계 내에 있는 평창강 영월1 수위측정지점이 그 출구이고 그 면적 크기는 1,615.8 km²이었다.

2.1.2 지속시간과 시간 단위

일반적으로 단위유량도의 지속 기간은 S-curve에 의해서 그 변환이 가능하므로 본 연구에서는 수집한 강우, 수위 등 수문자료의 관측 단위 시간을 고려하여 유역의 규모와 관계없이 1시간(hr)으로 설정하였다. 본 연구에서 연구하고자 하는 1시간 지속 기간의 단위유량도를 유도하기 위해서 1시간 단위의 강우 주상도와 유출 수문곡선의 관측 자료를 사용하였다.

2.1.3 수문자료 범위와 기간

수문자료는 연구 초기에 가용했던 20년간(1998년 1월~ 2017년 12월)의 강수, 수위, 수위-유량 곡선 등의 자료를 이용하였다. 이때 전체 20년간에 대해서 단위유량도를 유도하기 위해서 사용한 강우-유출 사상은 유출률이 20% 이상이고 90% 미만 되는 설마천 전적비교 유역의 82개, 초강 송천 유역의 83개, 평창강 영월1 유역의 91개를 채택하였다.

2.1.4 강우 세기

강우 세기(rainfall intensity)는 강우 사상의 총 유효강우 총량을 강우 발생 시간(hour)으로 나눈 강우량의 시간 평균값이고 강우강도(mm/hr)와 유사한 개념이다. 강우강도와 다른 점은 어떤 강우 사상에서 유효강우량을 산출할 때 강우에서 강우 손실을 빼는 과정에서 강우 사상의 중간에 유효강우량의 값이 0인 시간(무강우 시간)이 발생했을 경우 총 유효강우 총량을 무강우 시간을 제외한 유효강우의 발생 시간으로 나눈 것이다. 즉 본 연구에서는 유효강우의 세기를 나타내기 위해서 일반적인 강우강도와 구분하였다.

2.2 연구 절차와 방법

유역별 단위유량도의 첨두치를 산출하기 위한 단계별 절차는 Fig. 1과 같다.

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Fig. 1.

Procedure for calculating peak values of unit hydrograph

2.2.1 강우 및 수위 자료 수집과 보정

신뢰도 있는 강우-유출 자료를 사용하기 위해서 한국건설기술연구원이 관리하는 시험유역의 정보와 국토교통부 수문조사 연보 및 국가수자원관리종합정보시스템(WAMIS, 2018)의 수문 정보를 수집하였다. 강수와 수위 자료는 WAMIS (2018)의 자료와 시험유역의 관리기관(KICT, 1996; 2000)의 기록 자료를 적용하였다. 결측된 강우 자료는 역거리법(Inverse distance method; Yoo, 2018)을 적용하여 보정하였다. 결측된 수위 자료는 상류 또는 하류의 측정 수위를 기준으로 보간법을 적용하여 보완하였다.

2.2.2 강우 주상도와 유출 수문곡선 작성

강우 주상도는 1시간 단위별 강우의 막대그래프로서 유역별로 티센망(Thiessen network)을 구축하여 티센면적 평균 강우량을 산출하였다. 그리고 유출 수문곡선은 유역 출구 지점의 시간별 수위 관측 자료를 수위-유량 곡선에 의하여 변환함으로써 시간별로 산출하였다. 수위-유량 곡선은 국토교통부에 의해서 개발된 수문조사 연보 자료를 적용하였다.

2.2.3 유출 수문곡선의 직접유출과 기저유출의 분리

강우 사상별 유출 수문곡선에서 기저유출을 분리하여 직접유출 수문곡선을 구하는 방법으로는 수평직선분리법을 적용하였다. 이 방법은 대부분의 실제 상황에서와 같이 홍수량에 비하여 기저유출량이 현저하게 작은 경우 적용하기에 간편하므로 기존 연구(Jung and Moon, 2001) 등에서도 단위유량도 산출에 사용하였다.

2.2.4 유효강우 산출을 위한 강우 손실 모형의 적용

본 연구에서 유효강우를 산출하는데 적용한 강우 손실 모형은 Eq. (1)과 같은 Horton (1940)의 침투 모형을 선택하였다.

(1)

f = f_{c} + (f_{0} - f_{c}) e^{- k t}

여기서 $f_{c}$ 는 종기 침투량을 나타내고 $f_{0}$ 는 초기 침투량이다. 이때 $k$ 는 비례 상수로서 침투량이 시간에 따라 점차 감소하는 정도를 나타내는 감쇠 인자(decay factor)를 나타낸다. 본 연구에서는 유역별 종기 침투능 $f_{c}$ 와 감쇠 지수 $k$ 는 매개변수 최적화 방법(Yoo, 2006)에 의해 결정한 Table 1의 값을 적용하였다.

Table 1.

Parameter values of rainfall loss model determined in this study

River (Basin)	k	$f_{c}$
Selmacheon (Jeonjeokbigyo)	0.1169	0.04749
Chogang (Songcheon)	0.9700	0.6806
Pyeongchanggang (Yeongwol 1)	0.08714	0.5794

2.2.5 단위유량도의 유도

본 연구에서 강우 사상별 단위유량도를 각각 유도하기 위해서 선형회귀분석법(Linear regression analysis method)을 적용하였다. 유효강우량, 직접유출량, 단위유량도의 시간별 종거 값으로 구성된 각각 벡터를 $P_{i} (i = 1, 2, . . ., L)$ , $Q_{i} (i = 1, 2, . . ., N)$ , $U_{i} (i = 1, 2, . . ., M)$ 라 하면 선형회선적분(Linear convolution integration)에 의해 다음 Eqs. (2) and (3)과 같은 행렬방정식이 구성된다.

(2)

[\begin{array}{ccccc} P_{1} & 0 & \dots & \dots & 0 \\ P_{2} & P_{1} & \dots & 0 \\ \cdot & \cdot & \dots & 0 \\ 0 & P_{L} & \dots & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \dots & \cdot \\ 0 & 0 & 0 & 0 & P_{L} \end{array}] [\begin{matrix} U_{1} \\ U_{2} \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ U_{M} \end{matrix}] = [\begin{matrix} Q_{1} \\ Q_{2} \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ Q_{N} \end{matrix}]

(3)

P U = Q

여기서 강우 벡터 $P$ 는 유효강우량, $P_{i} (i = 1, 2, . . ., L)$ 로 구성되고 유출 벡터 $Q$ 는 직접유출량, $Q_{i} (i = 1, 2, . . ., N)$ 로 구성된 기지 벡터들(given vectors)이고 $U$ 는 단위유량도의 종거, $U_{i} (i = 1, 2, . . ., M)$ 로 구성된 미지 벡터(unknown vector)이다. $L$ 은 유효강우량의 종거 수이고 $M$ 은 단위유량도의 종거 수이고 $N$ 은 직접유출 수문곡선의 종거 수로서 Eq. (4)와 같이 나타낼 수 있다.

(4)

N = M + L - 1

단위유량도의 종거 벡터인 $U$ 를 구하기 위해서 Eq. (3)이 변환된 행렬방정식인 Eq. (5)를 계산하는 선형회귀분석법을 적용하였다. 즉 유효강우와 직접유출량은 앞서 계산하였으므로 Eq. (5)에 의해서 단위유량도를 산출하였다.

(5)

U = [P^{T} P]^{- 1} P^{T} Q

여기서 산출된 단위유량도에 발생한 진동 문제는 Seong (2008)에서 연구된 바와 같이 능형회귀법(Hoerl et al., 1975)을 적용하여 해결하였다.

2.3 연구 적용 과정 및 결과

2.3.1 유역 규모별 강우 주상도와 유출 수문곡선의 작성

시간별 면적 평균 강우 주상도를 구하기 위해서 Figs. 2(a)~2(c)와 같이 유역별로 강우관측소의 티센망을 구축하였고 이로부터 산출된 강우관측소별 티센면적과 티센비는 Table 2와 같다. 그리고 설마천 전적비교 수위측정지점을 유출 지점으로 하는 유역(Fig. 2(a)), 초강 송천 수위측정지점을 유출 지점으로 하는 유역(Fig. 2(b)), 평창강 영월1 수위측정지점을 유출 지점으로 하는 유역(Fig. 2(c))에서 각각의 유출 수문곡선은 시간 단위로 관측된 수위 관측 자료와 수위-유량 곡선을 적용하여 시간별로 산출하였다. 여기서 산출한 1시간 단위의 강우 주상도와 유출 수문곡선은 3개 유역 모두 1998년부터 2017년까지 20년 동안의 시간별 관측 자료를 이용하였고 시간별로 관측된 수위로부터 시간별 유량을 산출하는 데 이용한 수위-유량 곡선은 국토교통부의 수문조사 연보 수록 자료를 적용하였다.

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Fig. 2.

Thiessen polygons by basin

Table 2.

Thiessen area and ratio of rainfall observation stations by basin

Seolmacheon Jeonjeokbigyo basin			Chogang Songcheon basin			Pyeongchanggang Yeongwol 1 basin
Rainfall observatory	Thiessen area (km²)	Thiessen ratio	Rainfall observatory	Thiessen area (km²)	Thiessen ratio	Rainfall observatory	Thiessen area (km²)	Thiessen ratio
Jeonjeokbibyo	0.4	0.0420	Hwanggan	153.2	0.2475	Bongpyeong	269.7	0.1669
Biryongpodae	1.6	0.1840	Moseo2	78.7	0.1272	Daehwa	201.3	0.1246
Seolmari	2.3	0.2760	Sangchon	157.8	0.2549	Bangnim	203.1	0.1257
Beomryunsa	2.4	0.2800	Pyeongon	18.8	0.0304	Unhak	165.1	0.1022
Gamaksan	0.5	0.0580	Jungnul	44.5	0.0719	Pyeongchang	171.7	0.1063
Binbaei	1.4	0.1600	Moseo	63.1	0.1019	Anheung	95.2	0.0589
			Ungbuk	50.2	0.0811	Suju	180.7	0.1118
			Chupung- ryeong	52.7	0.0851	Sillim	143.7	0.0889
						Yeondeok	42.1	0.0260
						Yeongwol1	143.3	0.0887
Total	8.5	1.0000	Total	619.0	1.0000	Total	1615.8	1.0000

2.3.2 유효강우 주상도와 직접유출 수문곡선의 산출

3개 유역의 단위유량도를 유도하기 위해서 선택한 유역별 1시간 단위의 강우-유출 사상의 개요는 Table 3과 같다. 전체 20년간의 강우-유출 사상 중에 선택한 설마천 전적비교 유역의 사상 개수는 82개였고, 초강 송천 유역의 사상 개수는 83개였고, 평창강 영월1 유역의 사상 개수는 91개였다. 여기서 선택한 사상은 유출률이 90% 이상으로 과대하거나 20% 미만으로 과소하면 제외하였고 20% 이상이고 90% 미만일 경우 채택하였다. 이처럼 유출률이 과대 또는 과소한 원인은 강우 및 수위 자료, 유효우량, 수문곡선 분리, 수위-유량 곡선 등에 포함된 오차에 의해 발생한 것이라 판단된다. 이 결과, 강우-유출 사상의 평균적 유출률은 설마천 전적비교 유역의 경우 62.7%였고, 초강 송천 유역의 경우 51.1%였고, 평창강 영월1의 경우 52.6%였다.

Table 3.

Overview of rainfall runoff events by basin applied to calculate unit hydrograph

Stream	Water level observatory (Basin)	Total year period	Number of events	Average rainfall period	Average total rainfall	Average runoff period	Average total runoff	Average runoff rate
Stream	Water level observatory (Basin)	year	-	hr	mm	hr	mm	%
Selmacheon	Jeonjeokbigyo	1998-2017	82	23	84.5	185	58.5	62.7
Chogang	Songcheon	1998-2017	83	23	66.3	180	36.5	51.1
Pyeochanggang	Yeongwol 1	1998-2017	91	32	105.8	274	61.3	52.6

이때 강우-유출 사상별로 총 강우량에서 직접유출량의 총량을 빼 사상별 강우 손실 총량을 산출했다. 그리고 유역별 유효강우를 산출하기 위해 채택한 강우 손실 모형(Yoo, 2006)인 Horton의 방법과 ϕ 지표법으로 각각 산출한 유효강우 주상도를 비교한 결과는 Figs. 3(a)~3(c)와 같다. 이 Figs. 3(a)~3(c)의 강우 주상도에서 보는 바와 같이 ϕ 지표 법에 따른 유효강우(Phi Index)의 손실량은 전체 강우 기간에 걸쳐 수평선 형태로 일정하지만, 본 연구에서 적용한 손실 모형의 손실량(Horton Loss)은 비가 계속 내리면 유역 지하의 비포화 영역이 점차 포화하면서 강우 손실이 점차 감쇄하는 물리적 특성을 잘 보여주었다.

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Fig. 3.

Effective rainfall and runoff hydrograph by basin

2.3.3 유역 규모별 강우 사상별 단위유량도의 유도

유역 규모별로 설마천 전적비교 유역의 82개 사상, 초강 송천 유역의 83개 사상, 평창강 영월1 유역의 91개 사상에 대하여 사상별 1시간 지속시간의 단위유량도를 각각 산출하였다. 여기서 단위유량도는 시간별 유효강우와 직접유출 수문곡선으로부터 시간(hour) 단위로 산출하였고 Fig. 4와 같이 단위유량도에 진동(oscillation)이 발생하면 기존 연구(Jung and Moon, 2001; Seong, 2008)와 같이 능형회귀법(ridge regression method)에 의하여 매끄러운 단위유량도를 유도하였다. 여기서 산출한 단위유량도 종거 값의 단위는 “(m³/s)/(mm/hr)”으로 표시하였는데 여기서 “(mm/hr)”는 단위 우량의 크기가 1 mm/hr임을 나타내고 “(m³/s)”는 유도한 1시간 지속시간의 단위유량도에 1시간 단위의 복합 강우(mm)를 합성한 유출수문곡선 종거 값의 단위가 m³/s임을 의미한다.

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Fig. 4.

Oscillated unit hydrograph and smoothing unit hydrograph (UH) by ridge regression method(Hoerl et al., 1975) at Jeonjeokbigyo basin in the stream of Selmacheon for the event started at 1998.3.19. 07:00

2.3.4 유역 규모별 강우 세기와 단위유량도 첨두치의 관계

3개 규모의 유역에서 선택한 모든 강우유출 사상에 대하여 강우 세기와 단위유량도의 첨두유량과 첨두발생시간의 데이터 범위로서 평균한 값과 최대 및 최소의 값을 Table 4에 실었고 개별 사상에 대하여 분포된 강우 세기에 따른 첨두유량과 첨두발생시간의 값은 Figs. 5, 6, 7에 도시하였다. 유역별로 데이터의 범위를 살펴보면 설마천 전적비교의 경우 강우 세기, 첨두유량, 첨두발생시간의 각 범위는 0.9~24.4 mm/hr, 0.04~ 0.81 m³/s, 1~31 hr였고, 초강 송천의 경우 세 항목의 각 범위는 0.7~11.5 mm/hr, 2.54~25.54 m³/s, 4~47 hr였고, 평창강 영월1의 경우 세 항목의 각 범위는 0.9~18.7 mm/hr, 1.21~43.27 m³/s, 5~55 hr였다.

Table 4.

Ranges of rainfall intensity, peak flow discharge and time to peak of unit hydrograph (UH) respectively of Selmacheon Jeonjeokbigyo, Chogang Songcheon, and Pyeongchanggang Yeongwol 1

Range	Selmacheon Jeonjeokbigyo			Chogang Songcheon			Pyeongchanggang Yeongwol 1
	Rainfall intensity	Time to peak of UH	Peak flow of UH	Rainfall intensity	Time to peak of UH	Peak flow of UH	Rainfall intensity	Time to peak of UH	Peak flow of UH
	mm/hr	hr	(m³/s)/ (mm/hr)	mm/hr	hr	(m³/s)/ (mm/hr)	mm/hr	hr	(m³/s)/ (mm/hr)
Maximum	24.4	31	0.81	11.5	47	25.5	18.7	55	43.3
Minimum	0.9	1	0.04	0.7	4	2.5	0.9	5	1.2
Average	5.9	7.6	0.17	3.8	12.0	10.3	4.1	18.0	15.2

선택한 사상의 수는 회귀 자료 수로서 설마천 전적비교 유역의 경우 82개이고 초강 송천 유역의 경우 83개이고 평창강 영월1 유역의 경우 91개였다. 이 자료를 MS EXCEL에 입력하여 강우 세기를 x축으로 하고 첨두유량과 첨두발생시간을 각각 y축으로 도시하면 Figs. 5, 6, 7에서와 같은 자료군이 형성되었다. 이 자료군에 적합한 회귀식을 멱함수의 추세선을 넣으면 설마천 전적비교의 경우 각각 Figs. 5(a) and 5(b)와 같고, 초강 송천의 경우 각각 Figs. 6(a) and 6(b)와 같고, 평창강 영월1의 경우 각각 Figs. 7(a) and 7(b)와 같았다. Figs. 5, 6, 7에서의 추세선의 결정 계수(Coefficient of determination, $r^{2}$ )는 Table 6에 나타낸 바와 같이 0.2~0.4 정도로 분산이 발생하였다. 이처럼 발생한 멱함수 추세선의 분산에도 불구하고 강우 세기와 첨두치의 관계식을 멱함수로 선택한 근거는 기존 연구(Yoo and Kim, 2023)에서 도출한 강우와 단위유량도 첨두치의 멱함수 관계였다.

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Fig. 5.

Regression relationships of peak values of unit hydrograph (UH) to rainfall intensity at Jeonjeokbigyo basin in the stream of Selmacheo

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Fig. 6.

Regression relationships of peak values of unit hydrograph (UH) to rainfall intensity at Songcheon basin in the stream of Chogang

3. 연구 결과 분석

3.1 유역 규모별 강우 세기와 단위유량도 첨두치의 정량적 관계식의 산출 및 결과 분석

유역 면적의 규모별로 강우 세기( $R$ )에 따른 단위유량도의 첨두유량( $Q_{p}$ , m³/s)과 첨두발생시간( $T_{p}$ , hour)의 멱함수 관계는 각각 Eqs. (6) and (7)과 같다.

(6)

Q_{p}^{i} = a_{i} R^{b_{i}} i = 1, 2, 3

(7)

T_{p}^{i} = c_{i} R^{d_{i}} i = 1, 2, 3

여기서 R은 강우 사상의 강우 세기(mm/hr)를 나타내고 $a_{i}$ , $b_{i}$ , $c_{i}$ , $d_{i}$ 는 유역별로 회귀분석으로 결정된 계수 및 지수의 값들이고 아래 첨자 $i$ 는 유역을 구분하는 번호로서 소유역의 경우 1, 중규모 유역 2, 대규모 유역 3으로 각각 표시하였다. Figs. 5, 6, 7에서와 산출된 같이 유역 규모별 강우 세기에 대한 단위유량도의 첨두유량과 첨두발생시간의 각각 관계식의 회귀 값들은 Table 5와 같다. 이 멱함수에 적용하는 변수인 강수 세기와 첨두유량 및 첨두발생시간의 적용 범위로는 Table 4에 있는 각각의 최댓값과 최솟값의 사이 구간을 권장한다.

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Fig. 7.

Regression relationships of peak values of unit hydrograph (UH) to rainfall intensity at Yeongwol 1 basin in the river of Pyeongchanggang

Table 5에서 중규모 유역인 초강 송천 유역(i=2)의 회귀 값들은 2개 군으로 되어 있다. 여기서 회귀 값의 2번째 군(interpolated in Remark)은 소규모 유역(i=1)과 대규모 유역(i=3)의 유역 면적 크기의 대수 값을 적용하여 선형적으로 비례하게 보간(interpolation) 하여 산출한 것이다. 여기서 정도의 차이는 있지만 보간으로 산출한 두 번째의 회귀값 자료 군이 첫 번째의 회귀값 자료 군에 접근하는 것을 볼 수 있다. 이는 유역의 면적 규모에 따라 회귀 값들에 영향 주는 것이고, 유역의 면적 규모가 단위유량도의 첨두치 거동에 영향을 미치는 것을 보여준 것이다. 이 결과는 특정 유역에 대한 강우 세기와 단위유량도의 첨두치 관계식이 유역 면적의 규모에 따라 산출될 가능성을 보여준다. 이를 실증하기 위해서는 더 많은 유역 규모의 자료 확장을 통하여 회귀 값들의 확충과 분석이 필요하다고 판단된다.

Table 5.

Regression values of the relational expression, Eqs. (6) and (7) between rainfall intensity and unit hydrograph peak value by watershed scale with an interpolation

Scale	No ( $i$ )	Watershed area size A_i (km²)	$a_{i}$	$b_{i}$	$c_{i}$	$d_{i}$	Remark (Number of data)
Small	1	8.5	0.0558	0.565	14.8	-0.627	82
Medium	2	619.0	5.46	0.444	19.2	-0.538	83
Medium	2	619.0	5.21	0.585	25.8	-0.479	interpolated by log(A_i)
Large	3	1615.8	6.36	0.589	28.2	-0.446	91

그리고 강우의 세기에 대하여 단위유량도의 첨두유량과 첨두발생시간과 각각의 관계를 도출한 멱함수 곡선과 원자료 군과의 평균적인 오차는 Table 6과 같이 제곱근 평균제곱오차(RMSE)와 평균절대오차(MAE)로 나타냈고 도출된 곡선으로부터 원자료 군의 분산 정도는 결정계수( $r^{2}$ )로 나타냈다. Table 6에서 RMSE를 살펴보면 첨두유량의 경우 소규모 유역은 평균치에 대하여 70% 정도이고 중규모 유역과 대규모 유역은 44% 정도였고 첨두발생시간의 경우 소규모 유역은 평균치에 대하여 77% 정도이고 중규모 유역은 54%이고 대규모 유역은 41% 정도였다. MAE를 살펴보면 첨두유량의 경우 소규모 유역은 평균치에 대하여 44% 정도이고 중규모 유역은 28% 정도이고 대규모 유역은 30% 정도였고 첨두발생시간의 경우 소규모 유역은 평균치에 대하여 46% 정도이고 중규모 유역은 35% 정도이고 대규모 유역은 25% 정도였다. 그리고 결정계수( $r^{2}$ )를 살펴보면 첨두유량의 경우 소규모 유역은 0.33 정도이고 중규모 유역은 0.29 정도이고 대규모 유역은 0.37 정도였고 첨두발생시간의 경우 소규모 유역은 0.23 정도이고 중규모 유역은 0.41이고 대규모 유역은 0.32 정도였다.

Table 6.

Root mean squared error (RMSE), mean absolute error (MAE) and coefficient of determination ( $r^{2}$ ) with each relationship between the peak flow discharge and time to peak of the unit hydrograph for rainfall intensity

Scale	Classification	Average of regression data (A)	Error of regression				Coefficient of determination ( $r^{2}$ )
Scale	Classification	Average of regression data (A)	RMSE (B)	$(B / A) \times 100 %$	MAE (C)	$(C / A) \times 100 %$	Coefficient of determination ( $r^{2}$ )
Small	$Q_{p}$	0.169	0.118	70	0.0743	44	0.326
Small	$T_{p}$	7.61	5.87	77	3.51	46	0.227
Medium	$Q_{p}$	10.3	4.49	44	2.93	28	0.288
Medium	$T_{p}$	12.0	6.48	54	4.16	35	0.408
Large	$Q_{p}$	15.2	6.68	44	4.58	30	0.366
Large	$T_{p}$	18.4	7.62	41	4.69	25	0.321

이와 같은 제곱근 평균제곱오차(RMSE), 평균절대오차(MAE)와 결정계수( $r^{2}$ )는 단위유량도 첨두치의 데이터가 도출한 멱함수 관계식으로부터 어느 정도의 분산 또는 오차를 포함하고 있는지 정량적으로 보여준다. 따라서 본 연구로부터 얻은 멱함수 관계식은 앞서와 같이 어느 정도의 오차를 동반하고 있지만 각 회귀식으로서의 물리적 관계를 보여주었다. 이와 같은 물리적 특성은 전체적으로 유역 면적이 크든 작든 강우 세기가 크면 단위유량도의 첨두유량은 커지고 첨두발생시간은 빨라지는 경향으로 나타났다.

3.2 강우 세기에 따른 단위유량도 첨두치의 거동에 대한 물리적 검토

본 연구의 결과는 기존 연구(Minshall, 1960; Singh, 1988; Yoo, 2010)와 같이 강우 세기에 따라 단위유량도 첨두치가 변동하는 비선형적 유출 특성을 보여주었다. 즉 강우 세기가 커지면 단위유량도의 첨두치가 커지고 빨리 나타나는 특성을 보여준 것이다. 이와 같은 단위유량도의 특성에 관한 최근의 연구 성과로서 가상 유역에서 강우의 세기와 첨두유량과 첨두발생시간의 멱함수 관계식(Yoo and Kim, 2023)은 본 연구에서 개발한 Eqs. (6) and (7)의 물리적인 근거가 되었다.

3.3 유역 규모별 강우 세기에 따른 단위유량도 첨두치의 관계 분석

앞서 산출된 유역 규모별 강우 세기와 단위유량도 첨두유량의 관계 곡선을 도시하면 Fig. 8(a)와 같다. 여기서 첨두유량 값의 단위는 유역 규모별로 함께 비교하기 위해서 무차원으로 하였다. Fig. 8(a)에서는 유역 면적이 작을수록 강우 세기의 증가에 대하여 첨두유량의 증가율이 더 커지는 경향을 보였다. 여기서 곡선이 교차하는 것은 이 관계 곡선에 영향을 주는 요인에 유역 면적 외에 다른 요인도 있음을 추론하게 해 준다. 그리고 유역 규모별 강우 세기와 단위유량도의 첨두발생시간의 관계 곡선을 도시하면 Fig. 8(b)와 같다. Fig. 8(b)에는 유역 면적이 작을수록 강우 세기의 감소에 대하여 첨두발생시간의 증가율이 더 작아지는 경향을 보였다. Figs. 8(a) and 8(b)에서도 앞서 회귀값의 보간과 같이 유역 면적을 기준값으로 한 보간법을 통하여 특정 규모의 유역에 해당하는 강우 세기와 첨두치의 관계식을 얻을 가능성을 보여주었다.

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Fig. 8.

Relationship between rainfall intensity and peak values of unit hydrograph (UH) by watershed scale

3.4 유역 규모에 따른 단위유량도의 첨두유량과 첨두발생시간의 관계 분석

유역의 규모별 단위유량도의 첨두유량과 첨두발생시간의 관계식은 Eqs. (6) and (7)을 조합하여 다음 Eq. (8)과 같이 나타낼 수 있다.

(8)

T_{p}^{i} = α_{i} Q_{p}^{β_{i}} i = 1, 2, 3

여기서 $Q_{p}$ 와 $T_{p}$ 는 첨두유량(m³/s)과 첨두발생시간(hr)을 나타내고, $i$ 는 유역 규모의 번호를 표시하고, 계수 $α_{i}$ 와 지수 $β_{i}$ 는 다음의 Eqs. (9) and (10)에 의해서 각각 Table 7과 같이 산출하였다.

(9)

α_{i} = c_{i} a_{i}^{\frac{- d_{i}}{b_{i}}}

(10)

β_{i} = \frac{d_{i}}{b_{i}}

여기서 $a_{i}$ , $b_{i}$ , $c_{i}$ , $d_{i}$ 는 앞서 계산된 Table 5의 값들이다. 본 연구에서 3개 유역(설마천 전적비교, 초강 송천, 평창강 영월1)을 대상으로 도출한 첨두유량( $Q_{p}$ )과 첨두발생시간( $T_{p}$ )의 관계 곡선과 2개의 기존 연구(Jung and Moon, 2001; Yoo and Kim, 2023)의 성과를 비교 목적으로 함께 도시하면 Fig. 9와 같다. 여기서 본 연구에서의 유역 규모별로 그 관계 곡선을 비교하면 유역 규모가 작아질수록 첨두유량의 변화에 대한 첨두발생시간의 변화율이 작아지는 것을 보여주었다. 그리고 Jung and Moon (2001)으로 표시된 곡선은 이 연구에서 8.5~519.7 km² 규모의 유역에서 발생한 강우-유출 사상으로부터 단위유량도를 산출하고 회귀분석을 통하여 제시한 합성단위유량도로서의 첨두유량과 첨두발생시간의 관계식(Table 7)에 설마천 전적비교 유역면적의 크기인 8.5 km²를 적용하여 관계식을 도시한 것이다. 이는 본연구의 성과(i=1)와 접근함을 보여준다. 그리고 Yoo and Kim (2023)으로 표시된 곡선은 저류 효과가 없는 가상의 유역을 대상으로 산출한 관계 곡선이므로 첨두유량의 변화에 대한 첨두발생시간의 변화율이 본 연구 성과의 변화율보다 작게 나타났다.

Table 7.

Coefficients and exponents values of the relational expression Eq. (8) between unit hydrograph time to peak and peak flow discharge by watershed scale in this study and those in previous study

Scale	No ( $i$ )	Watershedarea size (km²)	$α_{i}$	$β_{i}$	Remark (See them as in Fig.9)
Small	1	8.5	0.602	-1.110	Jeonjeokbigyo
Medium	2	619.0	150.206	-1.213	Songcheon	This study
Large	3	1,615.8	114.456	-0.758	Yeongwol 1
Synthetic unit hydrograph in Korea		8.5	0.411	-1.567	Jung and Moon (2001)
Virtual rhombus-shaped basin		109.2	40.200	-0.340	Yoo and Kim (2023)

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Fig. 9.

Comparison of relationships between $T_{p}$ (time to peak) and $Q_{p}$ (peak flow discharge) of unit hydrograph (1 mm of unit depth and 1 hr duration) by watershed scale

4. 주요 결과 및 결론

유역 규모에 따른 강우-유출 사상의 강우 세기와 단위유량도 첨두치의 관계를 분석한 주요 결과는 다음과 같다. ① 소규모 유역은 설마천 전적비교 유역(8.5 km²), 중규모 유역은 초강 송천 유역(619.0 km²), 대규모 유역은 평창강 영월1 유역(1,615.8 km²)을 대상 유역으로 선정하였다. ② 전체 1998년~2017년의 강우-유출 자료 중에 유출률이 20% 이상이고 90% 미만이 되는 강우-유출 사상을 채택하여 설마천 전적비교 유역은 82개, 초강 송천 유역은 83개, 평창강 영월1 유역은 91개의 사상을 선정하였다. ③ 직접유출 수문곡선을 산출하기 위해서 수평직선분리법을 적용하여 기저유출을 분리하였고, Horton 모형을 적용하여 유효강우량을 구한 다음 단위유량도를 유도하였고, 이때 단위유량도에 발생한 진동은 능형회귀법으로 제거하였다. ④ 유도한 단위유량도의 첨두치 자료군을 도시하고 회귀분석을 수행하여 유역 규모에 따른 강우 세기와 단위유량도 첨두치의 관계식을 멱함수 형태로 도출하였다. ⑤ 유역 규모별 회귀 관계식은 어느 정도의 오차 및 분산 정도를 포함하지만 각 회귀식으로서의 물리적 관계를 보여주었다. ⑥ 3개 규모의 유역에 대하여 도출된 강우 세기와 단위유량도 첨두치의 관계식들로부터 보간법에 따르면 특정 규모의 유역에 해당하는 관계식을 얻을 가능성을 보여주었다. ⑦ 강우 세기가 클수록 단위유량도의 첨두는 더 커지고 빨라지는 비선형적 유출 특성을 보였다. ⑧ 유역의 규모별로 단위유량도의 첨두유량과 첨두발생시간의 관계를 멱함수 형태로 도출하였다.

앞서 제시한 본연구 성과와 같이 기존의 소규모 시험유역(8.5 km²)을 대상으로 한 선행 연구 성과에 대하여 유역 면적의 규모와 강우-유출 자료 수를 확장하였고, 이를 바탕으로 유역 면적의 규모별 강우 세기에 따른 단위유량도 첨두치의 특성을 제시하여 실무적으로 홍수량을 산출하기 위해서 적용하는 기존의 단위유량도 방법을 보완하는 데 정량적 기초 자료를 제공하고자 하였다. 그리고 유역 면적의 규모에 따라 강우 세기와 단위유량도 첨두치의 관계식의 변화 추세를 검토하여 특정한 유역 면적의 관계식을 구하기 위해서 유역 면적의 크기에 따라서 계산하는 보간법을 시험적으로 평가하였다. 그러나 이 보간법을 실용하는데 유역 면적 3개 규모의 자료로는 통계적 한계가 있으므로 향후 자료를 확충하여 추가적인 연구가 필요하다. 그리고 단위유량도의 선형적 가정에 따라 채택하고 있는 단위유량도는 강우강도와 관계없이 적용하고 있어서 본 연구의 성과에 따르면 강우 세기를 고려하면 유역 홍수량의 정확도를 높일 수 있을 것으로 판단된다.

Acknowledgements

본 연구는 정부(교육부)의 재원으로 한국연구재단의 지원(2017R1D1A3B03035695)의 일환으로 수행되었음과 연구에 사용한 수문자료는 관리기관(KICT, K-water 등)으로부터 제공받았음에 관계기관에 사의를 표함.

Conflicts of Interest

The authors declare no conflict of interest.

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Journal of Korea Water Resources Association ISSN:2799-8746(Print) 2799-8754(Online) 한국수자원학회 논문집

Preview

Analysis of relationship between rainfall intensity and unit hydrograph peak value by watershed scale

ABSTRACT

MAIN

Fig. 1.

Procedure for calculating peak values of unit hydrograph

(1)

Table 1.

Parameter values of rainfall loss model determined in this study

(2)

(3)

(4)

(5)

Fig. 2.

Thiessen polygons by basin

Table 2.

Thiessen area and ratio of rainfall observation stations by basin

Table 3.

Overview of rainfall runoff events by basin applied to calculate unit hydrograph

Fig. 3.

Effective rainfall and runoff hydrograph by basin

Fig. 4.

Oscillated unit hydrograph and smoothing unit hydrograph (UH) by ridge regression method(Hoerl et al., 1975) at Jeonjeokbigyo basin in the stream of Selmacheon for the event started at 1998.3.19. 07:00

Table 4.

Ranges of rainfall intensity, peak flow discharge and time to peak of unit hydrograph (UH) respectively of Selmacheon Jeonjeokbigyo, Chogang Songcheon, and Pyeongchanggang Yeongwol 1

Fig. 5.

Regression relationships of peak values of unit hydrograph (UH) to rainfall intensity at Jeonjeokbigyo basin in the stream of Selmacheo

Fig. 6.

Regression relationships of peak values of unit hydrograph (UH) to rainfall intensity at Songcheon basin in the stream of Chogang

(6)

(7)

Fig. 7.

Regression relationships of peak values of unit hydrograph (UH) to rainfall intensity at Yeongwol 1 basin in the river of Pyeongchanggang

Table 5.

Regression values of the relational expression, Eqs. (6) and (7) between rainfall intensity and unit hydrograph peak value by watershed scale with an interpolation

Table 6.

Root mean squared error (RMSE), mean absolute error (MAE) and coefficient of determination (r2) with each relationship between the peak flow discharge and time to peak of the unit hydrograph for rainfall intensity

Fig. 8.

Relationship between rainfall intensity and peak values of unit hydrograph (UH) by watershed scale

(8)

(9)

(10)

Table 7.

Coefficients and exponents values of the relational expression Eq. (8) between unit hydrograph time to peak and peak flow discharge by watershed scale in this study and those in previous study

Fig. 9.

Comparison of relationships between Tp(time to peak) and Qp (peak flow discharge) of unit hydrograph (1 mm of unit depth and 1 hr duration) by watershed scale

Acknowledgements

Conflicts of Interest

References

Root mean squared error (RMSE), mean absolute error (MAE) and coefficient of determination ( $r^{2}$ ) with each relationship between the peak flow discharge and time to peak of the unit hydrograph for rainfall intensity

Comparison of relationships between $T_{p}$ (time to peak) and $Q_{p}$ (peak flow discharge) of unit hydrograph (1 mm of unit depth and 1 hr duration) by watershed scale